蔡氏電路動(dòng)力學(xué)行為研究及仿真

第29卷第1期徐州工程學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版2014年3月VoL 29 No. 1Journal of Xuzhou Institute of Technology ( Natural Sciences Edition)Mar.2014蔡氏電路動(dòng)力學(xué)行為研究及仿真李澤彬,黃濟,黃雷,汪明珠,姚有峰(皖西學(xué)院傳感網(wǎng)與信息處理綜合應用實(shí)驗室,安徽六安237012)摘要:基于蔡氏電路和蔡氏二極管電路,構建蔡氏電路數學(xué)模型,利用仿真和數值計算給出雙渦卷吸引子的相圖、時(shí)域圖和頻譜圖,并分析在平衡點(diǎn)處的動(dòng)力學(xué)特性.研究結果表明:在一定參數和初值的條件下,可以產(chǎn)生雙渦卷吸引子,且蔡氏電路輸出波形是非周期的、不可以預測的,對初值具有敏感性,其頻譜是連續的關(guān)鍵詞:混沌;蔡氏電路;動(dòng)力學(xué)中圖分類(lèi)號:TP391.9文獻標志碼:A文章編號:1674-358X(2014)01-0036-06混沌是自然界客觀(guān)存在的一種運動(dòng)形式,其系統具有對初值特別敏感性,即初始值的微小差別經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后可以導致系統運動(dòng)過(guò)程的顯著(zhù)差別.1983年,美國加州大學(xué)的蔡少棠教授與日本棗島田大學(xué)進(jìn)行學(xué)術(shù)交流時(shí)發(fā)明了蔡氏電路.蔡氏電路是非線(xiàn)性電路中能產(chǎn)生豐富復雜動(dòng)力學(xué)行為的最簡(jiǎn)單、最有效的電路口.目前,蔡氏混沌電路廣泛地應用在混沌控制、傳感器應用、混沌同步及保密通信等諸多領(lǐng)域2,因此很多學(xué)者對蔡氏混沌電路進(jìn)行了有意義的討論和研究60,但多數在研究系統的動(dòng)力學(xué)行為時(shí)不夠深入基于此,從電路構成人手,建立數學(xué)模型,并利用 Multisim軟件仿真和 Matlab軟件數值計算對特定參數下的蔡氏混沌電路做了進(jìn)一步研究和探討這一工作對開(kāi)展蔡氏混沌電路在各領(lǐng)域中應用起到了基礎性理論指導,具有較高的實(shí)踐意義,蔡氏電路模型蔡氏電路是一種物理結構和數學(xué)模型簡(jiǎn)單的混沌系統,如圖1所示.該電路使用3個(gè)儲能元件(電感L、兩個(gè)電容C1和C2)、一個(gè)線(xiàn)性電阻R和一個(gè)非線(xiàn)性電阻Nk(蔡氏二極管).其中非線(xiàn)性電阻NB是核心元件,其實(shí)現方式很多這里采用 Kennedy于1993年提出的方法由2個(gè)運算放大器和6個(gè)電阻組成1,如圖2所示對圖2蔡氏二極管電路模型進(jìn)行 Multisim仿真.其中,6個(gè)電路取值為R1=3.3kg,R2=22k0,R322k,R4=2.2kΩ,R=2209,R5=2200;運算放大器采用TL082.對蔡氏二極管電路模型進(jìn)行伏安特性分析,并將所得數據經(jīng)數值擬合得到伏安特性曲線(xiàn),如圖3所示L C2TCi圖1蔡氏電路模型圖2非線(xiàn)性電阻NR電路模型收稿日期:2013-09-12基金項目:安徼省高等學(xué)校省級自然科學(xué)重點(diǎn)研究項目(KJ2010A323);安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)研究項目(K2013A262)六安市定向委托皖西學(xué)院市級研究項目(2012LW006,2012LW007,2013LWoo9)中國煤化工作者簡(jiǎn)介:李澤彬(1979—),男,安徽六安人,講師,碩士,主要從事非線(xiàn)性電路與微弱信號檢CNMHG李澤彬,等:蔡氏電路動(dòng)力學(xué)行為研究及仿真由伏安特性曲線(xiàn)可以看出數據分布存在負電阻區域和正電阻區域,由于運算放大器TL082采用士9V電源供電,使得負阻的輸出電壓有一個(gè)限值,當超過(guò)此限值之后,整個(gè)負阻就表現出正電阻的性質(zhì)了0.001由于正阻區基本處于電路產(chǎn)生混沌現象時(shí)001的工作區段之外所以可以認為其影響極小,理論分析和模擬都可以忽略正阻部分.01從圖3中可以看出蔡氏二極管的伏安特性4.001曲線(xiàn)具有分段線(xiàn)性特點(diǎn),其函數形式可寫(xiě)為f(ua)= GUci (G- Gb)0.003(uc +Eal-uci-eal)(1)MyR/V由 Kirchhoff電流定律(KCL)和Kirchhoff電壓定律(KVL)得到蔡氏電路圖3蔡氏二極管的伏安特性曲線(xiàn)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程為Ci x duc/dt= G(ua -ua)-f(uc)C2×dvc/dt=G(u-a+i),(2)L×diL/dt其中函數f(uc)是由蔡氏二極管的伏安特性曲線(xiàn)來(lái)決定的為了研究方便,取x=va,y=uea,z=Ra/C2,r=t/RC2,a=GR,b=GR,a=C2C,B=R2C2/L,將式(1)、(2)變換為標準形式:dy/drzdz/dr==-Bybr ta-b x>1,f(r)x|≤1bx<-1,在式(3)、(4)中,a與B、a與b的變化,反映了電路中元件參數的變化情況2蔡氏電路動(dòng)力學(xué)分析與仿真2.I平衡點(diǎn)的穩定性分析將式(3)寫(xiě)成線(xiàn)性方程:0110(5)B 0令X=(x,y,z)T,平衡態(tài)時(shí)有X=0,即+f(r)0(6)x+z=0根據式(4)、(6)R3的3個(gè)子空間中國煤化工CNMHG徐州工程學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)014年第1期D1={(x,y,z)|x>1D={(x,y,z)||x|≤1中都有唯一的平衡點(diǎn),分別是P+=(k,0,-k)∈DO=(0,0,0)∈D,k,0,k)∈D其中k=(b-a)/b+1式(3)在每個(gè)子空間中,都為線(xiàn)性方程,把系統(3)在平衡點(diǎn)處線(xiàn)性化得到 Jacobi矩陣,即a(1+c)其中c=b(x>1,x<-1)這里電路參數取a=10,B=15.68,a=-1.2768,b=-0.6888令det(J-AE)=0,則平衡點(diǎn)P+和P處對應的狀態(tài)方程為3.11210可求得其特征值為λp=-4.5418,σ,土ja,=0.2149士3.2707.方程的3個(gè)根中,有1個(gè)負實(shí)根和2個(gè)實(shí)部為負的共軛復根,所以平衡點(diǎn)P+和P是不穩定的鞍點(diǎn)平衡點(diǎn)O處對應的狀態(tài)方程為2.768100可求得其特征值為入o=3.8890,0±ja0=-1.0605±3.1679i方程的3個(gè)根中,有1個(gè)正實(shí)根和2個(gè)實(shí)部為負的共軛復根,所以平衡點(diǎn)O是不穩定的鞍點(diǎn).系統的3個(gè)平衡點(diǎn)均為不穩定的,因此選擇合適的參數蔡氏電路會(huì )出現混沌.2.2耗散性和吸引子的存在由于v=2+9y+0z(1+c)-1,c=b(x>1,x<-1),c=a(x≤1),當c=b時(shí),vV<0,即系統(3)是耗散的,且以指數形式V=-a(1十b)V收斂.這說(shuō)明,當t→∞時(shí),包含系統軌跡的每個(gè)體積元以指數a(1+b)收縮到0.所以系統最終會(huì )被限制在一個(gè)體積為0的集合上,且會(huì )漸進(jìn)運動(dòng)固定在一個(gè)吸引子上,說(shuō)明了吸引子的存在性2.3 Lyapunov指數和 Lyapunov維數Lyapunov指數是判斷系統混沌現象的最常見(jiàn)方法.它能夠定量地描述動(dòng)力系統在相空間中相鄰軌道的發(fā)散程度,若動(dòng)力系統在一定區域內的第1個(gè) Lyapunov指數A1>0,則動(dòng)力系統在這個(gè)區域上會(huì )出現混沌現象,并且對于初值是敏感的在平衡點(diǎn)處的局部區域內計算系統(3)的第1個(gè) Lyapunov指數,可以得到:A1>0.283,因而蔡氏電路的運動(dòng)處于混沌狀態(tài).其系統(3)的 Lyapunov維數為Σλ;=2入1+A=2.13,由此可見(jiàn),系統(3)的 Lyapunov維數為分數維,驗證了蔡氏電路會(huì )出現混沌2.4蔡氏電路仿真2.4.1 Multisim仿真在蔡氏電路中電感器L和電容器C組成一個(gè)損耗可以忽略的訓H中國煤化工CNMH容器C1組成李澤彬,等:蔡氏電路動(dòng)力學(xué)行為研究及仿真個(gè)移相電路.