復數的理解與應用

科教縱橫212年11月(下)科技創(chuàng )新與應用」復數的理解與應用張愛(ài)軍陳本士郎奠波(哈爾濱德強商務(wù)學(xué)院,黑龍江哈爾濱150000摘要:本文介紹了復數的引入和數系的發(fā)展演變歷史以及引入復數所帶來(lái)的困惑,給出了與一般教科書(shū)不同的易于理解的嚴格的復數定義,規定建立了在復數有序實(shí)數對定義基礎上的復數運算規則,推導出一般教科書(shū)定義的復數的代數形式與復數的有序實(shí)數對定義形式兩者之間的轉換,結合復數的有序實(shí)教對的定義,簡(jiǎn)要介紹了復數及復變函教在理論研究和工程實(shí)踐等領(lǐng)域中應用。關(guān)鍵詞:復數;復變函數;復數的應用復數、復變函數及在此基礎上建立的,留數歐拉公式傅里葉個(gè)嚴格的基礎上,避免一些不必要的混亂。變換、拉普拉斯變換、Z變換等無(wú)論在理論上還是在實(shí)際應用中都32有序實(shí)數對的復數運算與其代數式=a+ib之間轉換有意義,人們能夠利用復數a+ib在形式上解決許多在理論上和實(shí)321基于有序實(shí)數對定義的復數運算規則際應用中的問(wèn)題然而對于其最基本、最核心的問(wèn)題—復數a+ib對于復數z=(a,b),z2=(c,d)規定的概念及本質(zhì)含義往往缺乏真正深刻地理解21+2=(a+C,b+d,乙z2=(ab)(c:d)=(a-bd,be+ad)這樣選定和與1復數的引入積的定義,可以使在實(shí)數中成立的關(guān)于加法與乘法的一切運算法則在解一元二次方程ax2+bx+c=0,如果判別式△=b2-4ac<0時(shí),出對于實(shí)數對ab)的加法與乘法仍然成現了給負數開(kāi)平方,再例如在討論是否能把10分成兩部分,使它們322復數的有序實(shí)數對z=(ab)與代數式z=a+ib之間轉換的乘積等于40,即對于形如(a,0的復數由加法與乘法的定義可得到x(10-x)=40→x2-10x+40=0→x2=5±√-15(a,0)+(c,0)=(a+c0),(a,0)(c,0)=(ac-0.0,0·c+a0)=(ac,0)由此可以看到一種現象那就是我們可以象計算實(shí)數一樣去計x+x2=10,xx2=(5+√-15)5-√-15)=25-(-15)=40算形如(a的復數,形如0的復數與對應的實(shí)數a有同樣的算術(shù)即在形式上10可以分成5+V15與5-√15這兩部分,但是性質(zhì)。所以可以把(a)與a等同起來(lái)這個(gè)等同關(guān)系使實(shí)數域成了復V-15的含義是什么?5+V-15到底表示的是什么?給人的感覺(jué)是數域的一個(gè)子域。由于可以把a10與a等同起來(lái),所以可以賦予式子不可理解、無(wú)意義、想象的虛無(wú)飄渺的。不過(guò)諸如形如a+b(=a+(d與a(cd以如下意義√-1)的復數在形式上卻可以解決一些實(shí)數所解決不了的問(wèn)題。a+(c,d)=(a,0)+(c,d)=(a+c,d)2復數引起的困惑把負數開(kāi)平方根,曾在16世紀的數學(xué)界引起一片困惑很多大按這一規則我們恒可將復數x1y舉c+ad)=(ac,ad)a·(c,d)=(a,0)·(c,d)=(a·c-0.d,0數學(xué)家都不承認虛數。將負數開(kāi)平方的含義是什么?a+b究竟代表什么意義?當時(shí)人了書(shū)寫(xiě)方便用數i表示數對0)于是得到z=(xy)=(x0)+0,y)=x“1,0)們很難理解其本質(zhì)含義,而是把復數a+中的i認為是虛假的想象+y(0,)=x+的數,虛數在英語(yǔ)中為 imaginary number即想象的數。