不變變分問(wèn)題

第34卷第1期力學(xué)進(jìn)展003年2月25日ADVANCES IN MECHANICSFeb.25,2004不變變分問(wèn)題Emmy noether(此文獻給F. Klein,為博士研究50周年紀念日作)(1918年6月206日F. Klein推薦)編者按語(yǔ):眾多學(xué)者在研究對稱(chēng)性與守恒量問(wèn)題時(shí),都在引用德國數學(xué)家 Emmy noether(1882~1935)1918年的莫基性論文 Invariante Variationsprobleme(不變變分問(wèn)題).論文是用德文寫(xiě)的.我們從Joak1959年主編的《力學(xué)的變分原理》(俄文)中找到論文的俄譯本.本刊刊岀俄譯本的譯文,供廣大硏究者參考,原文沒(méi)有擿要和關(guān)鍵詞.下面的摘要和關(guān)鍵詞是譯者加上去的摘要研究Lie意義下的允許連續群的變分問(wèn)題.基于形式變分學(xué)方法與Le群理論方法的聯(lián)系,得到以下兩個(gè)定現定上如果積分1=/-/(u…)相某有續群2是不變的則Lm購表示v的p個(gè)線(xiàn)性獨立組合將變?yōu)樯⒍?反之,由后一條件得到積分I相對某群Dp的不變性。對無(wú)限多個(gè)參數的極限情形,定理也對.定理2:如果積分I相對無(wú)限連續群D∞p是不變的,在此群中會(huì )出現直至σ階導數的導數,那么 Lagrange表示ψ及其至a階導數之間有p個(gè)恒等關(guān)系成立;這里反述也對.定理1在v=0時(shí)給出P個(gè)第一積分.定理2表明, Lagrange方程總數中的p個(gè)方程是其余方程的結果關(guān)鍵詞不變性,變分問(wèn)題,Lie群, Lagrange表示,散度,積分1預備知識與定理的表述值的.眾所周知,變換群”理解為這樣的變換組,在變這里所談到的是允許連續群(Le意義下)的變換時(shí)每一個(gè)變換都對應有同組內的逆變換,而由組內分問(wèn)題;由此導出的關(guān)于相應微分方程的結果在第任意兩個(gè)變換組成的變換也在給定組內個(gè)群稱(chēng)為1節表達的定理中找到它最一般的表達式并在后幾有限連續群,如果其變換包括在解析地依賴(lài)于ρ個(gè)節中給出證明.對于這些由變分問(wèn)題產(chǎn)生的微分方實(shí)參數p(即這些p參數不可能作為參數最小數目的程,可以認為要比作為L(cháng)e研究工具的相對微分方程P個(gè)函數)的最一般的變換中的任意可允群更為精確的表達.這樣,下面的描述是依此,無(wú)限連續群D∞。理解為這樣的群,即對基于形式變分學(xué)方法與Le群理論方法的聯(lián)系對特它的最一般的變換依賴(lài)于p個(gè)實(shí)任意函數p(x)及其殊群和特殊變分問(wèn)題,這種方法聯(lián)系不是新的;我已導數,或解析地,或至少這種依賴(lài)性用允許有限個(gè)連提到 Hamel和 Herglotz致力的特殊有限群, Lorentz續導數的連續函數來(lái)表達.依賴(lài)于無(wú)限多個(gè)參數,但和他的學(xué)生們(如 Fokker), Weiler和 Klein致力的特不依賴(lài)于任意函數的群處于中間情況.最后,依賴(lài)于殊無(wú)限群. Klein的第2篇論文和本文特別的彼此任意函數,也依賴(lài)于參數的群稱(chēng)為混合群,相互影響;為此,我愿意在 Klein的論文中給出末尾設x1,…,xn為獨立變量,u1(x),…,t(x)為的注釋它們的函數.