向量在解題中的應用

2012-02教學(xué)尖踐向量在解題中的應用文慧向量是研究幾何學(xué)的重要工具,也是近代數學(xué)中最有用的代:(Ⅱ)由(I)有A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)數結構之一向量理論除了在數學(xué)中有著(zhù)廣泛的應用外,在其他學(xué):于是,E·E=(-1,1,1)·(-1,-1,0)=0,AE=(0,0,2)科中的應用也越來(lái)越廣泛向量不僅是應用廣泛的知識也是進(jìn)一(-1,-1,0)=0步學(xué)習數學(xué)的基礎(如為學(xué)習三角、復數、解析幾何等作準備)ED⊥平面AAE,又ED⊥平面AED,平面AED⊥平面AAE向量既能體現“形”"的直觀(guān)的位置特征,又具有“數”的良好的:又平面AED∩平面A配E=AE,點(diǎn)A1在平面AED內的射影運算性質(zhì)所以它是數形結合和轉換的重要橋梁它的主要價(jià)值體;K在A(yíng)E上現在幾何中,使得在解決幾何問(wèn)題時(shí),可以減少煩瑣困難的邏輯推設A=AE,則A試=A+A:=(-A,入,入-2)理過(guò)程因此,用向量法解數學(xué)題往往可以收到化繁為簡(jiǎn)、化難為由A區AE=0,即易和綜合應用的效果然而,現行的高中教材中向量部分的內容僅限于介紹向量的一些基本概念和基本運算而對用向量來(lái)解決;A+42,解得入=3數學(xué)問(wèn)題則很少涉及牛頓說(shuō)過(guò):對于數學(xué),有時(shí)例子比定理更重要以下就對有關(guān)問(wèn)題給出向量解法AK=(-2、用向量法解決立體幾何問(wèn)題所以,A1到平面AED的距離為2Y6近幾年來(lái),由于高考命題傾向于新教材的改革,因此,善于運用空間向量來(lái)解決立體幾何的問(wèn)題成為高考命題的熱點(diǎn)之一當:本題若用常規解法來(lái)做其輔助線(xiàn)面很難想到因而在高考然,高考中的立體幾何解答題一般都是“一題兩解”的類(lèi)型中用常規解法的學(xué)生得分幾乎為零;而用向量法來(lái)解,則可避開(kāi)這例1如圖1,在直三棱柱ABC-ABC1中,底面是等腰直角三一困難把復雜的難以想象的問(wèn)題轉化為代數運算簡(jiǎn)化了推理論角形,∠ACB9,側棱A1=2,D、E分別是CC1和AB的中點(diǎn),點(diǎn):證的過(guò)程,優(yōu)點(diǎn)不言自明E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.二、用向量法解解析幾何問(wèn)題(I)求AB與平面ABD所成角的正弦值·解析幾何綜合題是高考必考題型之一,其特點(diǎn)是條件多、設問(wèn)(Ⅱ)求點(diǎn)A:到平面AED的距離多、涉及的知識點(diǎn)多,因此,解此類(lèi)題時(shí),需要善于捕捉關(guān)鍵的信息來(lái)探明題意、思路,善于進(jìn)行數形之間的轉化例如,對于解析幾何中圖形的重要位置關(guān)系—平行、垂直、共線(xiàn)等,以及數量關(guān)系(距離、角等),就可以通過(guò)向量的運算來(lái)進(jìn)行請看下例:例2設點(diǎn)A和B為拋物線(xiàn)y2=4x上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),已知OA⊥OB,OM⊥AB于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程,并說(shuō)明它表示什么曲線(xiàn)試用向量法解之解:(I)聯(lián)結BG,則BG是BE在平面ABD內的射影,所以∠A1BG就是AB與平面ABD所成的角如圖2所示建立坐標系,原點(diǎn)為O設CA=2a,則A(2a,0,0),B(02.0.0.0.).A(202).Ea,a:),c(32,'3解:設M(x,y),A(4,4t1),B(4i,42)其中x0,t≠0且41≠tCE《號33),B0,2,1)則有O=(4,41),O=(4,42),OM=(x,y),Ad=[4日-日),4(1)]cE⊥B,:OA⊥0,4·4CE由2≠0可知OM⊥AB,x4(-)+y4(-1)=0BA=(2,2,2)=(3,)由t≠t可知:1+=-x(2)14又A、B、M三點(diǎn)中國煤化工(x42,y-42)cos∠A,BC=BABC由共線(xiàn)向量的充CNMHGAB與平面ABD所威的角是正弦值為y即有:x-(t1+2)y+4=0(3)將(1)(2)代入(3)式,即可得點(diǎn)M的軌跡方程為:(x-2)2+y2=教學(xué)賓踐2012-024(x>0)它表示與y軸切于原點(diǎn)的一個(gè)圓(不包括原點(diǎn))例4已知a,b,c為正數,求函數y=Vx+a+V(c-x)+b的由以上兩例可以看到利用向量法解解析幾何問(wèn)題時(shí),主要使;最小值用向量平行(或共線(xiàn))以及向量垂直的充要條件,這樣可以有效避解:設n=(x,a),q=(c-x,b),則原函數就為y=|+d免解析幾何中錯綜復雜的位置關(guān)系的演化,而轉變?yōu)榧兇獾拇鷶颠\算當然,除了