既然i是虛假想象的,那么在此基礎上得出的a+ib(其中a,b是可以理解的實(shí)數)及其他形式來(lái)表示。為了方便,不再用數對(xy)來(lái)表示復數乙,而用其代數形式x+yi也是虛假想象的,是不可理解的,不實(shí)際的虛擬的數由此帶來(lái)一系4復數在若干領(lǐng)域的應用列問(wèn)題及困惑復數被廣泛應用于理論研究和工程實(shí)踐等領(lǐng)域,如:流體力學(xué)關(guān)于復數的定義,常見(jiàn)的說(shuō)法是形如z=x+iy的數稱(chēng)為復數相對論、量子力學(xué)、應用數學(xué)、普通物理、系統分析、信號分析和電路中xy為任意的實(shí)數,滿(mǎn)足=-1做虛數單位。依上述說(shuō)法會(huì )帶分析等。來(lái)許多問(wèn)題:是什么意思,它是我們熟悉的實(shí)數i與一個(gè)“新”數i應用數學(xué)之間進(jìn)行怎樣的運算所得出的結果呢?所以上述定義方式難免使人高斯關(guān)于“代數基本定理”的證明必須依賴(lài)對復數的承認。在求感到困惑,很難使人理解復數a+ib的本質(zhì)解微分方程時(shí),可以利用拉普拉斯變換將微分方程轉變?yōu)榇鷶捣匠虤W拉公式=cs+isn在數學(xué)及信號與系統、數字信號處求解,而拉普拉斯變換也是基于復數的一種積分變換。理等領(lǐng)域有著(zhù)廣泛應用。自動(dòng)控制系統現在的問(wèn)題是如果“虛數(負數開(kāi)平方)”確實(shí)是虛假想象的不自動(dòng)控制系統的穩定性分析,經(jīng)常利用系統的傳遞函數的極點(diǎn)存在的那么在此基礎上建立的各種復數運算以及歐拉公式也是虛來(lái)判斷系統的穩定性,而極點(diǎn)就在復數平面上。無(wú)飄渺的,這就難免產(chǎn)生這樣的困惑:大家在許多領(lǐng)域經(jīng)常使用的電路分析復數及各種復數運算是否是建立在純粹虛假設想基礎上的?在此基在求電路的正弦穩態(tài)響應時(shí),利用相量法求解分析簡(jiǎn)單方便礎上得出的結論是否真實(shí)可靠?如果是,那么是否還有繼續研究下而相量分析法也是基于復數的分析方法。去的必要?如果不是,那么復數a+到底表示的是什么?“虛數”到普通物理學(xué)底“虛”還是不“虛”,它是不是確實(shí)存在的?在物理學(xué)中如力、速度加速度等向量都可以用復數來(lái)表示。用3易于理解的復數定義及在此基礎上的復數運算復數表示向量,可以用兩個(gè)復數之和表示兩個(gè)向量如力、速度的合31關(guān)于復數易于理解的定義有人試圖給予虛數以直觀(guān)的幾何解釋即所有實(shí)數能用一條數例如力的合成,如果用復數表示向量,可以用兩個(gè)復數相加表軸表示,同樣,虛數也能用一個(gè)平面上的點(diǎn)來(lái)表示示兩個(gè)力的合成高斯在1831年,用實(shí)數組a代表復數a+ib,并建立了復數的復數是一個(gè)有序實(shí)數對z=(x,y),數對(xy)對應于直角坐標平面某些運算,使得復數的某些運算也象實(shí)數一樣。哈米爾頓對復數做出了非常重要的便于理解的定義,他指出:F+F+F+F2=F+F2+F+F,如果用復數Z表示力F,復數z2表示Z,=Fi+iFry, Z=F有b),并給出了序數對的四則運算,同時(shí),這些運算滿(mǎn)足結合律,交換F+F+F)=F+訴律和分配律。在這樣的觀(guān)點(diǎn)下,不僅復數被邏輯地建立在實(shí)數的基可見(jiàn)用一個(gè)復數的實(shí)部和中國煤化工縱軸上的礎上,而且原來(lái)總是有點(diǎn)神秘虛無(wú)飄渺的感覺(jué)也完全消失了,因為分量,那么兩個(gè)力合成的它是建立在可以理解的有序的實(shí)數對(ab)基礎上的,虛數不虛,它的代數和來(lái)表示。