分形的圖像及應用

創(chuàng )新分形的圖像及應用呂克林(河南省科學(xué)技術(shù)信息研究院,河南鄭州450003)摘要]本文首先闡述了分形的基本概念,并具體介紹了一些典型的分形曲線(xiàn)和分形集,加深讀者對分形的理解。重點(diǎn)描述如何生成分形的計算機圖像,以及分形主要的應用領(lǐng)域,強調計算機科學(xué)與其他學(xué)科之間的緊密聯(lián)系。關(guān)鍵詞]分形;自相似;選代; Mandelbrot[中圖分類(lèi)號]TP3914文獻標識碼]文章編號:1671-0037(2014)12-94-3隨著(zhù)計算機圖形學(xué)的發(fā)展,最近幾年,分形作為一種藝術(shù)形1.2自相似性。自相似性是指部分與整體具有相似的性式已經(jīng)相當流行。對分形有一個(gè)基本的了解,能提高人們的鑒質(zhì)。在自然界中,具有自相似性的客觀(guān)對象是非常多的。除了賞力,幫助人們更好地體會(huì )分形藝術(shù)的美。分形作為一門(mén)剛剛山形的起伏,河流的彎曲,樹(shù)木的分枝結構外,生物體內也有許誕生的學(xué)科,正在許多領(lǐng)域開(kāi)展應用和探索。很多傳統的科學(xué)多例子,如血管或氣管的分岔,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )等。抽象的自相似例子難題,都由于分形的引入取得了顯著(zhù)的進(jìn)展。就更多了,例如數列012122312232334…,這是一個(gè)去掉奇數項1分形的定義后,仍然得到自身的數列。下文中將提到的 Cantor集是一個(gè)更1.1分形的出現。中國的海岸線(xiàn)有多長(cháng)?很明顯,這取決好,更有故事的例子于測量所用的標度單位。若以公里為標尺,會(huì )遺漏大量的細節,1.3維數。維數是重要的幾何特征量,通常定義為表示對標尺越小,測出的海岸線(xiàn)就越長(cháng)。隨著(zhù)計算機的迅速發(fā)展,人們象的一個(gè)點(diǎn)所需的獨立變量個(gè)數。人們習慣認為空間是三維在討論和處理一系列問(wèn)題的時(shí)候,逐漸感到無(wú)法描述一些自然的,平面是二維的,直線(xiàn)是一維的,高等代數中還引入了高維空界普遍存在的對象,如海岸線(xiàn),樹(shù)木,巖石,云團,閃電等等。同間概念。然而維數有許多定義方法,下面介紹兩種基于拓撲樣對于星系分布,凝聚生長(cháng),湍流等復雜現象,也需要一門(mén)新的和測度論的定義。學(xué)科來(lái)描述。1973年,B.B. Mandelbrot在法蘭西學(xué)院講課時(shí),首拓撲維數:經(jīng)拓撲變換能轉換為孤立點(diǎn)的集合D=0,變?yōu)橹贝翁岢隽朔志S和分形幾何的設想。 fractal一詞由他所創(chuàng ),其原線(xiàn)的D=1,依次類(lèi)推。意具有不規則,支離破碎等意義。分形幾何是一門(mén)以非規則幾Hausdoff維數:若用直徑不超過(guò)x的小球去覆蓋S,所需小球何形狀為研究對象的學(xué)科,也被稱(chēng)為大自然的幾何學(xué)因素屏蔽掉,并采用面向對象原則設計。服務(wù)層以平臺共享信綜上所述,“感知礦區”信息系統把“事前預防為主、事后取息模型為基礎,提煉和抽取出一組業(yè)務(wù)層面的公共服務(wù)。服務(wù)證為輔”的智能安防新理念作為設計的出發(fā)點(diǎn),它包括新一代智的設計采用面向對象、面向服務(wù)等原則,并統一透明部署在軟件能防入侵系統、智能視頻監控系統、重點(diǎn)部位防范系統、身份識總線(xiàn)上。由于物聯(lián)網(wǎng)應用具有多樣性和復雜性的特點(diǎn),這就要別系統和來(lái)訪(fǎng)人員信息管理系統,以及與公安部門(mén)聯(lián)動(dòng)的智能求物聯(lián)網(wǎng)邏輯層能夠向上支撐多樣化的、差異化的業(yè)務(wù)應用。