如果x和u發(fā)生某個(gè)群變換,那么以下出現的所有函數都假設在所論域上是解析由變換假設的可逆性,被變換了的量將精確地包含的,或者至少是連續有界的,通常是連續可微的、單n個(gè)獨立量v,…,m;其余的量依賴(lài)于前者,記作U1(y),……,vn(y).在變換中可遇到u對x的導數,即au a2u某函數稱(chēng)為群不變的,如果成立關(guān)系P(T, u 8221對單重積分,對u的κ次導數,方程(3)取形式∑6u1+其中可注意的是,積分I是群不變的,如果成立關(guān)系af1=//(=amdu au∑6+y,這里積分遍及x的任意實(shí)域和y的相應域上du另一方面,對某個(gè)任意的不必是不變的積分I我得到一次變分6I,并利用分部積分法按變分法變換它如果認為,在邊界上6u連同所有遇到的導數+(-1都為零,那么得到6I=/…/y=相應的等式在n重積分下成立;其中,A包含6u至(κ-1)階導數.用方程(4),(5),(6)事實(shí)上可確//(∑(=a)m定 Lagrange表示v的情況由以下得知:用右端組(2)合可消去u的所有高階導數,此時(shí)另一方面,分部積分單值地導出的關(guān)系(2)得以滿(mǎn)足這里ψ標記 Lagrange表示,即對相應變分問(wèn)題將表述如下兩個(gè)定理:6I=01.如果積分Ⅰ相對某群D。是不變的,那么La的 Lagrange方程的左端.這個(gè)積分關(guān)系對應bu與 grange表示的p個(gè)線(xiàn)性獨立組合將變?yōu)樯⒍?反之,其導數間不含積分的等式這個(gè)等式用寫(xiě)出邊界上相由后一條件得到r相對某群D的不變性對無(wú)限多應值的項來(lái)得到正如分部積分證明的,這些項就是個(gè)參數的極限情形,定理也對散度的積分,即表達式2.如果積分Ⅰ相對群D∞。是不變的,在此群中aAl會(huì )遇到直至σ階導數的導數,那么在 Lagrange表示及其至σ階導數之間有P個(gè)恒等關(guān)系成立;這里也的積分,并且在表達式A中6u及其導數線(xiàn)性地出能反演現.因此,得到對混合群這兩個(gè)定理也成立;因此,無(wú)論依賴(lài)性∑wi dui=df+ div a(3)還是不依賴(lài)于它們的散度關(guān)系( Divergenzrelationen都存在其中可注意的是,如果∫僅包含u的一階導數,那么如果由這些等式引向相應的變分問(wèn)題,即如果取在單重積分情形,等式(3)與Heun稱(chēng)之為' Lagrangeψ=0,那么對散度成為全微分的一維空間情形,定理中心方程1表明存在p個(gè)第1積分,在所有情形第一積分之間∑d∑d可存在非線(xiàn)性依賴(lài)性;在多維情形得到散度關(guān)系,現在它們常確定為‘守恒定理;定理2是說(shuō), Lagrange方程總數中的p個(gè)方程是其余方程的結果的方程相重合,此時(shí)對n重積分,方程(3)變?yōu)橄率蕉ɡ?的最簡(jiǎn)單例子,不用說(shuō),乃是 Weierstrass∑w0-m.(>m)參數表示;這里在一階齊次下積分顯然是不變的,如果用x的任意函數取代獨立變量x,而保持函數u不變[y=p(x),vi(y)=ut(ax)].因此,出現一個(gè)任意函應為2,原文似有印誤一譯者注數,但沒(méi)有導數;這對應 Lagrange表示本身間的已也是不變的;對此情形關(guān)系(1)變?yōu)橹€(xiàn)性依賴(lài)性0=△I=0//(o)另一例子是物理學(xué)家的廣義相對論;這里涉及x的/…/(xa)所有變換群其中第1個(gè)積分遍及對應域x的域x+△x上.不yi=pi(e)過(guò),這個(gè)積分可借助下述對無(wú)限小△x所具有的變換此時(shí)u(用gμ和q表示)受到變換,這些變換歸為/-/woy-)+=二次和線(xiàn)性型系數的首項并包含任意函數p(x)的一階導數.