同理,可CNMHG兩個(gè)復數小應的向量是客觀(guān)存在的。關(guān)于復數的有序實(shí)數對的定義可以這樣來(lái)描述,稱(chēng)有序的實(shí)數的合成對(a.b)為復數,若用z表示復數,記作z=(ab)。稱(chēng)復數為有序的實(shí)數信號分析及數字信號處理在信號與系統分析中最重要的是傅里葉級數和傅里葉變換,可付anb)作為其原始定義,這樣是為了使復數理論一開(kāi)始就建立在一以說(shuō)是信號與系統分析的核心和靈魂,其他的理論和原理都可以在科技創(chuàng )新與應用⊥202年1月(下科教縱橫引語(yǔ)研究的語(yǔ)用修辭視覺(jué)梁玉張佟菲(哈爾濱理工大學(xué),黑龍江哈爾濱150040摘要:引語(yǔ)是一種基本的言語(yǔ)交際現象,在所有語(yǔ)言的運用中都十分普遍。本文采用處于學(xué)術(shù)前沿的話(huà)語(yǔ)分析方法——“語(yǔ)用修辭法"來(lái)對引語(yǔ)進(jìn)行分析,旨在探究不冋引語(yǔ)形式在不冋的語(yǔ)境下所完成的修辭功能和交際功能,關(guān)鍵詞:引語(yǔ);語(yǔ)用學(xué);修辭學(xué);語(yǔ)用修辭法1引言2語(yǔ)用-修辭研究方法在日常交際活動(dòng)中,人們經(jīng)常會(huì )轉述他人的話(huà)語(yǔ)來(lái)表達自己的語(yǔ)用學(xué)與修辭學(xué)是兩門(mén)獨立的語(yǔ)言分支學(xué)科,他們之間既有聯(lián)觀(guān)點(diǎn),如,當和一位多年不見(jiàn)的朋友相見(jiàn)時(shí),人們會(huì )說(shuō)“眼睛一閉一系又有區別睜,幾年就過(guò)去了”來(lái)說(shuō)明時(shí)間的快速流逝;當提出無(wú)理要求,別人語(yǔ)用學(xué)即系統地研究隱藏在句法語(yǔ)義和邏輯之下的其他暗含不答應時(shí),人們會(huì )幽默的說(shuō)“我爸是李剛來(lái)要挾對方。這種為了特意義,即語(yǔ)言在使用中的意義的學(xué)科。它最初起源于哲學(xué)(20世紀定的交際目的和交際效果而轉述他人的話(huà)語(yǔ)的現象就用到了引語(yǔ)。30年代), Charles Morris(1938將符號學(xué)分為句法學(xué)語(yǔ)義學(xué)和語(yǔ)用人類(lèi)交際的一大優(yōu)勢就是能夠“以言論言”,因此引語(yǔ)是人們交際中學(xué)三類(lèi),指出語(yǔ)用學(xué)強調符號與使用者之間的關(guān)系。20世紀50年的主要手段。按照不同的研究目的和標準,學(xué)者們將引語(yǔ)進(jìn)行不同代,出現了理想語(yǔ)言哲學(xué)和常規語(yǔ)言哲學(xué)兩派。常規語(yǔ)言哲學(xué)派的的分類(lèi)。但學(xué)術(shù)界上普遍采用的是 Leech& Short的分類(lèi),即將引語(yǔ)學(xué)者們先后提出了一些著(zhù)名的語(yǔ)用學(xué)理論,如 Austin提出了“言語(yǔ)分為直接引語(yǔ),間接引語(yǔ),自由直接引語(yǔ),自由間接引語(yǔ)和敘事性言行為理論”,Grce提出了“會(huì )話(huà)含義理論”。1983年, Levinson的《語(yǔ)語(yǔ)行為五類(lèi)。在這五種引語(yǔ)中,引述者對被引述話(huà)語(yǔ)的介人和操控用學(xué)》標志著(zhù)語(yǔ)用學(xué)真正成為語(yǔ)言學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科。