聯(lián)網(wǎng)報警系統,對礦區大門(mén)、貨物運輸通道、圍墻、主副井口、人4“感知礦區”信息化平臺員出入通道等多個(gè)重要環(huán)節、重點(diǎn)部位進(jìn)行全方位監控,真正做為實(shí)現“平安礦區”目標,有效應用感知系統采集到的相關(guān)到對危險因素的有效防范。當任何一個(gè)子系統檢測到有異常情信息,建立基于“感知礦區”的信息管理平臺至關(guān)重要。這個(gè)平?jīng)r時(shí)都會(huì )自動(dòng)報警,由礦區保衛人員根據報警信息及時(shí)處理,防臺首先要能夠適應礦區的管理模式,并能滿(mǎn)足上級部門(mén)的安防止異常事件發(fā)生。隨著(zhù)物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的深λ應用,“感知礦區”信要求,這個(gè)信息平臺應具有以下的特點(diǎn):其一,完整的報警功息系統也將得到更廣泛的應用,不僅僅應用于礦區,該方案也可能。系統能夠分析有物聯(lián)網(wǎng)系統產(chǎn)生的異常情況,給岀完整的以廣泛應用到其他類(lèi)型企業(yè)、廠(chǎng)礦,以及黨政機關(guān)、工業(yè)集聚區報警信息,通知相關(guān)人員做出相應處理,并且能夠與移動(dòng)、聯(lián)通、等有安防需求的單位,市場(chǎng)前景較為廣闊。電信網(wǎng)絡(luò )鏈接,實(shí)現短信報警。其二,數據分析、整理和統計功參考文獻能。其三,完善的數據查詢(xún)功能,根據多種要求向多種需求人員∏余立建,王茜物聯(lián)網(wǎng)/無(wú)線(xiàn)傳感網(wǎng)實(shí)踐與實(shí)驗[H北京:西提供相應的查詢(xún)功能。其四,數據與系統的安全管理。由于該南交通大學(xué)出版社,2010.系統與因特網(wǎng)連接,企業(yè)內部網(wǎng)絡(luò )要設有相應的防火墻、網(wǎng)絡(luò )隔2楊丙根,物聯(lián)網(wǎng)在平安校園建設中的應用[J無(wú)錫商業(yè)職離等設備,確保信息的安全傳輸。其五,友好的人機界面。一個(gè)業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2010友好的人機界面是各類(lèi)軟件應用系統的基礎。通過(guò)對多種組件[3]張飛舟,楊東凱物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)導論[M]北京:電子工業(yè)出版的合理組織,才能搭建起豐富多彩的物聯(lián)網(wǎng)應用平臺。其六,基社,2010于 SQL Server的數據庫和BS架構的訪(fǎng)問(wèn)模式。 SQL Server數據庫可以滿(mǎn)足大量信息的需求,BS架構的訪(fǎng)問(wèn)模式可以使得訪(fǎng)問(wèn)作者簡(jiǎn)介:鄭剛,(1982-),男,碩士研究生,工程師,研究方更加方便和實(shí)用。向:企業(yè)電氣信息化的規劃與實(shí)施工作創(chuàng )新論壇·技術(shù)創(chuàng )新l的最小數量記為N(x),則維數D1=-lin復數c,如果復平面上的一個(gè)點(diǎn)是自由的,就把這個(gè)點(diǎn)涂成白色否則就涂成黑色,此時(shí)邊界就呈現出了 Julia集的圖形。如果能14分形集。目前還很難給出一個(gè)分形的嚴格定義。但可依據自由點(diǎn)的逃跑速度給它涂上漸變的顏色,就會(huì )得到非常美以效仿生物學(xué)中,通過(guò)列出生命體的一系列特性來(lái)解釋“生命”麗的圖案。