這對應 Lagrange表示及其一階導數間的已知n個(gè)相關(guān)性其中可注意的是,如果特指在變換中不許有u(x)…/div(f.△a)dr導數的群,此外需變換的獨立量?jì)H依賴(lài)于x而不依賴(lài)于,那么(將在第5節中證明)由積分Ⅰ的不變性而變換為域x上的積分.因此,如果代替無(wú)限小變得到∑v6v的相對不變性,以及定理1中提到的散換△u寫(xiě)出變分度的相對不變性,既然參數發(fā)生相應的變換.由此還du:=vi(=)-ui(a得知前面所指的第一積分允許有群.對定理2恰好得到借助任意函數組成的依賴(lài)性的左端的相對不變性;由此還得到一個(gè)函數,它的散度恒為零并允許有群,這個(gè)群在物理學(xué)家的相對論中實(shí)現這些依賴(lài)性與那么方程()和(8)引向下述形式能量定律之間的聯(lián)系.最后,定理2用群論方法給出與此相關(guān)的 Hilbert關(guān)于廣義相對性’中涉及能量的0=/-/+k)h(00某些定理不成立的論斷的證明.由這些補充說(shuō)明,定右端是依賴(lài)變量和獨立變量等時(shí)變分的已知公式理1包含力學(xué)中所有關(guān)于第一積分的定理,同時(shí)定因為關(guān)系(10)在任意域上積分都滿(mǎn)足,那么被積表理2從疒廣義相對論’的群論觀(guān)點(diǎn)來(lái)看,可認為是最達式應恒為零;這樣,Lie微分方程在I不變情形取具普遍性的形式6f+div(f·△x)=02散度關(guān)系和依賴(lài)性如果這里按式(3)將6∫用 Lagrange表示代入,那么得到設D是某個(gè)有限或無(wú)限連續群;此時(shí)需要達到的是恒等變換對應參數∈或相應任意函數p(x)的零(B=A-∫·△x)(12)值.因此,最一般的變換將有形式而這個(gè)關(guān)系對每個(gè)不變積分I相對所有出現于其中的自變量都是恒等的;這就是對I的Le微分方程A ila=x;+△x;+的待求形式開(kāi)始認為D是有限連續群;因為據假設,△uau(v)=B和△x相對參數1,…,Ep是線(xiàn)性的,那么據式(9),對變分6u及其導數也對;這樣,A和B對E是線(xiàn)這里△x1,△u1表記對6,相當p(x)及其導數的最低性的,因此,如果取次項;由此得知,這里它們線(xiàn)性地出現.下面可查明B=B1)1+…+Bl這不是共有的限制現設積分I相對D是不變的,因此將滿(mǎn)足關(guān)系6u=b()1+…+buo)c1)其中可注意的是,此時(shí)I相對包括在D中的無(wú)這里bn(4),…是x、υB'的函數,那么由方程限小變換(12)得到散度的待求關(guān)系y=x;+△;∑vu=dvB0)U(y)=t+△u∑vnP=dvB這樣, Lagrange表示的P個(gè)線(xiàn)性獨立組合過(guò)渡到(-ya(ew)}=0,(=12,…,)散度;線(xiàn)性獨立性可這樣得到:按等式(9)由條件(16)6u=0,△x=0可得△a=0,△x=0,而因此在無(wú)限小變換之間存在相關(guān)性.但按條件相關(guān)性對無(wú)論怎這就是在積分r相對D不變下 Lagrange表示及樣的參數值都不成立,因為用無(wú)限小變換的積分重新其導數間的待求關(guān)系;線(xiàn)性獨立性如上已找到,因為得到的群D。依賴(lài)于比p要小的實(shí)參數.另一可能性演將返回等式(12),可得到由無(wú)限小變換返回到有6u=0,div(f·△x)=0應除去,這些結果在無(wú)限多隈的結論,這將在第4節詳細展開(kāi).