從分牛問(wèn)題談起

200年《和田師范專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報》(漢文綜合版)J1200第28卷第五期總第61期從分牛問(wèn)題談起徐興國1楊慶升2(1.揚州教育學(xué)院高郵校區數學(xué)系江蘇揚州225600:2.高郵車(chē)邏中學(xué)江蘇揚州225600[摘要]本文從“分牛問(wèn)題”出發(fā),分析討論了目中的矛盾性在|第三種分發(fā):極限法,首先,老大分得19x1頭,老二分得19盡可能公平的將牛分完的過(guò)程中,提出了多種分配方法。并對不同的分配方法產(chǎn)生的不同分配結果經(jīng)行了討論,最終確定最優(yōu)分配方案×1頭,老三分19×1頭。他們一共分得19×1+19×1+19[關(guān)鍵詞]分牛問(wèn)題:矛盾;分配方法;公平性1.問(wèn)題背景分牛問(wèn)題是一個(gè)古老的問(wèn)題,經(jīng)過(guò)歷年翻新己有很多版本,但=19頭還剩19-19x1919頭,于是還有9頭沒(méi)分完20其原理基本相同,其大意是說(shuō):繼續分第二次,仍按老大得1,老二得1,老三得1,分別分得一位老人,臨終前留下遺囑,要把19頭牛分給三個(gè)兒子,老大分得總數的1,老二分得總數的1,老三分得總數的L,按印度的/;+19頭、119、1、19.結果仍沒(méi)分完,還剩教規,牛被視為神靈,不能宰殺,只能整頭分,三兄弟為此一籌20820+270520-203頭如法炮制繼續分第三展位牽牛的智者路過(guò),詢(xún)問(wèn)之下知事原委,說(shuō):“把我牽的這次,第四次…最后,老大分得的數目為:頭牛添進(jìn)去分吧?！碧砩现钦叩倪@頭牛,現在共有20頭牛。按去世老人的要求:老大分總數的1,得頭10頭;老二分總數的1,得5x一+=20頭;老三分總數的1,得頭4,分完了,恰好還剩下智者的那一頭,老二分得的數目為智者把他的那一頭牽回,問(wèn)題到此被解決。你可能會(huì )感嘆:這真是巧妙絕倫的辦法,一個(gè)難題通過(guò)“借一還一”的方法輕松的解決了1;19+1x19+1x19+.=4可是你再仔細想一想,就會(huì )發(fā)現:其實(shí)這種分的方法違背了去世老人的遺囑。因為現在老大分得總數的10=1,老二分得總數老三分得的數目為:的5≠L,老三分得總數的4≠1.還可以從另外一個(gè)角度看,以19119194x19+老大為例按遺囑的要求老大應得19的1,應是頭,可是現在他卻得了10頭,怎么會(huì )這樣呢?為什么會(huì )有這樣的矛盾呢?下面我們討論以上三種分法的具體操作過(guò)程,進(jìn)而推廣到一般分配問(wèn)題。第那是因為遺囑本身就是矛盾的,矛盾之一一方面老人家說(shuō)把部分的大小排序,再依次將余下的牛分完,第二種方法呢,則先拋9頭的1分給大兒子,9頭的!分給二兒子,19頭的!分給三兒子,開(kāi)了牛的總頭數這個(gè)條件,將老人要求的分數化為比例,悄的偷這樣三個(gè)兒子分到的頭數都不是整數,另一方面老人又說(shuō),牛必須|數,按這些整數分即可若不全是整數,則可以繼續按第種方法要“整頭分”,矛盾之二:一方面,老人說(shuō)要把9頭全部分掉,而“余數法”再分,最后再來(lái)看第三種方法,因為此法采用了極限這222,故牛不可能數全部分掉,正是為這兩個(gè)自相個(gè)數等具所以直微版目中的矛,將一次分后下的牛再矛盾,才使得本來(lái)十分簡(jiǎn)單的求一個(gè)數的幾分之一的問(wèn)愿,變得撲限是一個(gè)整數就可結束,如果不是整數仍然可以再接照第一種方法朔迷離。老人家跟我們開(kāi)了一個(gè)不大不小的玩笑。2.一般分法“余數法”來(lái)分,這里需要說(shuō)明的是方法二和方法三其實(shí)是一回事都是劃歸為比例來(lái)做了,只有在非常巧合的情況下才有可能恰好分這里,你會(huì )就會(huì )明白:完全按照遺囑的要求來(lái)分是不可能實(shí)|完,但是如果再結合方法一,這種分法是一種普遍適用的方法了現的,也就是說(shuō):按照遺囑的要求,整分和分完是不可能實(shí)現的。