Kaplansky變換及其應用

2006年7月四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)july 2006第29卷第4期Journal of Sichuan Normal University( Natural ScienceVol 29 No 4Kaplansky變換及其應用畢公平,王芳貴四川師范大學(xué)數學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川成都610066)摘要刻畫(huà)了 Kaplansky變換的基本性質(zhì)描述了 Kaplansky變換在υ-凝聚整環(huán)Moni整環(huán)及SM整環(huán)上的一些應用證明了若R是擬Ω整環(huán)則R是UMT整環(huán)從而R有PVMD的-整閉包及偽整閉包即R及R是PⅤMD關(guān)鍵詞-凝聚整環(huán);Mσni整環(huán);SM整環(huán);擬Ω整環(huán)中圖分類(lèi)號153.3文獻標識碼:文章編號1001-83952006)40387050引件即R的每個(gè)理想是有限型的3已知 Noether整環(huán) Krull整環(huán)及 Dedekind整環(huán)均為SM整環(huán)SM整以下恒設R是具有單位元的交換環(huán)K是R的環(huán)是Mori整環(huán)且Mori整環(huán)是υ-凝聚整環(huán).商域.F(R)表示R的所有非零分式理想的集合對在文4]中M. Fontana和E. Houston定義了∈R)l=()且=UJ其中/取遍/的Naga變換即設是R的非零理想則R的擴環(huán)有限生成子理想若I=(=l)則/是一個(gè)u-理TK1)=∪[R!]=想(t-理想)Ⅰ是t有限型的-有限型的)是指{x∈K存在正整數n使得x/gR}J,=J(l=J=J,)其中J是的某個(gè)有限生稱(chēng)為理想Ⅰ關(guān)于R的 Nagata變換.在文[5]中成子理想.顯然/是t-有限型的等價(jià)于是t-有限型的沮且/是t-有限型的-理想等價(jià)于/是v-有限型Wang fang-gui討論了 Nagata變換的基本性質(zhì),并刻畫(huà)了 Nagata變換在Mori整環(huán)及SM整環(huán)上的應的υ-理想.υ-算子與t-算子都是星型算子的例子.關(guān)用得到了一系列很好的性質(zhì).本文受此啟發(fā),討論于星型算子的例子還有-算子1我們稱(chēng)丿是R的個(gè)GV-理想是指J是R的一個(gè)非零有限生成理了一個(gè)比 Nagata變換更廣的 Kaplansky變換.在文想且滿(mǎn)足廠(chǎng)=R記為J∈CR)設M是個(gè)[6]中設/是R的非零理想 Kaplansky定義了R的擴環(huán)無(wú)撓模集合1)={x∈K!對任何a∈I存在正整數M=x∈kM|存在n=Kax)使得xa"eRJ∈GR)使得JxM}這個(gè)擴環(huán)在文[4]被稱(chēng)之為理想Ⅰ關(guān)于R的稱(chēng)為M的-包絡(luò )M是有限型的是指M=N其 Kaplansky變換同時(shí)我們描述了 Kaplansky變換在中N是M的某個(gè)有限生成孑模若M=M。則稱(chēng)Mr-凝聚整環(huán)Mor整環(huán)及SM整環(huán)上的應用.在此基是-模如果M是R的一個(gè)理想且M。=M則稱(chēng)M礎上定義了擬Ω整環(huán)即R的每個(gè)w-擴環(huán)均為R是一個(gè)w-理想的某個(gè)理想的 Kaplansky變換.這是一類(lèi)比Ω整環(huán)個(gè)整環(huán)R是υ凝聚整環(huán)是指對R中的任何(即R的每個(gè)擴環(huán)均為R的某個(gè)理想的 Kaplansky有限生成分式理想B,有B-是擬有限的等價(jià)而變換)更廣的環(huán)類(lèi)顯然!整環(huán)是擬Ω整環(huán)言有Bˉ是υ-有限型的一個(gè)整環(huán)R是Mon整環(huán),之若R既是TL整環(huán)又是擬Ω整環(huán)則R是Ω整是指R有關(guān)于v-理想的升鏈條件等價(jià)而言是指R環(huán)的每個(gè)非零理想是t-有限型的2.