因此,對D∞p在個(gè)參數的極限情形仍保持無(wú)限小變換中經(jīng)常出現p個(gè)任意變換.由方程(15)現設D為無(wú)限連續群D∞i;此時(shí)bu及其導和(16)還得到數,因此B,相對任意函數p(x)及其導數還將是線(xiàn)性的;假設代入bu的值,獨立于(12),得到∑=∑(叫(…加(a)+如果涉及'混合群,假設△x和△u相對c和p(x)是線(xiàn)性的,那么可以看出,一次可讓所有p(x)為零,另次讓所有ε為零,在此情形仍成立散度關(guān)系(13)(x,,…,)+…+以及相關(guān)性(16)3有限群情形下的反演為證明反演,首先基本上將前面引出的結論反過(guò)現在根據等式來(lái)看.由關(guān)系(13)存在,在乘以E并相加之后可得a p(a)知等式(12)的正確性,按等式(3)得到關(guān)系8f +div(A-B)=0類(lèi)似于分部積分公式,P的導數用p本身和散度替代,它們對P及其導數仍然是線(xiàn)性的;因此得到這意味著(zhù),如果取(-1 D2 (c waylay那么可導致等式(11);最后,由此用積分得到等式(7)+div T(14)△Ⅰ=0與(12)聯(lián)立,有即積分Ⅰ相對由△x,△u確定的無(wú)限小變換的不變性,且Δa按等式(9)由△x和bu確定,而△u相∑{a)8a))+…對參數仍是線(xiàn)性的.但眾所周知,等式△I=0(-1)°(15)導致相對有限變換的不變性,這些變換用聯(lián)立方現在某域上組成(15)的n重積分;選函數p()使程組它們連同出現于(B-r)中的所有導數在邊界上為dt= 4u零.因為散度的積分歸為沿域邊界的積分,那么,對僅限制本身連同充分多的導數在邊界上為零的任意當t=0(17)函數p(x),方程(15)左端的積分也為零;由此按已知方法得知,積分號下表達式對每個(gè)p(x)為零,即成立p個(gè)如下關(guān)系的積分來(lái)得到∵這些有限變換包含p個(gè)參數a1,……,ap,即組合∑{.")+…+e1,…,tep由應有p個(gè)且僅有p個(gè)獨立散度關(guān)系的假設,進(jìn)而得知,有限變換,既然它們不含導數原文為一,疑為印誤—譯者注總組成群.反之,至少一個(gè)由Le括號方法( Lie' schen它們通常稱(chēng)為守恒律.在一維情形下,由此得到Klammerprozess組成的無(wú)限小變換不是P個(gè)其余的線(xiàn)性組合,而因為Ⅰ允許這個(gè)變換,那么存在大于onst,…B(p)= constp的關(guān)于散度線(xiàn)性獨立關(guān)系,或者這無(wú)限小變換有特殊形式使得bn=0,div(f·△a)=0,但此時(shí)△x和這里B包含u的不高于2k-1階導數(據(6),因△y與假設相矛盾而依賴(lài)于導數問(wèn)題是能否是這種為4u和△不包含比出現于f中階更高階的導情形,即在△x或△中出現導數,仍是懸案;此數因在中一般說(shuō)會(huì )遇到2階導數,那么因此有時(shí)前述△x與使div(f·△x)=0的△x發(fā)生了聯(lián)系P個(gè)第一積分.在它們中間可存在非線(xiàn)性依賴(lài)性,由使得重新得到群,但按條件,這樣附加的參數不應考前例可再證明、線(xiàn)性獨立的△u=4,4x=B2對慮.這就證明了反演.應線(xiàn)性獨立關(guān)系由此反演還得到,事實(shí)上我們有理由選△x和1 d△u相對參數是線(xiàn)性的.實(shí)際上,如果Δx和△u是d對ε的高階形式,那么由于ε階積的線(xiàn)性獨立性相應的關(guān)系(13)在大多數下可得到,而由此在反此時(shí)在第一積分之后得到積分Ⅰ相對其無(wú)限小變換包含參數的群是u'=const, u=const不變的.