它關(guān)注特定程度按以下順序遞增:語(yǔ)境中的話(huà)語(yǔ),它的出現拓寬了對于話(huà)語(yǔ)研究的途徑,同時(shí)也引起自由間接引語(yǔ)→間接引語(yǔ)→自由直接引語(yǔ)→直接引語(yǔ)→敘事了修辭學(xué)界的廣泛關(guān)注性言語(yǔ)行為修辭學(xué)是指研究語(yǔ)用交際藝術(shù),即人類(lèi)如何使用各種符號手段引語(yǔ)是構建話(huà)語(yǔ)的一個(gè)重要部分,也是語(yǔ)言使用的一種特殊形去施加影響,以取得理想的交際效果的學(xué)科。對于“修辭”的系統閘式,它的作用在于生成意義,達到預期的交際效果。國內外學(xué)者對于述最早始于古希臘哲學(xué)家亞里士多德的《修辭學(xué)》,他指出修辭的主引語(yǔ)的研究相當豐富,修辭學(xué),晢學(xué),語(yǔ)法學(xué)等都對此有所涉獵。早要作用是勸說(shuō),他還區分了辯證法和修辭法,并提岀了基于明理,基期的研究多集中在國外。亞里士多德可謂是研究引語(yǔ)的鼻祖,早在于道德和基于情感的三種勸說(shuō)形式。20世紀,修辭學(xué)得到長(cháng)足發(fā)展西方古典時(shí)期,他就從修辭學(xué)的角度對引語(yǔ)進(jìn)行闡述。接著(zhù) Tobler古典修辭學(xué)開(kāi)始向現什進(jìn),修辭學(xué)逐漸從對公眾演說(shuō)的研(1894), Kalepky(1899), Bally(1912), Norman Page(1973) Leech和究轉移到更冗長(cháng),復雜的語(yǔ)篇上來(lái),更注重研究交際中的話(huà)語(yǔ)。那么Short(198)從不同的角度對引語(yǔ)進(jìn)行分類(lèi),并從句法和形式轉換的語(yǔ)用和修辭又為和能被聯(lián)系到一起呢?本文將從以下方面給予解角度對其進(jìn)行分析。隨著(zhù)語(yǔ)用學(xué)和話(huà)語(yǔ)分析的興起,國內外學(xué)者將釋使用受語(yǔ)境的制約,一個(gè)語(yǔ)篇中交織不同的聲音,且語(yǔ)篇具有“對話(huà)交際是在一定的語(yǔ)境中進(jìn)行的,語(yǔ)用學(xué)和修辭學(xué)都是為交際效性"。他將引語(yǔ)解釋為“言語(yǔ)內的言語(yǔ),話(huà)語(yǔ)內的話(huà)語(yǔ),同時(shí)又是關(guān)于果服務(wù)的。王希杰認為:“語(yǔ)言環(huán)境是修辭的生命,沒(méi)有語(yǔ)言環(huán)境就言語(yǔ)的言語(yǔ)和關(guān)于話(huà)語(yǔ)的話(huà)語(yǔ)”。 Tannen(1989探討了日常對話(huà)中引沒(méi)有修辭?！蓖瑫r(shí),語(yǔ)境問(wèn)題也是語(yǔ)用學(xué)的一個(gè)基本問(wèn)題,它是所有語(yǔ)的會(huì )話(huà)功能,并將其稱(chēng)為“建構的對話(huà)”。 Halliday(1994)從語(yǔ)義角其他語(yǔ)用學(xué)研究?jì)热莸幕A。因此兩個(gè)學(xué)科有共同關(guān)注的話(huà)題度解釋引述問(wèn)題他運用“投射”對獨立引述從句(即投射從句進(jìn)行語(yǔ)境。此外西方古典修辭學(xué)是現代話(huà)語(yǔ)和篇章研究的鼻祖。古典修了描述,還提出“嵌入式投射”,即投射從句通過(guò)位移可發(fā)揮名詞詞辭學(xué)不僅研究言語(yǔ)的語(yǔ)法結構,同時(shí)還關(guān)注言語(yǔ)在交際中的功能組的功能。 Cappelen和 Lepore(200從哲學(xué)的角度探討引語(yǔ)的邏輯言語(yǔ)的認知結構和言語(yǔ)與社會(huì )文化心理之間的聯(lián)系。