Engel定理及其應用

第41卷第4期東北師大學(xué)報(自然科學(xué)版)VoL. 41 No. 42009年12月Journal of Northeast Normal University(Natural Science Edition)December 2009[文章編號]10001832(2009)04-000504Engel定理及其應用吳險峰',陳良云2(1.齊齊哈爾大學(xué)數學(xué)系,黑龍江齊齊哈爾1612.東北師范大學(xué)數學(xué)與統計學(xué)院,吉林長(cháng)春130024)摘要]給出了李超代數 Engel定理的一種證明,運用Enge定理, Fitting分解及 Frattini理論等得到了冪零李超代數的5個(gè)充分必要條件[關(guān)鍵詞]冪零李超代數; Engel定理; Fitting分解; Frattini理論[中圖分類(lèi)號]O152.5[學(xué)科代碼]110·21[文獻標識碼]A1預備知識955年,A. Nijenhuis給出了李超代數的一個(gè)例子.20世紀70年代,物理學(xué)為了建立相對論的費米子與波色子的統一理論,由Wess和 Union提出了超對稱(chēng)性,將普通的時(shí)間空間的 Poincare李代數擴充為超 Poincare代數,從此開(kāi)始了對李超代數的研究.李超代數的研究成果不僅促進(jìn)了物理學(xué)的發(fā)展,在數學(xué)上亦與組合數學(xué)、頂點(diǎn)算子代數、微分方程、微分流形、拓撲學(xué)等重要的數學(xué)分支有著(zhù)廣泛而深刻的聯(lián)系,因此近年來(lái)關(guān)于李超代數的研究十分活躍,從基域的角度,李超代數可分為非模李超代數即特征零域上的李超代數)與模李超代數(即素特征域上的李超代數).30年前,著(zhù)名數學(xué)家V.G.Kac完成了有限維單的非模李超代數的分類(lèi).1988年,Kac又完成了無(wú)限維單的線(xiàn)性緊致李超代數的分類(lèi)經(jīng)過(guò)多名數學(xué)家與物理學(xué)家的研究工作,非模李超代數的研究已經(jīng)取得了相當豐富的成果,形成了系統的理論李超代數L=L。⊕L1又稱(chēng)為Z2一階化李代數,L是L。-模.L。是通常的李代數.李超代數作為李代數的推廣,其與李代數的許多性質(zhì)不同.例如:李代數的Le定理與Lev定理在李超代數中不成立;半單李代數可以分解成單李代數的直和,但這個(gè)結論對李超代數絕對不成立;李超代數的 Killing型未必非退化;可解李超代數的不可約表示未必是一維的等等定義1.1若L=L。L1,[a,b]∈L+,va∈L,b∈La,B∈Z2={0,1},則L稱(chēng)為超代數若L=L⊕L1還滿(mǎn)足下面條件則稱(chēng)為李超代數:(1)[a,b1=-(-1)甲[b,a];(2)[a[b,c]=[a,b],c]+(-1)[b,a,c],va∈L,b∈L,c∈L;a,B∈Z2={0,1}定義1.2若L=LL1是李超代數,L)=L與L=[L,L].若存在k∈N滿(mǎn)足L=0},則稱(chēng)L為可解李超代數定義1.3設L=L。團L1是李超代數,L=L,L+1=[L,L].若存在k∈N滿(mǎn)足L={0},則稱(chēng)L為冪零李超代數引理1.1設A=AA1是結合李超代數則:(1)(adx)*(y)=∑(-1)*Cxyx,Vx∈A。,Vy∈中國煤化工(2)(ad2)-(y)=20(-1)Cir"yr", VrEA,, vyCNMHG收稿日期]200806-27基金項目]國家自然科學(xué)基金資助項目(10701019,10871057);黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目(11541366)[作者簡(jiǎn)介]吳險峰(1970-),女,碩土,副教授,主要從事李超代數研究;通訊作者陳良云(1972-),博土副教授,主要從事李超代數研究東北師大學(xué)報(自然科學(xué)版)第41卷(3)(adx)2(y)=∑(-1)C"2xyx2--,x∈A,Hy∈A這里,=(1+i)(1+B)+(k-1)+i(i-1)/2,[i/2]是i/2的整數部分本文假設L是任意特征域F上的有限維李超代數,它的理想是階化的.設P(v)是線(xiàn)性李超代數有關(guān)李超代數的知識可以參考文獻[2-18]Engel定理在李代數、 Novikov代數是成立的,但對李三系來(lái)說(shuō)現在人們已證明對特征為零的代數閉域是成立的,對一般的李三系 Engel定理是否成立還未證明本文給出了李超代數 Engel定理的一種證明,運用 Engel定理、 Fitting分解及 frattini理論等得到了冪零李超代數的5個(gè)充分必要條件2主要結果引理2.1設V是域F上的有限維Z2階化向量空間且X是作用在V上的冪零Z2線(xiàn)性變換.若X=0且adX是Pl(v)上的線(xiàn)性變換:Y→adX(Y)=[X,Y],Y∈Pl(v)則adX是冪零的證明由引理1.1和X=0知:(adX)2(Y)=0,vY∈Pl(V).因此(adX)=0,即adX冪零定理2.1設V≠{0}是域F上的有限維Z2階化向量空間且L是Pl(V)的階化子代數若L的每個(gè)元素是冪零的,則V中存在一個(gè)非零元素x滿(mǎn)足X(x)=0,YX∈L.證明設L的維數為r,對L的維數用數學(xué)歸納法若dimL=0,則顯然.現在假設定理對維數小于r的所有李超代數都成立,我們將證明定理對維數等于r的所有李超代數也成立首先,我們將證明L包含有一個(gè)維數為r-1的理想H.設H是L的一個(gè)維數為m(m