Taylor定理的應用

跨世紀2008年7月第16卷第7期 Cross Century,June2008,vol16,No.7127Taylor定理的應用韋潔華(廣州南洋理工職業(yè)學(xué)院基礎部,廣西,貴港,510980)【摘要】本文通過(guò)實(shí)例介紹 Taylor定理在證明不等式、導數的中值估計行列式的計算、定積分的近似計算及定積分計算、關(guān)于界的估計、函數方程金融數學(xué)中的應用?！娟P(guān)鍵詞】 Taylor定理;不等式;中值估計;行列式;定積分;界;函數方程;AaR;債券中圖分類(lèi)號】013【文獻標識碼】B【文章編號】1005-1074(2008)06-0127-02Taylor定理:若∫"(x)在[a,b]上連續(x)在(a,b)x)2內存在則Ⅴx,x∈[a,b],3在x與x之間,使得下式成立因此,fx)=f(x)+fx)++n/”()(x-)”+R(x),、(1) min ox,xe(0,),(x)=f(a)+f(a)f: (a)f(°(a)2!(x-a)2+A+證明原式等價(jià)于八(x)=mnx,nx-2>0,因(0)=f)(x-),=(0)=0(x)=sinx5mc2x-1)+ bsin xsec'r>0,根據行列式的性質(zhì),對于任何k∈N,有4=a(a-b),又故f(x)>0(當x∈(0,0))原式獲證根據行列式求導法則,有fn(x)=mfn1(x),fn-(x)=(n-1)f2(x),A,2(x)=2f12導數的中值估計例2設f(x)二次可微,(0)=f(1)=0,maxf(x)(x),f1(x)=1,所以f(x)在x=a處的各階導數為f(a)=n(n-1)A(n2,試證mn(x)≤-16證明:因f(x)在[0,1]上連續,有最大最小值,又因k+1)a(a-b)"k(k=1,2,A,n-1)f("(a)=n(nmaxf(x)=2,f(0)=f(1)=0,故最大值在(0,1)內部達1)A2·1,從而到所以3x∈(0,1)使得fx)=a(a-b)“1+.(a-b)2(x-a)+D,1)a(af(x0)于是f(x)為極大值由 Fermat定理,有f(x)==0b叫("1)A2a(x-a)1+-1)21在x=x處按 Taylor公式展開(kāi),3v∈(0,1)使得:0=(0)=f(x)+()(0-x)2=2+f(x)x2若中國煤化工)b];0=(1)=(x)+1f(n)(1-x)2=2+fn)(1-若a≠CNMHG作者簡(jiǎn)介:韋潔華(199~),女,廣西費港市人,廣州南洋理工職業(yè)學(xué)院基礎部助教從事高等數學(xué)線(xiàn)性代數概率論等基礎課程的教學(xué)與研究。128跨世紀2009年7月第16卷第7期 Cross Century,June2008,vol16,No74定積分的近似計算及定積分計算式給出例4∫f(x+h)=ftx+h)此式兩端同時(shí)對h求導,減去f1x),除以h,然后令h0取極解:原式=d=1(1-2+x2-A)d=1限即得(x)=0,(x)為二次函數7在金融數學(xué)中的應用7.1在VaR計算中的應用ⅤAR模型,自20世紀90年代被引人到風(fēng)險管理中,已經(jīng)成例5求定積分bdx的近似值。為金融機構和監管當局所廣泛采用的風(fēng)險度量和管理工具。解:該被積函數的原函數不是初等函數,故用牛頓一萊VaR模型的常見(jiàn)計算方法有參數法、歷史模擬法和蒙特卡羅布尼斂公式是無(wú)法求出其精確解的,考慮的泰勒展開(kāi),模擬法其中的參數法就是由資產(chǎn)價(jià)值函數的黍勒展開(kāi)來(lái)計能方使的求出其近似數算,并且依據函數展開(kāi)階數的不同,分為dela類(lèi)方法和gamma類(lèi)方法?？紤]一個(gè)投資組合X=(x,x2,A,x)「其中X,isin( Axx21,2,A,n表示第i種資產(chǎn)的投資權重,t時(shí)刻所有資產(chǎn)的價(jià)7!3!5值向量V=(v1,2,A,,),組合X的價(jià)值為v=∑x,在下sin( ex一個(gè)時(shí)段內,組合價(jià)值變動(dòng)為4=△,假設每種所以資產(chǎn)價(jià)值都由K個(gè)市場(chǎng)因子確定,且這K個(gè)市場(chǎng)因子服從聯(lián)合正態(tài)分布,F=G1J2,Af),則AV按照一階泰勒展開(kāi)得in( ex△=∑x洲(F,)、m(F,)因為-2(1,故;=d由此得出dla參數法;若將投資組合的價(jià)值變動(dòng)函數按照二階泰勒公式展開(kāi),則得 gamma參數法。