如果這個(gè)群應十分準確地包含P個(gè)參數,那么因為有對c的高階項而原先得到的散度關(guān)系之之間存在非線(xiàn)性依賴(lài)性.因此涉及基本情形,當間的線(xiàn)性相關(guān)性必然存在△u,△x不含u的導數還需注意,當△z和△u包含u的導數時(shí),有限變換可依賴(lài)于u的無(wú)限多個(gè)導數,實(shí)際上,當m”4無(wú)限群情形下的反演02x;82va2確定時(shí),在此情形系統(17)的積分引向方程首先證明,△x和△u的線(xiàn)性假設不是任何限制,這不用反演便可由這樣的事實(shí)得知:Dp形式00△uaua△x地依賴(lài)ρ個(gè)且僅p個(gè)任意函數.即,可證明,在非線(xiàn)性情形當施加變換時(shí),對低次項求和,任意函數的因此α的導數數目,一般說(shuō)來(lái)隨各階而增大.這樣,數目就會(huì )增大實(shí)際上,設例如y=’v·z=(u-tx),bu=xex+∑,…+6x…)y=2m+v,△v=(x2因散度的 Lagrange表示恒為零,那么反演證明如p=(p1)"+…+(po)°下:如果I允許群D,那么每個(gè)僅在積分時(shí)沿邊界不相應地同于I的積分,即散度的積分,也允許有帶同樣u的群D,其無(wú)限小變換一般說(shuō)將包含u的導數.這樣,例如依照前例此時(shí)加上{"()}du允許有無(wú)限小變換對低次項得到△u=xs,△x=0z=x+∑ap2+q")+此時(shí)在對應于f∫的無(wú)限小變換中出現u的導數aql如果轉向變分問(wèn)題,即如取v;=0,那么關(guān)系(13)導致方程apdiv b(l)=0., div b(p)=0{p"(a如果這里異于a和b的任何系數不等于零,因此對任何a>1實(shí)際上會(huì )遇到項∑{…ypa= +a2+…+c"ax那么它不可以作為一個(gè)單值函數的導數或者作為這樣的階項來(lái)研究;因此,任意函數的數目與假設相比因為由無(wú)限小變換△x=px得到帶任意g(y)的每個(gè)較增大了.如果異于a和b的所有系數為零,那么依變換x=y+g(y),那么尤其是需建立P(x)對t的依賴(lài)于指數n,,v可有兩種情形:或者第2項是第賴(lài)性使之得到單項群1項的導數(例如,對D∞1總成立),因此實(shí)際上得Ti=yi +tgi(y)到線(xiàn)性性,或者任意函數的數目增大,這樣,由于函數p(x)的線(xiàn)性性,無(wú)限小變換滿(mǎn)足線(xiàn)性偏微分方程此群在t=0時(shí)成為恒等式,而對t=1時(shí)引向待求組,而因為群的存在條件滿(mǎn)足,那么按Le的定義,變換x=y+g(y)它們組成無(wú)限小變換的無(wú)限群這里類(lèi)似于有限群情形來(lái)得到反演.依賴(lài)性(16)實(shí)際上,由方程(18)求導數,得的存在,在乘以p)(x)并借助恒等變換(14,引向方程dt=(y)=p°(x,t)∑lisui= div r這里p(x,t)用表達式(18)反演的方法由g(y)確定,如同在第3節中,由此得到△a和△u的定義和積分反之,在補充條件當t=0時(shí)x;=v下,由式(19)Ⅰ相對這些無(wú)限小變換的不變性,而這些無(wú)限小變換可得到方程(18);這條件單值地確定積分.借助方程實(shí)際上線(xiàn)性地依賴(lài)于p個(gè)任意函數和它們直到σ階(18),△u中出現的x可用積分常數y和t表示出的導數這些無(wú)限小變換如果它們不含導數a2,…來(lái),此時(shí)90)恰好進(jìn)入直至階導數的記號下因定組成群,正如第3節中由這樣事實(shí)得知:否則在此在表達式相加時(shí)會(huì )引出更多的任意函數,此時(shí)按假設應僅有p個(gè)依賴(lài)性(16)};因此,這些變換組成‘無(wú)限小變換的無(wú)限群.