取參數C1=10nF,C2=100nF,L=18mH,R=1.68k,對其電路進(jìn)行 Multisim仿真,即從LC諧振回路中引出一個(gè)信號輸入到虛擬數字示波器A通道,再從RC移相回路中引出一個(gè)信號輸人到虛擬數字示波器B通道,將兩個(gè)通道的信號合成得到合成的李薩如圖.電路仿真得到ua-uc相圖和時(shí)域圖,如圖4所示結果表明:在上述參數情況下出現雙渦卷吸引子的混沌現象,時(shí)域波形表現出非周期的、不可預測性(b)“e2時(shí)域波形a)ue2-ae相圖(c)#e1時(shí)域波形圖4ucn-uc相圖和時(shí)域圖對蔡氏電路產(chǎn)生的混沌序列進(jìn)行FFT分析,結果如圖5所示.頻譜分析的關(guān)鍵是區分隨機白噪聲和確定的隨機(混沌).由于白噪聲是由大量獨立的因素產(chǎn)生的,因此其功率譜的振幅與頻率無(wú)關(guān),即具有沒(méi)有任何聲音的諧波結構的功率譜應為連續的平譜.而對于混沌而言,由于它是非周期的,所以它的功率譜仍是連續的,但由于混沌運動(dòng)極其復雜,功率譜中會(huì )出現一批對應新的分頻及倍頻的峰所以混沌的譜不是平譜,即譜中出現了噪聲背景和寬峰,對應的FFT分析結果為一連續譜線(xiàn)因此,當系統出現混沌時(shí),頻譜表現為連續的特征蔡氏電路10.0040.00-50.0060.0070.0051.00k76.00k101.00kFrequency/Hz圖5uc信號FFT圖2.4.2 Matlab仿真根據系統(3)的數學(xué)模型,參數取值為a=10,B=15.68,a=-1.2768,b=-0.6888設定初始系統初始值為(0.1,0.1,0.1),利用 Matlab對蔡氏電路進(jìn)編程計算得到圖6、圖7.xy,xz,yz及xyz的相平面圖,如圖6所示.其中二維的相平面圖是三維的相平面圖在某個(gè)特定坐標軸上的投影,從仿真結果圖可以看出,蔡氏電路的正規化狀態(tài)方程描述了一個(gè)連續時(shí)間系統,而這個(gè)系統在所給參數和初值的條件下可以產(chǎn)生雙渦卷吸引子的混沌現象.從圖7的時(shí)域波形中可以看出,當蔡氏電路出現雙渦卷吸引子時(shí),電路的輸出波形是非周期的、不可以預測的,這正是人們在研究混沌時(shí)需要得到的波形由此可以看出Mlab數值計算和上述 Multisim仿真結果是一致的中國煤化工CNMHG徐州工程學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)2014年第1期Chua systemChua system22-05(a)x-y-z相平面圖(b)xy相平面圖(c)x-z相平面圖(dy-z相平面圖圖6相平現圖(a)r-T(b)y(c)z-T圖7時(shí)域波形圖圖8是初始值為(0.1,0.1,0.1)和(0.100000000.1,0.1)的xy相圖比較從圖中可以發(fā)現,盡管初始值的差距很小,但系統的軌線(xiàn)卻差距甚大,說(shuō)明蔡氏電路對初始值極為敏感Chua system(0.1,0.1,0.1)(0.1000000001,0.1,0.1)YH中國煤化工圖8不同初始值下xy相圖CNMHG40·李澤彬,等:蔡氏電路動(dòng)力學(xué)行為研究及仿真3結語(yǔ)基于蔡氏電路和蔡氏二極管電路,構建了蔡氏電路數學(xué)模型.理論分析得出:蔡氏電路在合適的參數情況下,3個(gè)平衡點(diǎn)均為不穩定的鞍點(diǎn);系統具耗散性存在吸引子;系統在一定區域內的第1個(gè) Lyapunov指數大于0且具有分數維的 Lyapunov維數.對其進(jìn)行仿真和數值計算結果表明:在一定參數和初值的條件下,可以產(chǎn)生雙渦卷吸引子的混沌現象,其頻譜表現為連續的,輸出波形是非周期的、不可以預測的,對初值具有敏感性隨著(zhù)對蔡氏電路動(dòng)力學(xué)行為研究的深入,其在保密通訊、功率電子學(xué)、自動(dòng)控制、電力系統、自然災害預測等領(lǐng)域將得到有效的應用參考文獻[1] Michael P K. Three steps to chaos part I: a chua's circuit primer [J]. IEEE Transactions on Circuits Systems, 1993, 40(10):657-674.