9461,誤差R<1!;<0.5×10-37.2在債券定價(jià)中的應用在債券的定價(jià)及投資組合風(fēng)險值的計算中,平均期限是一個(gè)重要的概念,它衡量基礎產(chǎn)品價(jià)5關(guān)于界的估計格相對于基礎利率變化的幅度。一個(gè)20年期的債券也許只例6設f(x)在[0,1上有二階導數,0≤x≤1時(shí)有17年的平均期限.這意味著(zhù),如果利率上升2%,該債券f(x)|k≤1,|f(x)|<2試證:當0≤x≤1時(shí),|f(x)|≤3價(jià)格將下跌34%;而利率下跌1%時(shí),債券價(jià)格則上升17證明:1)=f(x)+(x)(1-x)+f)(1-x)2%,若每次用vaR模型來(lái)進(jìn)行計算,工作是十分煩瑣的.舉例來(lái)說(shuō)現有一個(gè)5年期的票面金額為100美元的債券,年利f(0)=f(x)+f(x)(-x)+f(n)(-x)息為10美元計算當利率從10%變化到11%或15%時(shí),債券的價(jià)格變化.如下表所以(1)-f0)=f(x)+(x)+)(t)(1-x)2-f(n)表1債券的價(jià)格變化x)≤|f(1)|+o)+31()(1-x)2+10%11%15%利息(s)10毒108紙n)kx2≤2+(1-x)2+x2≤2+1=31086函數方程中的應用期限(t)5Sy例7設f(x)在(-∞,+∞)內有連續三階導數,且滿(mǎn)足方貼現因子Dn(0.62090.59880.4972f(x+h)=f(x)+hf(x+h),0<0<1(6和h無(wú)關(guān)).(1)試證:f(x)是一次或二次函數年金因子(-m3.7913.64733.3520證問(wèn)題在于證明:f1x)=0或fTx)=0.為此將(1)式對h求導注意θ和h無(wú)關(guān),我們有零息票部分6209:59.88849.72f(x+h)=f(x+h)+h1x+h)(2)年金(-D)x)3791836.4733.528從而x+b)-(x)-(x+h)=6f(x+助h).令h→0取極中國煤化工9.36883248限,得;f(x)-6f1x)=f(x),f1x)=2ef1x)aYHCNMHG若6≠,由此知fx)=0,f(x)為一次函數;若0=,(2)跨世紀2008年7月第16卷第7期 Crois Century,June2008,vol16,N.7129學(xué)習型社會(huì )中成人教育現狀及其發(fā)展趨勢徐炳(黑龍江大學(xué)成人教育學(xué)院教學(xué)部,黑龍江,?,?)【摘要】成人教育是面向社會(huì )所有成人的一種學(xué)習教育形式,在學(xué)習型社會(huì )的建設中具有重要的地位和作用。然目前我國的成人教育中還存在許多問(wèn)題這必然影響我國建立學(xué)習型社會(huì )的目標。因此,有必要研究成人教育發(fā)展中的問(wèn)題并給子解決,以充分發(fā)揮成人教育在建立學(xué)習型社會(huì )中的作用【關(guān)鍵詞】學(xué)習型社會(huì );成人教育終身教育【中圖分類(lèi)號】C72【文獻標識碼】B【文章編號】1005-1074(2008)07-0129-02近年來(lái),我國黨和政府部門(mén)十分重視“學(xué)習型社會(huì )”的建每個(gè)人的學(xué)習能力就業(yè)能力和創(chuàng )業(yè)能力,使自己的潛能得到設黨的十六大明確提出把在2020年“形成全民學(xué)習終身學(xué)充分發(fā)揮,才智得到充分的展示,實(shí)現個(gè)人價(jià)值。習的學(xué)習型社會(huì )促進(jìn)人的全面發(fā)展”列為小康社會(huì )的一個(gè)從社會(huì )角度來(lái)看,“學(xué)習型社會(huì )”是社會(huì )發(fā)展的必然要重要目標,并強調要“加強職業(yè)教育和培訓,發(fā)展繼續教育,求。經(jīng)濟全球化的今天,國際競爭日益激烈國際間的競爭表構建終身教育體系。成人教育是終身教育的一部分,是一種現在人才的競爭上,重視教育,培養創(chuàng )新型人才,實(shí)現人的自非常適合所有社會(huì )成員學(xué)習能滿(mǎn)足其不同學(xué)習需求的開(kāi)放和全面地發(fā)展,從而為社會(huì )創(chuàng )造更多更好的價(jià)值和財富,從性教育形式。