類(lèi)似地稱(chēng)一個(gè)包中國煤化工不則R有Puer整閉CNMHG整環(huán)則R是UM整整環(huán)R是SM整環(huán)是指R有關(guān)于l-理想的升鏈條環(huán)從A號"、m以閉包及偽整閉包即R收稿日期2005-05-25基金項目國家自然科學(xué)基金10271052)和四川省應用基礎研究基金資助項目*聯(lián)系作據芳貴1955)男教授388四川師范大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版)29卷及R是PVMDIB)證明(1)aB)=從1)當且僅當1∈1 Kaplansky變換的基本知識ⅠB)當且僅當對任何a∈Ⅰ存在正整數n使設是R的理想在文6]中 Kaplansky定義得a"∈B當且僅當/c√B了R的一個(gè)擴環(huán)(2)設x∈A則對任何a∈Ⅰ取正整數n使1)={x∈K|對任何a∈存在正整數得xa"∈R.注意xa"∈A因此有xa"∈A∩Rn=ax)使得xa∈R故x∈IB)這個(gè)擴環(huán)在文4中被稱(chēng)之為/的 Kaplansky變換命題13設PP1P2是R的素理想且/gP顯然當1=0時(shí))=K.PI P2對K的任何R-子模B也定義(1)IP)是Ω1)的素理想且a/P)∩ⅠB)={x∈K|對任何a∈Ⅰ存在正整數R= Pn=n(ax)使得xa"∈B(2)IP1)=IP2)當且僅當P1=P2特別地取B=R前面的(1)就是aIB)證明(1)由命題1.2隊I(yíng)P)≠)設x,命題1.1設BB1B2是K的R子模n∈K,y∈1)xy∈P)則對任何a∈/有正整數(1)若B1sB2則IB1)saIB2);mnk使得x"∈Rma"∈R且xya∈P.于是(2)IB1∩B2)=〖IB1)∩IB2)(xa")ya)=xyam∈P.故或者xa"∈P或(3)1HB)=uB)者y∈P即x∈級P)或者y∈/P)因(4)設B是R的分式理想則(IB)是1)此有ⅠP)是1)的素理想的分式理想顯然有PsΩP)∩R.另一方面,設x∈(5)設B是R的有限生成分式理想,且 BC I P)∩R由于gP故存在一個(gè)a∈P.取正1)則B,s1)整數n使得a"∈P.我們有x∈P因此有ΩIP)(6)1)是R的v-擴環(huán)于是若J∈GVR),∩R=P則必有J(1)∈GV1))(2)設P)=P2)則由1)有P1證明(1)與3)是顯然的P1)∩R=P2)∩R=P2(2)蟲(chóng)1),有B1∩B2)sa1B1)∩命題1.4設B是R的理想,ⅠB2)反之設x∈IB1)∩aIB2)則對(1)√級IB)=B)任何a∈可選擇適當的正整數n使得xa"∈B1,(2)若B是準素理想且IgP=B則(IB)xa"∈B2同時(shí)成立于是有aIB1)nxIB2)是g1)的準素理想B1∩B2)證明(1)容易看到,(B)∈AB)(4)取u∈Ku≠0,使得uBR,由1)與(3)有uB)sa)故1B)是1的分反之沒(méi)x∈B)對任何a∈取正整數n式理想使得xa"∈√B.從而又有正整數m使得x"am∈B.(5)設B=(b1mb)則對任何a∈1可選于是有x∈√/B)從而得到取適當的正整數n使得b,a"∈Ri=1,,p.于是MIB)=INB)有a"BsR由此有aBR故Bs1)(2)由命題1.3,ⅠP)是1)的素理想(6)設B是1)的有限生成R子模由5),由政H中國煤化工設x∈a1)xgBnCB.c1)故1)是R的-擴環(huán)CNMH可a∈l取合適的正整命題1.2(1)設B是R的理想則aIB)數n使得xa"∈Rwa"∈Rxya"∈B.由xa"gP1)當且僅當I√B.因此若B是R的一個(gè)素理我們有ya"∈B.因此有y∈IB)故IB)是想則B)≠()當且僅當ⅠgB)的準素理想(2)使有獎x1)的理想B=A∩R則Ac命題1.5(1)設A是Ω1)的素理想且Ig第4期畢公平等: Kaplansky變換及其應用389A∩R則A=IA∩R)(2)設x∈(B1))則xB≤I)由于B(2)設P是R的素理想且/gP.則h(IP)是t-有限型的故存在B的有限生成子分式理想htPB使得B0)=B,從而B(niǎo))=B.由于B是證明(1)令P=A∩R設x∈級IP)取有限生成的且 xB CxB c1)故對任何a∈la∈P及正整數n使得xa"∈PsA.由agA及存在正整數n,使得xa"B。CR.因此有xa"∈A是素理想有x∈A.因此有A=XIP)(B0)=B從而有x∈IB1)B1))(2)由命題1.3知hP≤hIP)現設AC三1B)于是得到An1C…CA1CAn=ⅠP)是以1)的素理想ⅠB1)=(IB))=(B)鏈記P=A1∩R由1)有A1=IP1)仍由命(3)由2)即知題1.3有PCPn1C…CP1CP0=P是R的素(4)(B))=1)當且僅當IB)理想鏈.因此有hIP)≤htP=a1)由命題1.2當且僅當/√B命題1.6設B是K的任何R子模則推論2.2設B是R的有限生成理想.若BⅠΩIB))=IB)是v-有限型的則BI)∈G))當且僅當證明由命題1.1有B)ΩI以IB))反之,設x∈I從IB))則對任何a∈I√B.眾所周知R是v凝聚整環(huán)是指對R的每存在正整數n使得xa°∈/B),從而又存在正個(gè)有限生成分式理想B有B是擬有限的等價(jià)而整數m使得xam∈B故有x∈IB)從而得言有B是υ-有限型的從而有下面的推論到級I從IB)=B)推論2.3設R是υ-凝聚整環(huán)B是R的有限命題1.7設{B1|i∈T}是K的一簇R子生成理想.則B1)∈GV(1)當且僅當模且B=∪B,也是K的R-子模則c√BMIB=UmIB推論2.4設R是υ-凝聚整環(huán)n是正整數證明由B1CB有B1)s1B)從而(/)=B其中B是R的有限生成理想則有∪B1)三ΩIB)令一方面,對任何x∈B)∈GWa))定理2.5設R是υ-凝聚整環(huán)B是R的分式ⅠB)及任何a∈Ⅰ存在正整數n使得xa"∈B.理想則隊I(yíng)B1)=(IB))=(B1))從而不妨設xa"∈Bk∈廠(chǎng)于是有x∈B)由此若B是R的理想則ax1B)是a(1)的t理想得到a(B)gUB1)證明設A是ⅠB1)的有限生成子分式理2 Kaplansky變換的應用想記A=(a1灬…,a,)對任何a∈I取正整數n使得a"a∈B.令B0=Ro1+…,+Ra,則定理2.1設B是R的分式理想則a( Bo)C(B)=B(1)ⅠB1)c(aB))c(B));因此有(2)設B是R的v-有限型的分式理想則I(Bo).CnIB,B-)=(aIB))=(B1))由定理2.1與命題1.6有(3)設B和B都是R的t有限型的分式理A,=(B0D))=I(B0))C想則隊I(yíng)B,)=(IB))=(B));Ⅹ/B,))=B,)(4)設B是R的v有限型的理想且B是v故/B)是a)的理想有限型的賬1B)=1)當且僅當cB凵中國煤化工B的有限生成子分式證明(1)設x∈1B)∈段1B)則理搏CNMHG有對任何a∈I存在正整數nm使得x"∈B-(B1))s(1B))C1B)=∈B.于是有xyam∈B-BsR,因此有xy∈U1J)=∪(J1))(B))1)故x∈(IB)).由于BI)sIB)因此有有1數據(B1)B)=(1B))=(B1))390四川師范大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版)29卷定理2.6設R是υ-凝聚整環(huán)A是Ω1)的非a1P)≠Ω)及IP)是1)的真t-理想這零理想B=A∩R也與A的極大性矛盾故B是中的極大素t-子理想(1)A,=IB,)定理2.9設R是v-凝聚整環(huán)則/)也是v(2)若A是1)的t-理想則B是R的t-理凝聚整環(huán)想且A=IB)=(B))證明設A=(a1r…a.,)是a)的有限生(3)設/是R的-有限型的理想A是)的成非零理想B=Ra1+…,+Ra,則A=B)由理想則A=B)=(B1)定理2.1A=B)由于R是-凝聚整環(huán)(4)設/是R的t有限型的理想,則A=我們有B1=J其中J是R的有限生成分式理想(1B))n又由定理2.1有證明(1)由B1)sAgΩIB),有A=a(IB-)=1J)=(J))B1))sA(以IB).故A1=1B,)故1)是v-凝聚整環(huán)(2)由A=B)=(BD)),于是有B定理2.10設R是Mori整環(huán)則/)也是sA∩R=B從而有B=BMori整環(huán)(3)設J=(a1灬…μ,)是的子理想使得J證明設A是Ω1)的t-理想B=A∩R.由1,設x∈以lB)則可以選擇適當的正整數n,定理2.6B是R的t理想且A=(B)由于R使得xa∈Bi=1…s.于是有xsB.從而有是Moni整環(huán)故B=(B)其中B是B的有限生x嚴"級1)SB)sA.由推論2.4J1)∈成子理想由GW(1))從而有廠(chǎng)1)∈GV(以1))故x∈A=I(B0))=(B0))B1))A從而得到有1)是Mori整環(huán)A=mIB)=(BI I))定理2.11設R是SM整環(huán)則1)也是SM(4)設B′=A∩R蟲(chóng)3)知A以B)整環(huán)B′)=A因此有A=(B))n證明設A是1)的任何w-理想由文7]B推論2.7設R是υ-凝聚整環(huán)B是R的理想=A∩R是R的w-理想由于R是SM整環(huán)故有B的若Ⅰ是R的t-有限型的理想則ⅠB)s(1,有限生成子理想B。使得B=(B).由定理2.6B))從而有IB))=(IB))A=1B)=(B1))證明令A=(IB))B′=A∩R.則B′下面證明A1=(B0))即A是w-有限型是R的v-理想且BcB′從而有的于是得到/)是SM整環(huán)設x∈B)則xⅩ/B)sB")=A=(1B))m=b,a;h,∈Bn1∈1)取J∈GWR)使得對定理2.8設R是-凝聚整環(huán)/是R的極大t所有的i,有Jb≌B,于是有JxsB(1)由于理想設A是Ω1)的極大t-理想B=A∩R.則1)∈GV(g1))有x∈(B0(1))故Bx)1)若BgⅠ則B是R的極大t-理想C(B0D)n從而有(2)若Bc/則B是包含在/中的極大素t-子A=(B1))=(B01))理想在文4]中M. Fontana和E. Houston定義了證明(1)由定理2.6B是R的t-理想且AΩ整環(huán),即R的每個(gè)擴環(huán)均為R的某個(gè)理想的ⅠB)若有R的極大μ-理想M使得BcM.我 Kaplansky變換而且還證明了若R是整環(huán)則R們有M≠K因為/是R的一個(gè)極大理想且Bg有 Prufer整閉包為了更好地研究』整環(huán),下面定1)隊從而/gM(因為/與M均為R的極大t-理想)義中國煤化工整環(huán)則由命題1.2與定理2.5M)是1)的真tCNMHG擬Ω整環(huán)是指R的理想由命題1.3A=Ⅸ/B)CΩⅠM)這與A每個(gè)w-擴環(huán)均為R的某個(gè)理想的 Kaplansky變換的極大性矛盾故B是R的極大t-理想由定義知道Ω-整環(huán)是擬Ω整環(huán).反之,若R(2)由巛ⅠB)=A≠級)有BC.若有R的是TL整環(huán)也是擬Ω整環(huán)則R是Ω整環(huán)素理想褥BCPC由于A(yíng)=(B)c定理2.13設R是擬Ω整環(huán)則R是UMT整環(huán)第4期畢公平等: Kaplansky變換及其應用391證明設M是R的極大-理想K是R1在文[9]中D. Anderson E.G. Houston及的擴環(huán)則T是R的t-擴環(huán).由于R是擬Ω整環(huán),M. Zafrullah定義了偽整即u∈k在R上偽整是故T是R的某個(gè)理想的 Kaplansky變換因為對任指存在R的某個(gè)非零有限生成理想l,使得u意s∈R-Ms在T中可逆從而有(等價(jià)而言1c1)01.K中所有在R上偽整T=(T)M= Ty=t的元素集合稱(chēng)為R在K中的偽整閉包記為R.同時(shí)從而T是R的某個(gè)理想的 Kaplansky變換.則由文還證明了若R是UMT整環(huán)則R是PⅤMD.從而有[4]知T是Rn的某個(gè)理想的 Kaplansky變換從而下面的推論R是Ω整環(huán).又由文4]知R有 Pruifer整閉包推論2.15設R是擬Ω整環(huán)則R是PⅤMD從而由文8]知R是UMT整環(huán)推論214設R是擬Ω整環(huán)則R"是PVMD參考文獻I 1 Wang Fang-gui. 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