不同的復數c決定不同的Ja集。的概念。下面給出分形集合的一些性質(zhì):一是 Hausdoff:維數大Julia集的自相似性似乎不很明顯,但實(shí)際上,任何 Julia集均于其拓撲維數;二是具有近似的或統計的自相似性;三是從整體能由它自身的拷貝覆蓋。然而這些拷貝都是通過(guò)非線(xiàn)性變換得到局部均難以用傳統的幾何描述;具有精細結構,即任意小比例到的,這里的相似與前面是有著(zhù)本質(zhì)區別的下的細節;四是一般可以用非常簡(jiǎn)單的遞歸性方法定義?？梢?.5 Mandelbrot集。仍然考慮z=x2+c,取定Z=0,計算哪看到分形的理論工作還有待加強?，F有的研究多集中在計算機些c是“自由的”。用相同的作圖方法可以得到 Mandelbrot集的模擬與維數計算,對分形的認識還有待深入。圖形。 Mandelbrot的特殊之處在于,將它的邊界放大,會(huì )顯示出2典型的分形曲線(xiàn)與分形集許多微型縮影,但沒(méi)有一個(gè)是和母集完全相同的2 I Von Koch曲線(xiàn)。1804年,瑞典數學(xué)家 Von Koch發(fā)現最后介紹一個(gè)定理:復了一種曲線(xiàn),它處處連續,卻處處不光滑。在分形理論的建立過(guò)數c對應的Juia集有連通性程中, Von Koch線(xiàn)占有重要的地位。 Von Koch曲線(xiàn)的生成方的充要條件為,c是從法:首先從一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形出發(fā),反復進(jìn)行同樣的操作:將當前圖 Mandelbrot集內部選出的。形中的所有直線(xiàn)段用段折線(xiàn)(生成元)代替,讓操作次數趨于無(wú)其實(shí),通過(guò)c在 Mandelbrot窮,就得到了 Von Koch曲線(xiàn)。不同的原圖形和生成元決定了曲集中的哪個(gè)區域,可以推斷線(xiàn)的不同形態(tài)。最常見(jiàn)的是對正三角形,用右圖的生成元進(jìn)行操Jia集的特征,預測的范圍作,所得曲線(xiàn)的形狀像一朵雪花,稱(chēng)為Koch雪花曲線(xiàn)。雪花曲線(xiàn)遠不止連通性。把的周長(cháng)沒(méi)有上界,因為每次操作圖形的周長(cháng)都增加1/3Mandelbrot集比作 Julia集的22 Sierpinski三角形。分形不難從曲線(xiàn)推廣到平面圖圖解目錄表是很貼切的。形。1916年,波蘭數學(xué)家 Waclaw Sierpink提出了三角形。它的3分形的計算機圖像構造方法如下:從等邊三角形開(kāi)始,每次把圖中所有等邊三角形3.1計算機圖形學(xué)。計算機圖形學(xué)研究如何用計算機生四等分,去掉中間的一個(gè)小三角形,不斷重復分割與舍棄的過(guò)程成處理并顯示圖形。分形理論的創(chuàng )立和發(fā)展都和計算機圖形直到無(wú)窮。 Sierpiski三角形兩種常見(jiàn)的推廣:對正方形用類(lèi)似的學(xué)密切相關(guān)。Jlia曾研究過(guò) Julia集并使當時(shí)的復分析達到了很生成規則,得到的圖案叫 Sierpiski地毯。三維空間中,從一個(gè)正高的水平,只是由于當時(shí)還沒(méi)有計算機,因而使他們的研究中方體開(kāi)始,將所有的正方體27等分,去掉體心與面心處的7個(gè)小斷。分形的創(chuàng )始人 Mandelbrot詳細地研究過(guò)Jula的手稿,借助正方體,反復操作得到 Sierpiski海維體。 Sierpinski集具有分形的計算機為工具,才使研究開(kāi)花結果?？茖W(xué)可視化可以將抽象的典型特征:經(jīng)典幾何無(wú)法描述,局部放大后和整體完全相同。它概念和數據形象化,幫助人們更好地認識和理解問(wèn)題。