同時(shí),它也是促進(jìn)社會(huì )進(jìn)步與和諧發(fā)展的有效而推進(jìn)社會(huì )的變革與進(jìn)步,成為全球化的大趨勢。建立學(xué)習途徑,與學(xué)習型社會(huì )的建設緊密相連,關(guān)系密切。在這個(gè)意義型社會(huì )。因此,社會(huì )向每個(gè)成員提出了不斷學(xué)習,更新知識和上來(lái)說(shuō),成人教育的發(fā)展對于學(xué)習型社會(huì )的建設就具有十分技能的要求。重要的促進(jìn)作用,是促進(jìn)學(xué)習型社會(huì )形成的重要途徑2學(xué)習型社會(huì )的成人教育的現狀對學(xué)習型社會(huì )內涵的理解成人教育的對象都是社會(huì )成人,他們參加成人教育學(xué)習黨的十六大提出構建“學(xué)習型社會(huì )”的宏偉目標。根據的過(guò)程其本身就是學(xué)習化社會(huì )建設的一部分;同時(shí),他們接受十六大報告的提法所謂的學(xué)習型社會(huì )是以終身學(xué)習和全民成人教育后又回到社會(huì )繼續擴展學(xué)習持續學(xué)習這不僅僅是學(xué)習為核心內涵的。他們自我完善的行為,而且對學(xué)習型社會(huì )的建設也是一種擴從個(gè)人角度看,學(xué)習型社會(huì )是個(gè)人生存和發(fā)展的需要。展、促進(jìn)、推動(dòng)。因此,重視和發(fā)展成人教育應該是發(fā)展各類(lèi)隨著(zhù)信息時(shí)代的到來(lái),科技日新月異,知識更新的步伐加快,教育,優(yōu)化教育結構增強教育供給能力的重要環(huán)節。然而,從竟爭也日益激烈。個(gè)人要想在激烈的競爭中取得一席之地,目前的成人高等教育發(fā)展現狀來(lái)看既有先天不足的問(wèn)題,也就需要不斷學(xué)習,不斷“充電”,更新知識和技能以應對社會(huì )有后天跟不上社會(huì )經(jīng)濟發(fā)展的因素。其表現為:需求。同時(shí),“學(xué)習型社會(huì )”為社會(huì )成員提供良好的學(xué)習環(huán)2.1社會(huì )對成人教育存有偏見(jiàn)傳統思想認為,成人教育境,社會(huì )的每個(gè)成員都享有學(xué)習的權利都有接受教育的機是非正式教育,就是“用金錢(qián)換取文憑”,成人教育和正規教會(huì ),人人都在實(shí)踐終身學(xué)習,全體社會(huì )成員通過(guò)學(xué)習不斷提高育相比被認為是“低人一等”。這種偏見(jiàn)的長(cháng)期存在必然影麥考雷( Macaulay)利用泰勒展開(kāi)式的第一項求出該債券平2同濟大學(xué)應用數學(xué)系.高等數學(xué)(上冊)[M].北京高等教育出均期限為3.791.用平均期限法預計:利率從10%上升到版社,1987:260-26311%,債券價(jià)格下跌3.91%,即新價(jià)格為96.21美元;而3華東師范大學(xué)數學(xué)系數學(xué)分析(第三版)[M],北京:高等教育出利率從10%上升到15%,價(jià)格下跌18.96%,債券價(jià)格變杜,202為81.05美元,因此當利率變化不大時(shí),平均期限法的預計Cormac Butler.風(fēng)險值概論[M].上海:上海財經(jīng)大學(xué)出版社相對準確;但當利率變化較大時(shí)誤差較大,麥考雷用凸性及2002:137-153凸性的修正值重新估計,得到了非常滿(mǎn)意的結果.凸性(用y衰2引率變化表表示)表示的是秦勒展開(kāi)式的第二項,再用12XyX(r)2進(jìn)行調整(△r為利率變化),如表2。(該債券的凸性用泰勒利率變化公式易算為19.37)平均期限我們發(fā)現與債券的實(shí)際價(jià)格非常接近;但極大地減少了平均期限估計值3.791%18.95%工作量麥考雷正是通過(guò)泰勒展開(kāi)式求出了修正的平均期限和凸性值;而布萊克( Black)和斯科爾斯( Scholes)利用它建中國煤化工2.421%立了著(zhù)名的期權定價(jià)模型。CNMHG18.95%+2.421%8參考文獻1裝禮文數學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M]北京高等教育出版債券新價(jià)格3183.47社,1993