幻方的簡(jiǎn)易合成

第34卷第4期太原理工大學(xué)學(xué)報Vol. 34 No. 42003年7月JOURNAL OF TAIYUAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGYJuly 2003文章編號: 1007-9432 ( 2003 )04- -0496 -04幻方的簡(jiǎn)易合成趙麗華.(太原理工大學(xué)理學(xué)院.山西太原030024)商要:利用倒正交拉丁方,給出了關(guān)于2m+1階幻方的和合成公式。另外,引入了幻方乘積的概念,給出了4m階幻方的積合成公式;同時(shí)引入了加邊幻方的定理,將4t階幻方加邊成41+2階幻方。關(guān)鍵詞:拉丁方;正交拉丁方;幻方中圖分類(lèi)號:O157文獻標識碼:A幻方是組合數學(xué)中最古老而有趣的內容,據傳說(shuō)n)為n階拉丁方,則稱(chēng)L,=(axn- 1-,)為L(cháng),的倒拉丁大禹治水時(shí)就在神龜背上看到了3階幻方。古代數方。學(xué)家楊輝給出了從3階到10階的幻方。除2階幻方定理1 n階拉丁方 L.=(2i-j)與其倒拉丁方不存在外,其它任意階幻方都存在。國內外文獻中構L.=(2i+j+ 1)是正交的，且其對稱(chēng)元偶集造幻方的方法多比較復雜，如文獻[1],[2]。本文僅.({a,wau-+) :0≤i,j≤n-1}=用一個(gè)公式便給出了全部奇階幻方,并引進(jìn)了幻方乘{((2i- j) mod n, (2i+j+ 1)mod n)} (nXn)。積和加邊的概念來(lái)給出除2外的全部偶階幻方。這證明是幻方存在性的一個(gè)簡(jiǎn)短證明。本文的元素從0到若(2i-j,2i+j+1)=(2i'- j',2i'+j'+1)，n-1,只要再加上一個(gè)元素全為1的方陣便是其它文則有獻中的幻方。(2i+j+1)-(2i-j) =為了討論方便,我們需了解以下基本概念。(2i+j'+1)-( 2i-j').1)拉丁方:若n個(gè)不同的元素0,1,2.... ,n- 12j= 2j’， 得j= j'.中的每-一個(gè)在-一個(gè)n階方陣的每一-行、每一列都恰好因為j=j',又出現一次,則稱(chēng)這個(gè)n階方陣為一個(gè)n階拉丁方。(2i-j,2i+j+1) =2)正交拉丁方:設A=(a;)nxn和B=(b;)x.是(2i'-j', 2i'+j'+1)，兩個(gè)在元素0,1.2.... ,n-1上的n階拉丁方(n≥所以i=i.即證(a,,ai(n- 1+;)=(2i-j,2i+j+1)正3),如果n個(gè)2-樣品.交。(a,b;) (i,j = 0,1,2....n- 1)定理2設L,=((2i- j)mod n)，互不相同則稱(chēng)拉丁方A和B是正交的。即如果(ay，L.=((2i+j+ 1)mod n)，b,)= (ar;,b;;),那么必須i=i',j=j'.3)幻方:由0到n2-1這n2個(gè)數所構成的n階則2m+1階幻方的和合成公式為:Mm+1= M, = nL, + L..方陣,若它每行各元素的和(簡(jiǎn)稱(chēng)行和)、每列各元素的和(簡(jiǎn)稱(chēng)列和)、兩對角線(xiàn)上各元素的和(簡(jiǎn)稱(chēng)對角證明因為L(cháng),I, 中的元素最小為0,最大為和)都相等(都等于"(n,-共),則稱(chēng)它為n階幻方。n- 1,所以Mm+1中的元素最小為0,最大為n(n-1)2+(n-1)=n2-1,即Mm+為由0到n-1這n2個(gè)基于以上的基本概念,我們引入下列幾類(lèi)幻方的數所構成的n階方陣. .簡(jiǎn)易合成問(wèn)題。中國煤化工對角和為Ss則: .1 2m+1階幻方的和合成(m≥1)YHCNM HGS=S2=Sg=:(2m土1D[(2m+1)°- 1]。定義1倒拉丁方:若L,=(a;)=(2i-j) mod收稿電期:20011-26作者簡(jiǎn)介?題附幸(1979- ),山西陽(yáng)泉人，在讀碩士,主要從事概率論與數理統計研究。第4期趙麗華:幻方的簡(jiǎn)易合成4972m(m+ 1)(2m+ 1).「135702468在nL,+L =(2m+ 1)L2m+1 +L2m+1中，s,=s,=(2m+1) (2m+ 1)[(2m+1)-1]+3572468135702(2m+ 1)[(2m+ 1)- 1]5. 7024681 36813570242m(m+ 1)(2m+ 1)，70.24681358 135702 4 6S3=(2m+1)2i+>(3i+1).0. 24681357|9x9在L。及L中,主對角線(xiàn)和為:則(2i-i)= Zi=!n(n-1)M, =9Lg+Lg =i=121416172113151717次對角線(xiàn)和為:74133353643234354665253656761535462(2i+j+1)= (3i + 1)mod n.58781728486871838當2m+1≠3t時(shí),3i+1=3j+1,則i=j.5070020406080103(2(3:+1)= 2i= n(0-1)4262731232526322234456542444557514當2m+1=3t時(shí)，263757771627476763←12(3i+1)= 2(3i+1)=92949698193959799x93●((3i+1)) =2 4m階幻方的積合成定理3設A=(a, ),xw(0≤i,r≤n-1)為一n階3t(3t- 1)_ n(n- 1)幻方,B= (b,)mxm(0≤j,s≤m-1)為一m階幻方，則所以幻方的乘積合成公式為:s3= (2m+ 1)●n(n-1) + n(n-1)_C=AXB= (Cm )wmXmn.其中cu=ar +nb,,k=i+ nj,t=r+ ns,0≤k,t≤mm2m●(m+1)●(2m+1).-1.綜上可知,M2m+1=M,=nL +L,且M2m+為- -證明下證C 為幻方,因為A,B均為幻方,顯然幻方。C中元素的行和、列和及對角和均相等，下面僅需證C例1由定義 1及定理1,我們可構造出L及中無(wú)相同元素。L.假使Cn=Cgr ,則有Lg = ((2i- j)mod 9) =ar十n°bj = ar+n2bys.