[2]楊琨,蔡氏混沌電路的 MATLAB仿真[門(mén)電光系統,2006,115(1):2527[3] Cruz H C, Romero H N. Communicating via synchronized time-delay Chuas circuits[J]. Commun Nonlinear Sci NumerSimul,2008,13(3):645-659[4] Posadas C C, Cruz H C, Lopez-Gutierrez R M Experimental realization of synchronization in complex networks with chua'scircuits like nodes[J]. Chaos, Solitons Fractals, 2009, 21(40): 1963-1975.[5]石季英,湯琳,趙延紅,等基于蔡氏電路的混沌同步的研究[J計算機仿真,2006,20(3):556[6 Ho M C, Lin C H. Detecting phase synchronization in chua's circuit with ill-defined phasture[C]//International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics(ICNAAM2010). Rhades: AIP Conference Proceedings, 2010(1):2131-2134[7] Sun JT, Zhang Y P. Impulsive control and synchronization of Chua's oscillators[J]. Mathematics and Computers in Simulation,2004,66(6):499-508[8]黃蘇華,肖文波,賴(lài)相霖,等.仿真蔡氏電路混沌效應的討論[冂].實(shí)驗室研究與探索,2012,31(4):76-78[9]徐小云.多渦卷蔡氏混沌系統及其數字化設計[].河南理工大學(xué)學(xué)報;自然科學(xué)版,2011,30(3):321325[10]馮明庫.蔡氏電路中模擬電感的容差分析[J].物理實(shí)驗,2011,31(5):1[ll] kennedy M P. Three steps to Chaos[J]. IEEE Trans, Circuits and Systems, 1993, 40(10): 640-674Dynamical Behavior Study for Chua's Circuit and SimulationLI Ze-bin, HUANG Ji, HUANG Lei, WANG Ming-zhu, YAO You-fengComprehensive Application Laboratory of Sensor Networks and Information Processing System, West Anhui University, Lafan 237012, China)Abstract: In this paper, the mathematical model of Chua's circuit and Chua's diode is built The phasediagram, time-domain diagram and spectrogram for the double-scroll attractors were obtained through sim-ulation and numerical calculation, and the dynamical behavior at equilibrium point was analyzed. The studyresults show that the double-scroll attractor has arisen under certain parameters and initial conditions. Chua's circuit output waveform is aperiodic and unpredictable, and is sensitive to the initial value. The powerspectrum of this chaotic signal is continuous.Key words: chaos; Chua's circuit; kinetics(編輯徐永銘)中國煤化工CNMHG41