上述這兩個(gè)充要條件外,在解題中還可以利用向F|+引|=|+'|=va+(a+b),當且僅當與q同向平行量的夾角公式及距離公式等只要我們能對解析幾何中圖形的位時(shí)等號成立置關(guān)系和數量關(guān)系進(jìn)行認真分析,充分挖掘問(wèn)題的向量背景,就有::ym=Vc+(a+b)可能獲得一個(gè)較美的向量解法從以上兩例可見(jiàn),運用向量法解代數問(wèn)題時(shí),主要利用了向量三、用向量法解代數問(wèn)題的數量積及向量加法的三角不等式,關(guān)鍵在于仔細觀(guān)察問(wèn)題的結由于向量的幾何特征十分明顯,所以利用向量來(lái)解決幾何問(wèn)構特征而后構造出向量模型這對培養和提高學(xué)生的觀(guān)察能力和題是比較容易想到的然而向量法同樣可以用來(lái)解決一些代數問(wèn)想象能力拓寬他們的解題思路提高他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的題只要我們能夠認真觀(guān)察善于挖掘代數結構的向量模型,巧妙能力都是大有幫助的地構造向量,就能將代數問(wèn)題轉化為向量問(wèn)題,收到避繁就簡(jiǎn)的功:以上僅是簡(jiǎn)單列舉了向量在幾何和代數解題中的一些應用,效請看下例其實(shí)向量在解題中的應用遠不止這些,如還可以應用向量來(lái)解三例3已知a2+b2+c2=1,x2+y2+x2=-1,求證:ax+by+cx≤1角問(wèn)題、復數問(wèn)題等等限于篇幅,這里就不一一列舉了證明:構造向量p=(a,b,-),q=(x,y,;),則由已知可得總之,在有些數學(xué)問(wèn)題的解決中,適當地運用向量工具不僅有助于問(wèn)題的解決,而且有時(shí)還較傳統的方法更簡(jiǎn)捷更方便,更重要的是這樣做還能使學(xué)生從不同的角度揭示各種知識點(diǎn)之間的內ax+by+c→·g=ll≤lll|≤1在聯(lián)系,拓寬其解題思路,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣和熱情。即ax+by+cz≤1(作者單位江蘇省江陰市成化高級中學(xué)李煜《虞美人》教學(xué)設汁文高福才【教學(xué)目標】(3)“往事知多少”作者會(huì )想起哪些往事呢?(聯(lián)系作者以前身份)(1)知識與能力:運用析關(guān)鍵詞法鑒賞《虞美人》全詞,品味(4)“雕欄玉砌應猶在”應”如何理解?反映了作者什么樣的意境,挖掘作品中“愁”的深層內涵心理活動(dòng)?(聯(lián)系作者現在處境)(2)過(guò)程與方法通過(guò)先學(xué)后教,當堂訓練,自主學(xué)習的方法。:(5)“只是朱顏改”中的“朱顏”的含義指哪些?(聯(lián)系作者(3)情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)深刻理解古典詩(shī)歌作品蘊含的情感,培·作背景)養自主鑒賞能力。:(6)問(wèn)君能有幾多愁?”是他問(wèn)還是自問(wèn)?為什么【教學(xué)置難點(diǎn)】(⑦)找到本詞的詞眼并分析。(運用品位意境的方法:明意象重點(diǎn):運用析關(guān)鍵詞法鑒賞全詞,品位意境?？偨Y運用析關(guān)鍵’摳字眼一聯(lián)經(jīng)歷一析手法)詞鑒賞詩(shī)詞的方法。(教師簡(jiǎn)介作者生平及為人,然后給學(xué)生下發(fā)自學(xué)指導提綱。難點(diǎn):結合李煜生平,挖掘作品中“愁”的深層內涵。讓學(xué)生依據自學(xué)指導提綱自主看書(shū),完成提綱中所要求解決的問(wèn)教學(xué)過(guò)程】題,學(xué)生看書(shū)期間教師巡視,對提出疑問(wèn)的學(xué)生做提示性回答,不輔助環(huán)節做過(guò)多講解,保證每位同學(xué)高效自學(xué))1創(chuàng )設情境,板書(shū)課題二、“先學(xué)”環(huán)節法國作家繆塞爾說(shuō):“最美麗的詩(shī)歌是最絕望的詩(shī)歌,有些不!第一步:學(xué)生看書(shū)自學(xué)朽的篇章是純粹的眼淚?！钡诙?檢測自學(xué)效果2出示本節課學(xué)習目標(大屏幕)(課堂練習用題簽和大屏幕同步出示,學(xué)生討論、回答,鞏固(1)仔細閱讀全詞,品味意境體會(huì )作者“愁”的深層含義。強化)(2)有感情地吟詠、誦讀古典詩(shī)歌,感受古典詩(shī)歌的音樂(lè )美?！?-)不定項選擇題(3)總結運用詩(shī)歌關(guān)鍵字詞鑒賞詩(shī)詞的方法。1.“往事知多少”作者會(huì )想起的往事是指3出示自學(xué)指導A錦衣玉食陪伴的生活認真閱讀教材第47頁(yè)回憶以往積累的詩(shī)歌知識,完成以下,B尊嚴和自由中國煤化工內容,10分鐘后進(jìn)行檢測C生存的安全CNMHG(1)了解作者的生平和為人D國破家亡(2)“春花秋月何時(shí)了?”原是代表美好事物的“春花秋月”,2.“只是朱顏改”中的“朱顏”的含義指作者為什么希望它早點(diǎn)結束呢?(聯(lián)系詩(shī)歌寫(xiě)作手法)A后宮佳麗的容顏