但這樣的群由Le意義下有限變換的無(wú)限中,b2用表示,一般說(shuō)群D所定義的最一般的無(wú)限小變換組成.每個(gè)有限p表為ay變換由無(wú)限小變換用積分聯(lián)立方程組的函數.于是,得到為確定u的方4c.du=△u程組F{9(y)當t=0Ui= Ui(當t=0,u4=v),來(lái)得到,并且還需將任意函數p(x)當作依賴(lài)于t來(lái)研究.就是說(shuō),D實(shí)際上依賴(lài)于ρ個(gè)任意函數;其其中僅t和u是變量,而g(y)作為系數;因此,積中,只要設p(x)不依賴(lài)于t,就足以使得這種依賴(lài)性分給出相對任意函數q(x)=t·p(x)是解析的.如果出現導數那么在作出結論之前,補充無(wú)限小變換二+B(0…)6u=0,div(f.△x)=0應是必要的與Lie引出的例子相關(guān),還要指出足夠一般情即僅依賴(lài)于任意函數的a階導數的變換根據式(18)形,其中勉強得到顯式,而在顯式中出現任意函數不這些變換包括當g(y)=0時(shí)的恒等式,那么這些變高于σ階的導數;在此情形仍然可完全得到反演換組成群,因為所指方法給出每個(gè)變換x=y+這就是,這些無(wú)限小變換群,它們對應x的所有變由此得到的對u的變換也被單值地確定;因此,換以及由此發(fā)生的u的變換的群,即u的這些變D被完全確定換,在變換時(shí)△u,因此u僅依賴(lài)于△x中出現的任由反演還得知,如果我們得到僅依賴(lài)于x而不意函數;因此還假設在△u中導數z,不出現.依賴(lài)于t,的任意函數,那么這不意味任何限于是有制.后一情形在恒等變換式(14)中,而因此在式(15)△x;=p{(x中,除p(外還出現du a(au/ar因此,如果繼續認為p)相對帶x的任意函數的vm,…的如果在第3個(gè)積分中將6用xu如表示,并零階,一階,…作為系數,那么在多數情形重又出讓它等于第1個(gè)積分,那么對在邊界為零而在其他方現關(guān)系式(16);但是,這些關(guān)系根據所論反演用聯(lián)合面任意的6u就有關(guān)系僅依賴(lài)于x的任意函數的辦法將導致前述情形.這樣可精確地證明,依賴(lài)性和不依賴(lài)于它們的散度關(guān)系/…/()的同時(shí)出現對應混合群.眾所周知,由此得對任意bu的被積函數為零;因此,5關(guān)系式各自組成部分的不變性我們有對6u的恒等關(guān)系v(u,…)6uv(U,…)6如果專(zhuān)指群D,通常限于最簡(jiǎn)單情形:變換中不出現u的導數且變換的獨立變量?jì)H依賴(lài)z而不依賴(lài)它建立了表達式∑的相對不變性,而因此建首先用已知推理方法得到積分∑vbu)dz/…/(∑w)的不變性的相對不變性,而因此得到表達式為將其應用于導出散度關(guān)系和依賴(lài)性,需再證明,由△u,△x引出的u實(shí)際上要滿(mǎn)足對6u的變換規律,既然bU中的參數或相應的任意函數可如此確定以使它們對應相對yv的無(wú)限小變換的相似群.的相對不變性,6理解為某個(gè)變分事實(shí)上,一方面如果用表記由x,u到v的變換,用表記,自身組成的變換,那么與其相似的變換由公式a, uI=lgPl/…/6(w-)6代(y,y給出,因此這里工的參數或相應的任意函數借助p和q來(lái)確定.用公式表示為另一方面,在邊界上值6,6,…等于零,而由于:5=x+a(x,p)量6u26。