-02.4681357又因a, ,a,r及b,,b;;為被n除所得余數與商，所以81.3570246須a,= arr,b,= bys.702468135又A,B為幻方,即i=i',r=r';j=j' ,s=s'.6 81357024故C為幻方。中國煤化工fYHCNMHG)5 10 157357.0246811114142.46813570|A=642=138725 07]x3135702468x963129]x4(2i+j+1) mod9)=498太原理工大學(xué)學(xué)報第34卷A+0J A+5.3*J A+10.3J A+15.3*J-例3下面給出4階幻方A加邊成6階幻方B.A+11.3J A+14.3J A+1.3J A+4.3J051015-:==A+13.3J A+8.3J A +7.32J A+2.3J14 1_A+6.3*J A+3.34J A+12.34J A+9.32J」 12x128‘2|r A A+45.J A+90J A + 135J-3129A+99J A+126J A+9J A + 14J033323181:A+117J A+72J A+63J A + 36.J51015202530_A+54J A+27J A+108J A + 729J_29212411146由定理3及例2可推知,C又可表示為28231817127C=AXB=91613221926A+ bonrJA +bu1rJA+ bo14J其第一行元素為:A+b(m 1)on2J A +bom- 1)4J . A+bur 1)om- 1)nr"J_| mXxmoo = 0;mocas+t) = 1;moc) = 6t+2 (t≥2);注意,因為2階幻方不存在,所以我們需要給出4階mo;= i+1,1≤i≤t- 1,3t+1≤i≤4t-1;幻方和8階幻方。然后根據定理3可得出2'(l≥3)階mor= i+1, t≤i≤3t. .幻方,再由本文第1部分和定理3可得出2' (2m+1)其第一列元素為:階幻方,由此便得出全部4m階幻方。下面我們給出noo = 0; m+10= I;m = 4l+i,1≤i≤l;4階幻方和8階幻方。m,= 41+i+1，3t+1≤i≤4l;4階幻方:mo = 4t+i, t+1≤i≤2t+ 1;mo=4t+i+1, 2t+2≤i≤3t.111414其中“i”表示i的補元，各行中補元的和與非補13872元的和應相等。_63129」4x4證明第- -行元素中:8階幻方:012532647225735-2(i+1)+ 2(i+1)>+6t+3=389486031194252+l-2_ 72-51-2 +398183061.4943.52463427562313:6t+3= (2t+ 1)*，115029736401762之(i+1)=(+1)+(3t+1)(21+1)=5955143324520242252115323445458(2t+1)2 ,2851413716106638x8即得:i+1)+藝<(i+ 1)+6t+3 =3 4t+2階幻方的加邊合成1。1-31+1定義2設A=(a;)是一個(gè) n階幻方,令b.+1.+1(i+1).=a; +2n+2,再把0,1... ,2n+1和n+4n+第一列元素中:3.... ,n2 +2n+2加在其四周使得兩個(gè)行和和兩個(gè)列和滿(mǎn)足:中國煤化工i+1)+1=boo +.十bocn+1) = b(n+1)0 +..十b(n+1)(n+) =fHCNMH.9t-4+1=.boo +.+ bun+1)0 = bou+1) +.+ bn+1)(+1)，對角和滿(mǎn)足:12t十2t,boo十..+ bur+1>(n+1) = bocn+1) +.*+ b(n+1>0，(41+i>+ 2(4+i+1)=則B是一反方數據階幻方,B稱(chēng)為A的加邊幻方。第4期趙麗華:幻方的簡(jiǎn)易合成499吧+t+15f +3t= 12+ 2.22<41+i)+ 2((4t+i+ 1).i=3+1即證:24+2(4t+i)+ 2(4t+i+1)+1=i=r+1i=21+2參考文獻:[1]陶照民.偶階幻方和奇階正交拉丁方的構造方法[J].應用數學(xué)學(xué)報,1983,6(3):276-281.[2]李 超.用線(xiàn)性取余變換構造正交拉J方和幻方[J].應用數學(xué)學(xué)報,1996,19<2):231-238.Several Simple Formulas of Constructing Magic SquaresZHAO Li-hua(Collegeof Sciences of TUT, Taiyuan 030024 China)Abstract : This paper presents a simple formula about 2m+ 1 order magic squares. In addition,it givesa definition about the multiplying of magic squares , then presents a formula about the multiplying of 4morder magic squares. And it gives several examples about the expanding of magic squares,also presents aformula about expanding 4t order magic squares into 4t + 2 order magic squares.Key words:Latin squares ;orthogonal Latin squares ; magic square(編輯:張紅霞)(. 上接第483頁(yè))[1] Smruti Ranjan Behera. Towards The Automatic Generation of MAIDS[D]. Ames, Iowa,2001[2] Mark Slagell. The Design and Implementation of MAIDS[D]. Ames, lowa,2002[3] Hyacinth S Nwana. 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