有些問(wèn)們曾被稱(chēng)為是病態(tài)的幾何圖形,因為在周長(cháng)(表面積)趨向于無(wú)題只有借助計算機,依靠實(shí)驗數學(xué)的方法,才能得到豐富的直窮大的同時(shí),面積(體積)卻趨向于0觀(guān)的啟示。23 Cantor集。G. Cantor在1883年構造了如下的一類(lèi)集3.2仿射變換。仿射變換是計算機圖形學(xué)中幾何變換的重合。將區間0,1三等分,保留兩邊的閉區間,再對這兩部分重復要內容,是一種R2上的線(xiàn)形變換相同的操作,直至無(wú)窮。最后得到離散的點(diǎn)集稱(chēng)為 Cantor集。Cantor集有明顯的自相似性和精細結構,還有和 Sierpinski集相似的特點(diǎn): Cantor集包含的元素是不可數的,但是它的長(cháng)度是0。另外, Cantor集是一個(gè)閉集(關(guān)于極限封閉),而且[O,n內的任何其中e和f對圖形進(jìn)行平移,r和q是放縮比例,是繞原點(diǎn)旋個(gè)實(shí)數,都可以表示成3個(gè) Cantor集中元索的和。實(shí)數全體是轉的角度。分形構圖中一般只需相似變換,即r=q的情況。仿射個(gè)不容易被傳統思維接受的概念。舉例來(lái)說(shuō),任兩個(gè)有理數變換通常也會(huì )寫(xiě)成:x=ax+by+cy=dx+ey+f之間都存在一個(gè)有理數,這是很難直觀(guān)想象的。換句話(huà)說(shuō),用再個(gè)仿射變換由六個(gè)參數寫(xiě)出,分形通常需要一組仿射變精細的顯微鏡去看數軸,它的密集程度都沒(méi)有變化,假想你是一換。例如對于 Sierpinski三角形,三個(gè)變換分別將原圖向三個(gè)頂個(gè)數軸上的有理數,你無(wú)法知道站在你兩邊的是誰(shuí)。在G.點(diǎn)收縮到原來(lái)的一半大小。Cantor所生活的時(shí)代,如果有分形理論,這些看似荒謬的結論,應3.3迭代函數系統。分形圖形具有自相似性,其定義往往該比較容易被人們接受。就是遞歸的,最樸素的生成方法是不斷對當前圖形使用各種仿24 Julia集。Juli集是由法國數學(xué)家 Gaston Julia在1918射變換。由于直線(xiàn)段經(jīng)仿射變換后還是直線(xiàn)段,對于三角形只年發(fā)展了復變函數迭代的基礎理論后獲得的,研究2,=2+c這要把頂點(diǎn)變換后相連即可。圖形越來(lái)越復雜后,記錄當前圖案變換在復平面中所生成的一系列讓人眼花繚亂的變化。每個(gè)變得困難。迭代函數系統( Iteration function system)更多采用復數對應平面上的一個(gè)點(diǎn)。給定c和a之后,通過(guò)迭代可以得到的是隨機算法:由一系列仿射變換按隨機順序,對一個(gè)初始點(diǎn)反連串復數。如果所得復數的模長(cháng)是發(fā)散的,也就是這個(gè)點(diǎn)最復作映射,并記錄下它變換的軌跡,最終這些點(diǎn)會(huì )“填滿(mǎn)”整個(gè)分終可以“跳”到無(wú)窮遠的地方去,我們就稱(chēng)Z是“自由的”。取定形圖形的區域。IFS通常依據變換后的面積大小,給每個(gè)仿射變創(chuàng )新?lián)Q設定概率,這樣做是為了讓點(diǎn)盡量“平均分布”,避免點(diǎn)很難不同的投資者,交易金額不同,而買(mǎi)賣(mài)決斷的方法卻是大致相同跳人”某個(gè)局部的。另一個(gè)例子來(lái)自城市規劃。當城市發(fā)展到一定規模時(shí),會(huì )34 Ultra Fractal Ultra Fractal是一款強大的分形作圖軟產(chǎn)生新的開(kāi)發(fā)區和衛星城,這些新的區域也有相同的發(fā)展模件。