概率方法的應用

2010年4月廊坊師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)Apr.2010第10卷第2期Journal of Langfang Teachers College( Naturnal Science Edition)Vol 10 No概率方法的應用車(chē)明剛(吉林師范大學(xué),吉林四平136000【摘要】通過(guò)實(shí)例討論了概率論在其它數學(xué)分支中的運用,一方面顯示出概率方法在證明某些數學(xué)問(wèn)題時(shí)的簡(jiǎn)明性,另一方面也體現了數學(xué)分支之間的聯(lián)系【關(guān)鍵詞】概率方法;不等式;中心極限定理;數學(xué)期望The Application of Probability MethodsCHE Minggang(Abstract) This article discusses the application of probability methods by using some specific examples. It showsthebriefness of the probability method, at the same time it also demonstrates the linkage bet ween the branches of mathemat-(Key words] probabilistic methods; inequalities; the central limit theorem; mathematical expectation中圖分類(lèi)號〕0212〔文獻標識碼〕A〔文章編號〕1674-3229(2010)02-0022-02概率論是數學(xué)的一個(gè)分支,主要是研究隨機現根據性質(zhì)Ex2≥(Ex)可知,1∑a≥象統計規律的科學(xué),有它獨特的理論和方法,具有廣泛的應用。本文通過(guò)構造概率模型,利用概率思想1方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題,從而使解決的過(guò)程變得直觀(guān)簡(jiǎn)潔并使其具有直觀(guān)的概率背景易于掌握。利用2概率方法在級數中的應用概率方法解決數學(xué)其它分支中的問(wèn)題。一方面說(shuō)明了數學(xué)各分支之間的內在聯(lián)系,另一方面也啟發(fā)我通過(guò)構造概率模型,利用離散型隨機變量的概們從不同的角度來(lái)解決數學(xué)問(wèn)題。率函數的性質(zhì)可以達到級數求和的目的。1利用數學(xué)期望的性質(zhì)證明不等式例題1求無(wú)窮級數∑aa的和其中an不等式的形式多種多樣,針對不等式的具體形是等差數列(d>0,d為公差)。解建立概率模型,設隨機試驗E只有兩個(gè)基式,構造相應的概率模型進(jìn)而利用概率論的一些性本事件A和A,將E獨立地做n次,在第k次試驗質(zhì)來(lái)證明不等式。中A出現的概率為p4;A不出現(即A出現)的概命題證明1率為q,其中證明設離散型隨機變量X的概率函數為≤pk≤1,0≤qk≤1,pk+qk=1,(k=1P(X=a1)=,i=1,2,…,n,設A1表示事件A在第i次試驗中出現(因為Ex2=1Sa:,EX=12,…,n),則有臺p(A1)+p(A2)p(A1)+p(A3)p(A2)p(A1)+M凵中國煤化工[收稿日期]2010-01-15[基金項目]吉林師范大學(xué)教研項目CNMHG作者簡(jiǎn)介]車(chē)明剛(1971-),男吉林師范大學(xué)數學(xué)學(xué)院講師碩士研究方向:奇點(diǎn)理論及應用。2第10卷·第2期車(chē)明剛:概率方法的應用2010年4月+p(A)p(A1)p(A2)…p(A-1)=1-p(A1)p(A2)令…p(A,),即則Pi+ p2 91+ P3 92+'+ Pn9192qn-IE(ni)=h+x,9192 qn由引理1得根據p,q取不同的值來(lái)求級數的和,P:= P(A:i=1,2,又∫(x)有界連續,由引理2,得其中a1>0為數列首項,d>0為公差,則imE{八[(∑/n)+x]}=f(h+x)ddd1dda,t3d a,+d即a,td…,1+(n-2)dlmS八(x+kn)m“=(x+h)a1+(na1+d..a1+(n-1)d4建立二元隨機模型求解二重積分a1+ nd o所以通過(guò)建立二元隨機模型,將二重積分的計算問(wèn)題轉化為概率的求解問(wèn)題,利用模型的性質(zhì),可以簡(jiǎn)a1n→+a1n+…+al.aa-aa+ma化積分的計算。例題3計算二重積分Id-d(an+nd)=1d其中D為橢圓(+2)≤k,k>03利用大數定律證明極限解建立概率模型設(,n)服從二維正態(tài)分戰周的年男通用數準內被紅所通布此三重積分恰為G2落在橢(二+別)≤明一些復雜的極限。