后來(lái)由于修辭學(xué)的衰落和語(yǔ)言學(xué)的興起。傳統修辭學(xué)的許多功能為語(yǔ)言學(xué)所取并對其進(jìn)行了相關(guān)的研究。彭建武(2001),冉水平(2002張建榮(200)辭學(xué)和語(yǔ)用學(xué)都關(guān)注語(yǔ)言的使用和功能。等人對引語(yǔ)進(jìn)行了認知分析,他們認為轉述語(yǔ)言的意義及其意義結22二者所遵循的原則一致構可通過(guò)認知機制來(lái)加以解釋。劉大為1991),方向紅(1998張榮建語(yǔ)用和修辭遵循的最高原則都是適切或得體。所謂適切或得體(2000,等人對引語(yǔ)進(jìn)行了語(yǔ)用分析,他們從言語(yǔ)行為的角度出發(fā)對就是被使用的言語(yǔ)要順應其題旨和語(yǔ)境的要求,達到語(yǔ)境和語(yǔ)義相引語(yǔ)現象做了較為全面的考察。趙毅衡(1987)申丹(1991徐赳赳關(guān)的標準。語(yǔ)用學(xué)中合作原則和修辭的關(guān)系最直接最明顯。其準則(1996辛斌(2007陳燕(20)等人對其進(jìn)行了文體分析,闡述了引很多和修辭格有關(guān)特別是某些“反合作原則”,有時(shí)會(huì )產(chǎn)生積極的語(yǔ)在小說(shuō),新聞等特殊文體中的應用。表達效果,許多修辭手段就是以這種方式產(chǎn)生的,例如:反語(yǔ)違反了從引語(yǔ)研究的歷史可以看出,引述現象需要從多角度進(jìn)行分質(zhì)量原則,排比違反了數量原則析,本文將從語(yǔ)用-修辭這一全新視覺(jué)對其進(jìn)行研究。2.3二者的起源相同此基礎上建立。在由周期信號的傅里葉級數到非周期信號的傅里葉是客觀(guān)存在的,不是虛構的想象的,沒(méi)有絲毫的神秘感。給定某變換過(guò)渡過(guò)程中,傅里葉級數的復指數表示形式起到橋梁作用。而復數其同時(shí)給出兩個(gè)實(shí)數該復數同時(shí)描述了兩個(gè)獨立的自由變化傅里葉級數的復指數表示形式及所利用的歐拉公式都涉及到復數量,因此,當數學(xué)或物理的問(wèn)題可以由兩個(gè)自由度來(lái)刻畫(huà)時(shí),原則上換:傅里葉變換拉普拉斯變換、z變換都是信號與某種類(lèi)型的復指對復數而言,實(shí)數就是單一實(shí)數,它只給出了一個(gè)實(shí)數,只能描述數函數相乘經(jīng)過(guò)積分或求和運算而得到,這三種變換在進(jìn)行變換時(shí)個(gè)獨立的自由變化量在某一時(shí)刻只能在一個(gè)自由度來(lái)刻畫(huà)數學(xué)或也涉及到復數和復變函數物理的問(wèn)題,所以,復數相對于實(shí)數而言,被廣泛應用于許多領(lǐng)域總之,無(wú)論是分析信號的頻譜還是分析系統的頻率特性以及可以解決許多實(shí)數所解決不了的問(wèn)題系統的穩定性,或者是設計數字濾波器,可以毫不夸張地說(shuō)幾乎到中國煤化工處看到復數及復變函數應用的身影。如果沒(méi)有深刻理解復數的本[1肖蔭庵北師范大學(xué)出版社,1987質(zhì),要想真正理解和掌握信號與系統及數字信號處理,那是難以想年1月第CNMHG[2]蓋云英,包革軍復變函數與積分變換(第二版).科學(xué)出版社,哈爾5結論濱工業(yè)大學(xué)數學(xué)系,2007年2月復數a+ib不是2+3意義上的一個(gè)真正的和,加號的使用是歷[3]戴結林用復數表示平面電磁波的應用分析M安徽教育學(xué)院學(xué)史的偶然,而i不能加到a上去。復數應理解為一有序實(shí)數對(ab),報,2006年第24卷第6期26-27頁(yè),共2頁(yè)282