它最大的特點(diǎn)在于可以簡(jiǎn)單地改變參數,定義新的公式。式。以半徑變化的圓模擬城市,可以研究城市“分裂”的臨界值軟件還采用了多種加速算法,能夠快速繪制圖案和哪些因素相關(guān)4分形的應用5分形雜談4.1藝術(shù)設計。早在1999年,中國科技館就舉辦過(guò)“分形5.1認識的改變?！稊祵W(xué)分析教程》全書(shū)的最后一節給出了藝術(shù)展覽”。網(wǎng)絡(luò )上也可以找到大量的分形藝術(shù)作品。在計算兩個(gè)函數,一個(gè)處處連續處處不可導,我們在上文已經(jīng)看過(guò)一個(gè)機如此普及,計算機輔助設計技術(shù)成熟的今天,分形在藝術(shù)設計例子。另一個(gè)函數連續且填滿(mǎn)一個(gè)正方形,也是利用分形思想領(lǐng)域的前景是十分樂(lè )觀(guān)的。相信在不久的將來(lái),分形會(huì )以印染構造的。 Mandelbrot在《自然界的分形幾何》中提到:“我贊揚這品或裝飾品的形式,點(diǎn)綴人們的現代生活。些早年的數學(xué)家,他們?yōu)槲姨峁┝诉@樣的結構,使我能夠將它4,2凝聚生長(cháng)。一些樹(shù)木的形態(tài)看起來(lái)像是分形,樹(shù)干可串在一起思考,從而發(fā)現其寶貴的價(jià)值。同時(shí),我也責備他們以在不同的位置分出樹(shù)枝,每個(gè)樹(shù)枝又繼續分為枝杈。分形在因為他們雖然構造出許多精彩的反例,卻沒(méi)有發(fā)現他們內在的原始植物(比如苔蘚和海藻)上更加明顯,因為對于高級植物,生聯(lián)系,反而認為那是不正常的事情,從而忽視了真正的內涵?！笨莆镆幝傻淖饔眠^(guò)于復雜,掩蓋了數學(xué)模型。所以我們選用一個(gè)學(xué)史上的每一次爭論都推動(dòng)科學(xué)本身向前發(fā)展。就像 G. Cantor簡(jiǎn)單實(shí)驗:在圓形碟子的底部覆蓋一層很薄的硫酸銅溶液,將銅的集合論起初被認為是“怪胎”一樣,許多分形的現象在漫長(cháng)的制的陰極立在中央進(jìn)行電解,大約半小時(shí)后,析出的銅將擴展成時(shí)間里被認為是不正常的。而現在人們已經(jīng)認識到,這些有餑幾英寸的分形圖形。有限制的擴散凝聚( Diffusion Limited于直覺(jué)和經(jīng)典理論的現象,是合理且廣泛存在的Aggregation)模型提供了很有說(shuō)服力的模擬:在白色方格紙上,從52簡(jiǎn)單的規則。分形通過(guò)重復簡(jiǎn)單的操作,得到極復雜中心一個(gè)代表陰極的黑色小方格開(kāi)始,以它為中心做一個(gè)大的圖形。生命游戲依靠簡(jiǎn)單的規則,賦予了模型自我復制和進(jìn)圓。圓周附近一個(gè)隨機點(diǎn)釋放出的粒子在平面上隨機運動(dòng),直化的能力。我們再來(lái)看一個(gè)著(zhù)名的例子, Langton螞蟻從一張白到它離開(kāi)這個(gè)圓或與到達與黑色方格相鄰的格子為止,這個(gè)格紙的某個(gè)方格開(kāi)始爬行,按照如下規則:一是如果它進(jìn)入了一個(gè)子也被涂黑。模擬得到16000個(gè)~黑色方格時(shí)的效果,與實(shí)驗結白色方格,就將其涂成黑色,并左轉90度。二是如果它進(jìn)人了果很相似。DLλA模型盡管描述起來(lái)很簡(jiǎn)單,然而對于為什么產(chǎn)個(gè)黑色方格,就將其涂成白色,并右轉9度。在前500步中,它生分形的樹(shù)枝形態(tài),現在還沒(méi)有嚴格的理論解釋,但毫無(wú)疑問(wèn)這不斷回到原點(diǎn),留下一系列相當對稱(chēng)的圖案。此后的10000步是一個(gè)非常引人注目的現象。中,圖形變得混沌。突然,仿佛終于拿定主意要干些什么,它不43模擬自然景物。