內的概率其中6,相互獨立且~N(0,a2),~引理1(辛欽大數定理)設Xn}是兩兩獨立N(0,b2),于是同分布且具有限均值m的隨機變量則有x2=(a)+(2)-x(2),所求概率為m,其中s,=∑x:,m=E(X)。P(X2≤K)=I引理2設g(x)有界連續,而,一→,則對FEr>0, lim g(E )-g(E)=Oo5用蒙特卡洛方法近似計算定積分例題2設∫(x)為[0,+∞)上有界連續函蒙特卡洛方法又稱(chēng)隨機模擬法,通過(guò)構造適當數,x≥0,h≥0時(shí),則有的概率模型建立相應的隨機試驗,利用概率性質(zhì),m(x+Mn)!c“=fh+x)可以近似計算定積分。以下題為例,其實(shí)這種方法是建立在辛欽大數證明設1n}兩兩獨立且同分布,~P(k定律h),由泊松分布的性質(zhì)得YHa中國煤化工CNMHGe/√2rdxP(∑:)=相]=m(下轉28頁(yè))232010年4月廊坊師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)第10卷·第2期[參考文獻]4結東語(yǔ)[1]劉華杰.分形藝術(shù)[M].長(cháng)沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社由迭代規則集和控制概率集以及仿射變換集構[2] J. Hutchinson. Fractals and Self Similarity[J].Indiana成的IFS系統,IFS吸引子僅由迭代規則集決定,與Uniw.Math.J,30(1981)p713-747概率控制向量和仿射變換集無(wú)關(guān)。在實(shí)際繪圖中,控[3]T. Fujimoto,Y.Ohn,K., Muraoka,N. Chiba. Fractal制概率控制拼貼圖形各部分落點(diǎn)的密度,仿射變換Deformation Using Displacement Vectors Based onExtended Iterated Shuffle Transformation[J.藝術(shù)科學(xué)論集則控制拼貼圖形塊的拼貼方式,使圖形顯示出層文志,vol.lNo3p.134-146次的效果,與自然景觀(guān)更加貼近。目前已有的分形圖[4]李曉燕,IFS碼圖像生成算法[].華中師范大學(xué)學(xué)報,形生成策略,多數依靠試探性實(shí)驗去挖掘,對于分形1996,(4)圖形的IFS迭代規則集、控制概率集以及仿射變換[5]李水根分形M北京:高等教有出版社,204.[6]林貽俠,朱銓范,等.吸引子在代系統中的作用[J].上集選擇的理論基礎尚待建立。海大學(xué)學(xué)報,1995,(5)(上接23頁(yè))解設隨機變量X服從(0,1)上的均勻分布,題,進(jìn)行仔細觀(guān)察和分析,構造適當的已知的一維則Y=∫(x)的數學(xué)期望為或多維隨機變量模型;第二,分析一維或多維隨機變J=E(f(x)=f(x)dx。量的相關(guān)性質(zhì)(如概率函數或概率密度的規范性,數字特征等)及一些定理(如大數定律,中心極限定理其中等);第三,利用概率模型進(jìn)行求解或證明即得。對于概率問(wèn)題中的其他數學(xué)方法,也要針對解決的數估計J的值就是估計f(x)的數學(xué)期望的值由學(xué)問(wèn)題,進(jìn)行仔細觀(guān)察和分析,進(jìn)而采取適當的微大數定律,可以用f(x)的觀(guān)察值的平均去估計積分方法或其他數學(xué)方法進(jìn)行求解。f(X)的數學(xué)期望的值具體做法如下:[參考文獻]先用計算機產(chǎn)生n個(gè)(0,1)上均勻分布的隨機1林正炎等,當前概率學(xué)科中的研究機遇[]數學(xué)進(jìn)展,2004,(4):159-161x,i=1,2,…,n然后對每個(gè)x計算八(x),最[2]劉璃娟,對一類(lèi)積分問(wèn)題的探討[J上海工程技術(shù)大學(xué)后得J的估計值為八≈f(x),則在精確值n學(xué)報,2004,(3):30-35[3]周惠新概率方法的妙用[J].高等數學(xué)研究,2005,(5):=105時(shí)的模擬值為0.341355。數學(xué)中的各個(gè)學(xué)科都是相互聯(lián)系的,熟悉數學(xué)[4][關(guān)]W費勒等胡迪鵝林向清譯概率論及其應用中的各種方法,可以提高綜合解決數學(xué)問(wèn)題的能力。[M].北京:科技出版社,1980[5]復旦大學(xué)概率論(第10冊)[M].北京:人民教育出版利用概率方法的關(guān)鍵在于根據不同的數學(xué)問(wèn)題,去社,1979構造合適的概率模型然后利用概率論中的相關(guān)性[6]柯召,魏萬(wàn)迪,組合論[M]北京:科學(xué)出版社,1981質(zhì)與定理解決問(wèn)題。數學(xué)問(wèn)題中的概率方法可以歸[7]王梓坤概率論基礎及其應用[M].北京:科學(xué)出版社結為以下三個(gè)步驟:第一,對于所要解決的數學(xué)問(wèn)中國煤化工CNMHG28