泰勒公式的應用

考試周刊2013年第105期球與泰勒公式的應用程翀(邵陽(yáng)學(xué)院理學(xué)與信息科學(xué)系,湖南邵陽(yáng)422000摘要:泰勒公式在數學(xué)中有眾多應用本文論述了泰勒3泰勒公式在求極限中的應用公式在近似計算、求解函數的極限等方面的應用用泰勒公式計算函數極限的實(shí)質(zhì)是計算極限時(shí)忽略較高關(guān)鍵詞:泰勒公式近似計算極限階的無(wú)窮小,尤其是型極限的求解此時(shí)只需把分子、分母1泰勒公式展開(kāi)到同階的無(wú)窮小即可定理1:設函數f(x)在點(diǎn)x的某個(gè)鄰域內具有直到階n+1的導數則對該鄰域內異于x的任意點(diǎn)x有(x)=(x)+(x)(x-x)例2:求極限lmx sInxX一X。)+·x,)+R(x)x-+0(x)+0(x)其中R(x)(x-x)”(介于x與x之間)時(shí),稱(chēng)為例3:求極限lmx-xM15)6(n+1)!帶拉格朗日型余項的n階泰勒公式,其中(R(x)=0(x-x0))時(shí),稱(chēng)為帶皮亞諾( Peano)余項的n階泰勒公式2泰勒公式在近似計算中的應用解:m(x-xn(1+1)=imx2(1-11+(1)=用泰勒公式進(jìn)行近似計算的實(shí)質(zhì)是按照精度要求忽略掉小于精度的誤差例1:計算hn12的值,使誤差不超過(guò)0.0001在解決有些問(wèn)題時(shí)將泰勒公式與我們已熟知的等價(jià)無(wú)窮解:令(x)n(1+),由r(x)=1-,…,r"(x2(-1)“(m-小方法相結合可將問(wèn)題進(jìn)一步簡(jiǎn)化得例4:求極限lmianx一X(1+x)x(arcsinxf(0)=0,f(0)=1,…,f(0)=(-1)(m-1)!,f"()=(-1X++0(x)-x-+o(X)解:imtanx一Xn!(1+5)于是f(x)=ln(1+x)在原點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式為in(1+x)=x-G9(外于(+3mm0-3一出嗎2+3+…+(-1)”x+(-1)x通過(guò)上面的幾個(gè)例子,可以看出利用泰勒公式求解某些0與x之間)函數的極限簡(jiǎn)潔、方便,從而準確、高效地解決一些數學(xué)問(wèn)所以ln(12)=0.20.220.23+…+(-1)~10.2參考文獻(-1)02(介于0與0.2之間)[1]同濟大學(xué)數學(xué)系高等數學(xué)(第五版)[M]北京:高等(n+1)(1+)教育出版社,2001139-145且R(02)=(02)[2]華東師范大學(xué)數學(xué)系.數學(xué)分析(上冊)[M]北京:高<(0.2)=00000405<02)等教育出版社,2002.(n+)(1+)°[3]南京大學(xué)數學(xué)系,數學(xué)分析習題全解[M]合肥:安徽因此lnl2≈0.2-002+0.00267000040+0.00006-0.1823人民出版社,1999中國煤化工CNMHG55