既然這樣,那我們就只能退而求其次,尋求一種更為合理的分發(fā),3.公平性問(wèn)題具體要求是:保證整分的前提下盡可能的公平。到這里問(wèn)題似乎已經(jīng)解決了,不論老人留下多少頭牛我們都有辦法分了。但是還有一個(gè)問(wèn)題沒(méi)有考慮:“余數法”是否一定公平第一種分發(fā)余數法,19的1是95,19的1是475,19的上是合理呢,要討論什么是公平合理,音先我們需要一個(gè)標準,那就是38.第一步先將牛按整數部分,先分給老大9頭牛、老二4頭牛、老5盡可能的符合去世老人的遺愿,為了行文的方便,這里記n為老人三3頭牛,還剩下19-(9+4+3)=3頭牛;第二步將余下的牛按小數部留下牛的頭數,m為去世老人依次給各個(gè)幾子的份數,p1為各個(gè)分的大小依次分完,此時(shí)老大、老二、老三的小數余數分別是5.兒子實(shí)際得到牛的頭數于是這個(gè)標準可以是:使得0.75、0.8,于是將剩下的三頭牛按小數部分的大小先給老三,再給老二,最后剩下的那一頭給老大對應本文中具體的題目也就是要求最小第二種分發(fā):比例法。因1:1:1=10:5:4,這樣,老大19最小,其值等于0.050得4頭你會(huì )發(fā)現最優(yōu)分法就是p1=10,P2=5,P2=4,這也恰209年《和田師范專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報》(漢文綜合版)J1200第28卷第五期總第61期不等式(組)建模應用題解題策略鄧小玲(烏魯木齊市第八十二中學(xué)新疆烏魯木齊830000摘要]數學(xué)不等式(組)應用愿,反映了數學(xué)與生產(chǎn)實(shí)際的聯(lián)系,際問(wèn)題抽象為不等式(組)的數學(xué)問(wèn)題得以解決。本文談一下常見(jiàn)它要求學(xué)生能用數學(xué)的思想和方法建立解決實(shí)際問(wèn)題的數學(xué)模型,這對培養學(xué)生不等式(組)的數學(xué)應用題的解題策略分析和解決問(wèn)恩的能力有很大幫助在解決不等式(組)的應用題時(shí),要有一定其解題程序為:讀題(實(shí)際問(wèn)題)一建模(數學(xué)問(wèn)題)→求解的閱讀能力和分析問(wèn)題的能力及綜合應用數學(xué)思維方法解決問(wèn)題的能力,把實(shí)際(數學(xué)問(wèn)題的解)→反饋(檢驗作答問(wèn)題抽象為不等式(組)的數學(xué)問(wèn)題從而得以解決,[關(guān)鍵詞]不等式(組)1應用題:建模;能力;解題策略一、解不等式(組)應用題應具備閱讀理解能力數學(xué)不等式(組)應用問(wèn)題,反映了數學(xué)與生產(chǎn)實(shí)際的聯(lián)系般的,不等式(組)建模應用題題目較長(cháng),解決這類(lèi)問(wèn)題它要求學(xué)生能用數學(xué)的思想和方法建立解決實(shí)際問(wèn)題的數學(xué)模型閱讀理解能力差,則分不清文字的主次,抓不住題中的關(guān)鍵,這樣對培養學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力有很大幫助,因此通過(guò)數學(xué)建|成為分析和解決問(wèn)愿的一大圖難模解決不等式(組)應用性問(wèn)題是近幾年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題。但是這例1:某公司要將100噸貨物運往某地銷(xiāo)售,經(jīng)與一運輸公司協(xié)類(lèi)問(wèn)題也是多數同學(xué)感到困難的問(wèn)題。在解決不等式(組)的應用商,計劃租用甲、乙兩種型號的汽車(chē)共6輛,用這6輛汽車(chē)一次將貨題時(shí)要認真讀題,分析處理好各種關(guān)系,把問(wèn)題的主線(xiàn)由實(shí)|物全部運走,其中每輛甲型汽車(chē)最爹能裝該種貨物噸,每輛乙型轟改變處不該可盒夫數這意即和叫米給驗可以r的19改為21,其他條件不變,自己來(lái)嘗試一下看看結果會(huì )是怎樣。由文獻[]可知,實(shí)際上在正整數的范圍內,能用“借一還一”法的情11非常少,僅有7種,分別是:老大佬老二老三件的頭數2111/2|1/31/741由1<3,可得后一種分配方案比前一種更合理。這就告訴我1/21/31/823們運用上面的方法得到的分配結果不一定相同的,是否是最優(yōu)方案1/21/31還要通過(guò)比較才能判斷出。同時(shí)還有一點(diǎn)需要說(shuō)明的是,最優(yōu)方案有時(shí)不止一種。例如當老人留下的牛的頭數是25時(shí),老大得13頭、1/21/31/1211老二得7頭、老三得5頭和老大得14頭、老二得6頭、老三得5頭都是1/21/41/5最優(yōu)解。1/2|1/41/6114.再論公平性對于分配問(wèn)題中的公平性,美國數學(xué)家 M L Balinsky和由此你不得不感低古人的巧炒思,仿佛早在幾千年前他們事先根據具體的現實(shí)問(wèn)題給出一系列合理的約束,稱(chēng)之為“公理”就知道了其中的幾組數據,對于如何處理以上組以外的數據,大家然后運用數學(xué)分折的方法證明是否存在某一個(gè)數學(xué)結構或者什么適可以直接運用本文中的“余激法或者先運用比法、“極當的函數或關(guān)系能滿(mǎn)足所給定的公理,或者運用邏輯的方法去考察這些公理之間是否相容。如果不相容,則說(shuō)明符合這些公理的對象現在普遍的分配方法有了,最優(yōu)的分配指標又有了:就是要并不存在。經(jīng)過(guò) M. LBalinsky和 H Young的不懈努力,對經(jīng)典席位分配問(wèn)題發(fā)表了一個(gè)令世人眠目的結果:關(guān)于席位分配問(wèn)題的公平整分不可下面就是要討論分配方法在實(shí)施過(guò)程中會(huì )出現的問(wèn)題,請看具能性定理,即完全公平的席位分配方法是不存在的。其本質(zhì)原因在體的例子:若老人留下的是16頭牛,其他條件不變于“局部公平性”與“整體公平性”之間的矛盾,即當要使的某個(gè)若直接運用“余數法”得:“局部公平”最優(yōu)時(shí),往往要犧牲“整體公平”:而當要使的“整老大佬老體公平”最優(yōu)時(shí),往往要犧牲“局部公平”。對于本文中的具體問(wèn)牛的頭數161/2題,我們要求盡可能的按照老人的選嘛來(lái)分,要使的“整體公平”最優(yōu),即最小,這樣就能使得最優(yōu)解有了確定性實(shí)際得到8參考文獻若綜合運用“余數法”和“極限法”可得:〕韓學(xué)濤.從驚訝到思考[M]湖南科技出社,199老大老2]姜啟源數學(xué)模型(第二版)[M.高等教育出版社,19933]劉來(lái)福,曾文藝數學(xué)模型與數學(xué)建模[],北京師范大學(xué)出版社,2002件的頭數161/2|1/4l/5searching on Distribution of Cattle次極限法一次余數法.41.2Abstract: This article introduces the contradiction in the problem of"dicattle", then introduces three methods to distribute cattle fairly as could as實(shí)際得到These three methods are studied, and ultimately the optimal distribution schdetermined這里的“極限法”并不是取極限,而是上文提到的第三種分 words: the problem of"distributing cattle"; contradiction: distributi法的思想)scheme: fair通過(guò)比較上面的具體例子我們不難發(fā)現運用不同的方法,得出作者簡(jiǎn)介:給興國(s)男,揚州教學(xué)院高郵校區助教,華東范大學(xué)在讀碩士。收稿日期:2009-04-16