變換的線(xiàn)性齊次性,它們對應邊界上為零=u+△u(x,u,p)的量I q: y= A(=, q)C. 2Lc. i工xp:n=A(x+△x(x,p)q)…/∑()B(x+△x(p)但由此得工=工1因此Uy+△y(r)+△v(r)因此,對在邊界上為零的值我們有并且由于反演,工可作為y的函數來(lái)研究,并僅考慮無(wú)限小項,因而成立等式∑v(u,…)6ud△)=y+∑aA(, q△x(p)∑響(,…)6n)dU=+△()=+∑8B(.9△ax(p)+8B(.g△u(p)這里如果ξ=x+Δx用ξ-Δξ替代,因ξ重又過(guò)不依賴(lài)于x或不依賴(lài)于α,對應無(wú)限小變換Δx=ε,渡到x,因此△x為零,那么按公式(20)的第一個(gè),△u=0或相應地△x=0,△a=ε.此時(shí)bu變?yōu)榈萵也過(guò)渡到y=n-△;如果用這種代入,△)變于出或相應地6,因為B由∫和bu用微分和有為♂u(p),那么△v(T)也變?yōu)閎v(,式(20)的第二個(gè)理運算得到,那么因此它也不依賴(lài)z或相應地u,并給出允許相應的群u+2(…,+=+.6 Hilbert的結論6u(n…,)=∑aBSux(a, u, p)最后,由前述還得到 Hilbert關(guān)于能量本征定律因此對變分的變換公式實(shí)際上得以滿(mǎn)足,既然僅b與廣義相對論無(wú)關(guān)聯(lián)的結論的證明(Kem的第1假設依賴(lài)于參數或相應地依賴(lài)于任意函數r其中可注意的是,由此得到,表達式∑wu4的是在一般提法下用群論觀(guān)點(diǎn)相對不變性以及(考慮到式(12),那么散度關(guān)系對設積分Ⅰ允許群D?！辮并設D為由前述群用使y,U也滿(mǎn)足)量dvB的相對不變性;進(jìn)而,據式(14)任意函數有特殊形式構造出的某有限群;因此,D和式(13,得到dr以及與p相關(guān)聯(lián)的依賴(lài)性左是D∞p的子群.此時(shí)無(wú)限群Dp對應依賴(lài)性(16),端的相對不變性,這里通常在變換公式中需用r代替而有限群D對應散度關(guān)系(13;反之,由某個(gè)散度滿(mǎn)足函數p(x)(及相應參數).由此還得到dv(B-r關(guān)系的存在引起I相對某有限群的不變性,這有限的相對不變性,即不恒為零的函數組B-r,其散度群在且僅在那種情形才與D重合,即當b為由D恒為零.得到的bu的線(xiàn)性組合.因此,對D。的不變性不能由dvB在一維情形對有限群的不變性,還可得導出異于(13)的某些散度關(guān)系,但因由依賴(lài)性(16)出第一積分相對不變性的結論對應無(wú)限小變換的參的存在得到I對群Dx在任何形式的p(x)下的無(wú)數變換,據式(20)將是線(xiàn)性齊次的,由所有變換的限小變換△x,△u的不變性,那么其中也得到用函數反演,ε也用變換了的參數e線(xiàn)性齊次地表出特殊形式的方法引起的對群D。的無(wú)限小變換的不個(gè)反演無(wú)疑地保持,如果取ψ=0,因為在公式(0)變性,而因此得到群D本身的不變性,散度關(guān)系中不出現u的導數如果在方程∑列n=dvBdiv b(ae)= -div b(y,t,…,e)應是依賴(lài)性(16)的結果,它們可寫(xiě)成中讓e*的系數相等,那么函數B((y,U,…)這里x()是 Lagrange表示及其導數的線(xiàn)性組合.因ψ無(wú)論在(13)還是在(16)中線(xiàn)性地出現,那么其中也是散度關(guān)系應是關(guān)系(16)的線(xiàn)性組合;因此得BM(x,u,…)的線(xiàn)性齊次函數,因此由等式dzB(x(x,u,…)=0而B(niǎo)()本身用x線(xiàn)性地表示,即用 Lagrange表示及其導數以及其散度為零的函數線(xiàn)性地表出,例如,甚至如B-F(第2節末),對它有div(B-r)=0而B(niǎo)(4(x,u,…)= const這里散度同時(shí)具有自身不變性.