N重極限點(diǎn)解分支的數值分析

第22卷第1期工程數學(xué)學(xué)報2005年02月CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICSFeb.2005文章編號:1005-30852005)01-0167-04N重極限點(diǎn)解分支的數值分析*王賀元,徐美進(jìn),王偉志,襲著(zhù)有(遼寧工學(xué)院數理系,錦州121001)摘要:對N階分歧問(wèn)題極限點(diǎn)解分支的數值逼近問(wèn)題進(jìn)行了研究。給出了解分支的結構及求解分支的擴充系統,證明了擴充系統解的存在性,討論了解曲線(xiàn)的數目,并給出了誤差估計關(guān)鍵詞:N重極限點(diǎn);分歧方程;數值分析分類(lèi)號:AMS(200065J15;47H15:58F14中圖分類(lèi)號:O175.29;O17791文獻標識碼:A1N重極限點(diǎn)處解分支的結構及求解分支的擴充系統方程奇異點(diǎn)處解的數值逼近是分歧數值計算的焦點(diