關(guān)于Lorenz方程的動(dòng)力學(xué)性態(tài)研究

2011年2月廊坊師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)Feb 2011第11卷第1期Journal of Langfang Teachers College( Naturnal Science Edition)Vol 11 No. 1關(guān)于 Lorenz方程的動(dòng)力學(xué)性態(tài)研究柴彩春(安徽財經(jīng)大學(xué)應用數學(xué)研究所;安徽財經(jīng)大學(xué)統計與應用數學(xué)學(xué)院安徽蚌埠233030【摘要】主要討論 Loren方程的動(dòng)力學(xué)性態(tài),包括三個(gè)方面,首先討論系統的奇點(diǎn)其次是p=1時(shí)零點(diǎn)的穩定性最后討論系統的Hopf分支?！娟P(guān)鍵詞】 Lorenz;奇點(diǎn);穩定性;HopfThe Dynamic behavior of lorenz equationChai Caichun[Abstract) The dynamic behavior of Lorenz equation will be studied in the paper, there are three aspect: firstly,weconsider the equilibria of the system; secondly, the stability of zero equilibrium as p= 1; finally, we studied the Hopfbranch of the system【 Key words】 Lorenz; equilibrium; stability;Hopf〔中圖分類(lèi)號〕0175獻標識碼〕A〔文章編號〕16743229(2011)01-0008Lorenz方程是美國著(zhù)名氣象學(xué)家 Lorenz為研R,[-(a+1)+√(a+1)-4(1-p)],究氣候變化建立的3個(gè)確定性一階非線(xiàn)性微分方程這3個(gè)方程就稱(chēng)為混沌領(lǐng)域的經(jīng)典方程。-(+1)-√(G+1)2-4(1-Lorenz系統作為第一個(gè)混沌系統,具有舉足輕重的作用。這里我們詳細來(lái)分析它的動(dòng)力學(xué)性態(tài)。所以,P<1時(shí),O點(diǎn)穩定,且漸近穩定;p>1時(shí),O點(diǎn)為不穩定的鞍點(diǎn)首先,寫(xiě)出 Lorenz方程如下2討論p=1時(shí),O(0,0,0)點(diǎn)的穩定性y=px-y+x,(x,y,z)∈R',a,p,>0。此時(shí)取 Liapunov函數v1討論系統的奇點(diǎn)則V=σxx+y+zx(y-x)+y(x-y-xz)+ z(xy-Bz)直接計算可以得到,系統奇點(diǎn)為:p≤1時(shí)Bz奇點(diǎn)為O(0,0,0);p>1時(shí),奇點(diǎn)為0(0,0,0S.(√隊p-1D,pp-1,p-1),S.(-√RP-1)使=0的點(diǎn)為xy平面上的直線(xiàn)l:x=yR(p-1),p因為(x,x)≠(0,0)處的向量場(chǎng)為(0,0,x2)在O點(diǎn),線(xiàn)性方程組的系數矩陣為與l垂直,所以=0的集合除(0,0,0)外,不含整0軌線(xiàn),故此時(shí)O(0,0,0)漸近穩定。3討論系統的Hopf分支容易求得,其特征值為當p>1時(shí),0(0,0,0)為不穩定的鞍點(diǎn),S,中國煤化工[收稿日期]2010-11-25基金項目]安徽財經(jīng)大學(xué)青年科研基金( ACKYQ1065cCNMHG[作者簡(jiǎn)介]柴彩春(1981-),女,安徽財經(jīng)大學(xué)講師碩士,研究方向:微分方程。第11卷·第1期柴彩春:關(guān)于 Lorenz方程的動(dòng)力學(xué)性態(tài)研究2011年2月S_的特征多項式為p>1或者a>B+1且11,則隨著(zhù)p從1逐(1)漸增大,可以觀(guān)察到λ1從0逐漸減小直到與λ2相等因為f(λ)系數及常數項均大于零,所以S,(λ1=k2=0),然后它們變成復共軛對,其實(shí)部由不穩定ef(λ)有兩個(gè)正實(shí)部的共軛復根負數逐漸增大穿過(guò)0但λ3對所有p>1均負,所以因為在P=1時(shí),其特征值分別為0,-B,-(a對S,,S,它們變?yōu)椴环€定時(shí),必出現一個(gè)負實(shí)根+1),而0~292-12,所以,當p+0時(shí),S,S及一對正實(shí)部的共軛復根。此時(shí),S,,S均為鞍焦點(diǎn)。當p=A>1時(shí),則系統出現Hop分支共軛虛只可能在極限值處失去穩定性。根為在p從1逐漸增大時(shí),僅當Re(A)=0時(shí)不穩定性才可能出現,且此時(shí)兩個(gè)共軛復根分別為λ若p進(jìn)一步擴大則對一定范圍的參數a,P系由(1)式知,x1+2+=-(+日+1),在穩統將在S,S上出現次臨界的F分支若11時(shí),不穩定1999[2]張錦炎,馮貝葉常微分方程幾何理論與分支問(wèn)題[M]性才可能出現。所以S,,S.穩定a