其中B(用給定方法由 Lagrange表示及其導數組成的散度關(guān)系,其將也得到稱(chēng)之為‘非本征的,所有其余的稱(chēng)為本征的B((y,v,…)=0反之,如果對散度的關(guān)系是依賴(lài)性(16)的線(xiàn)性組合,即它們是‘非本征的,那么由對D∞p的不變性B((y,U,…)=得到對D的不變性;D。成為D∞p的子群.對應const某有限群D。的散度關(guān)系,當且僅當散度關(guān)系是牛非這樣,對應某個(gè)群Dρ的ρ個(gè)第一積分也允許群,因此本征的’,即群Dσ是某無(wú)限群的子群,積分I相對它下一步的積分可簡(jiǎn)化.最簡(jiǎn)單的例子就是,當函數∫是不變的用群的專(zhuān)門(mén)化方法得到 Hilbert的第1個(gè)結論n=+11+p()=+lm混合群'我們理解為有限群△x=p(x),yi=ci+Ei, vi y=ui(a)Sui=p(e-up(a)因此這里依賴(lài)性(16)將是△x;=ε,△u=0,bv1=∑(wn相對混合群的不變性顯然意味著(zhù)在積分1=//(=ua…)能量本征關(guān)系取形式∑(+)-0中z不明顯出現于f中.相應的n個(gè)散度關(guān)系0u=divB(刈),(入群的最簡(jiǎn)單不變積分是=1,2,……,n)我們稱(chēng)之為“能量關(guān)系,因為與變分問(wèn)題相應的守恒律最一般的積分I由Le微分方程(11)對應能量定律,而B(niǎo)()為“能量分量∵這樣,下述6f+(f·△x)=0結論是對的如果Ⅰ允許混合群,那么能量關(guān)系僅在的積分來(lái)確定,因為認為函數∫僅依賴(lài)于u的一階那種情形才是非本征的,即積分Ⅰ相對將混合群作為子群的無(wú)限群是不變的導數,用代入△x和△u的方法,可將其表為所有對x的變換以及由此產(chǎn)生的對u(x)的變換afna)+∑af af的群,是這類(lèi)無(wú)限群的例子,在變換中僅出現任意函au: Ou ' ":+fSp'(數p(a)的導數;混合群可用專(zhuān)門(mén)取p((x)=;的辦af∑a}p"()法得到;但仍有待解決的問(wèn)題,與對I補充邊界上積分所產(chǎn)生的群相聯(lián),這些最一般的群是否給出了,當量u受到全微分形式系數變換時(shí),即形式(對p(x),p(x),p(x)恒等的)此方程組對兩個(gè)函數(x)的情形已有解,這個(gè)解實(shí)際上包含任意函數ad Ti+>bd即∫=(4-2)(u1-a2,它除dx外還包含高階微分,給定類(lèi)型的導出變換將u1-u2會(huì )發(fā)生;更專(zhuān)門(mén)的變換,其中p(x)僅以一階導數出其中表記所指自變量的任意函數現,會(huì )給出常微分形式的系數變換眾所周知, Hilbert做出結論:能量本征定律的不成立正是“廣義相對論的特征跡象.為了使這個(gè)cdr;……dxx結論在字面上說(shuō)得有理,必須對“廣義相對論這個(gè)述語(yǔ)比通常給出的更廣泛的理解,即將其擴充到上述而通常僅研究這些變換所論依賴(lài)于n個(gè)任意函數的群給定類(lèi)型的另一個(gè)群,由于出現對數項不能成為系數變換,是這樣的(北京理工大學(xué)梅鳳翔譯自 MMI HerepHBapnaHTHble BapnanmoHHbIe OanayKMocKBa:rⅥΦMH,1959,611~630清華大學(xué)王照林校)