喜歡3D卡通片的人,一定知道 Pixar斷重復著(zhù)一個(gè)104步的過(guò)程,畫(huà)出公路一樣的帶狀圖案。自然界工作室。在繪制山峰和樹(shù)木等自然景物時(shí),用直線(xiàn)、圓弧,樣條曲的神奇無(wú)處不在,水分子居然知道如何構造雪花,使其具有復雜線(xiàn)去建模生成,逼真程度就非常差,那么 Pixar又是如何用電腦制的對稱(chēng)性。這些分子能夠自行“裝配”起來(lái),既沒(méi)有建筑師的指作這些美麗風(fēng)景的呢?很自然地想到利用分形,也就是我們常說(shuō)導,也沒(méi)有結晶形式的模版,大尺度上的形狀完全是依靠短距離“分數維的山峰”。下面是一種簡(jiǎn)單的生成方法:從一個(gè)三角形開(kāi)的相互作用產(chǎn)生的。最后引用MI教授 T Toffoli的一段話(huà),“幾十始,取三邊中點(diǎn),各自在垂直方向上移動(dòng)一個(gè)與邊長(cháng)成正比的隨億年來(lái),自然界都在不停地計算宇宙的下一個(gè)狀態(tài),我們要做的機量,再將它們相連,形成四個(gè)新的小三角形。用同樣的辦法繼實(shí)際上也是我們唯一能做的,就是跟著(zhù)這碩大無(wú)比的計算過(guò)程前續分割,直到分辨率極限為止,就得到了充滿(mǎn)褶皺的山峰。進(jìn),并企圖發(fā)現它的哪一部分恰好接近我們所希望的地方?！盤(pán)ixar繪圖計算機如今廣泛應用于醫學(xué)成像、工程設計、虛擬6結語(yǔ)電影和動(dòng)畫(huà)制作等領(lǐng)域分形現象普遍地存在于自然界中,是它受到廣泛關(guān)注的根44圖像壓縮。設想我們要存儲一幅 Julia集的圖像,如果本原因。分形作為一門(mén)年輕的學(xué)科,在廣大科學(xué)工作者的共同用位圖來(lái)存儲,需要記錄每個(gè)像素的顏色,占用大量空間。當然努力下,無(wú)論是理論還是應用方面都取得了巨大的進(jìn)展。分形可用標準壓縮技術(shù)對其進(jìn)行壓縮,但事實(shí)上只需要記下復數c,的創(chuàng )立是數學(xué)與計算機科學(xué)結合的典范,如今計算機科學(xué)正在就可以在任何時(shí)候重建這張圖片,而且不會(huì )遺漏任何細節,甚至逐漸滲透到各個(gè)學(xué)科當中。作為計算機專(zhuān)業(yè)的科技工作者,同比原圖更清楚。上面是一個(gè)極端的例子,卻很好地說(shuō)明了IFS碼樣要關(guān)注其他學(xué)科的發(fā)展,重視它們和計算機科學(xué)之間的聯(lián)系壓縮技術(shù)的關(guān)鍵,在于存儲迭代函數系統而不是存儲圖像。實(shí)參考文獻際操作時(shí),首先把原始圖像分解為一些相連的顏色穩定的小塊,[]胡瑞安,胡紀陽(yáng),徐樹(shù)公分形的計算機圖像及其應用從大量的仿射變換公式中選出能產(chǎn)生相似效果的,記錄對應參北京:中國鐵道出版社,1995數作為編碼。IFS編碼是一種有損壓縮,其失真率與壓縮比有2]張濟中分形M]北京:清華大學(xué)出版社,1995.關(guān)。IFS的優(yōu)點(diǎn)在于對自然景物和細節豐富的圖像,壓縮比很3]常庚哲,史濟懷.數學(xué)分析教程[M],北京:高等教育出版高還原效果較好。同時(shí)IS編碼在縮短處理時(shí)間,自動(dòng)生成,失社,2003真度準則等方面,還有大量問(wèn)題有待解決。5郭凱聲,等數學(xué)游戲「M]北京:科學(xué)技術(shù)文獻出版社,19994.5經(jīng)濟學(xué)與社會(huì )學(xué)。分形理論在對價(jià)格波動(dòng),利率變化作者簡(jiǎn)介:呂克林(1960-),男,本科,高級工程師,研究方證券指數的研究中有很好的表現,因為群體行為存在相似性。向:計算機應用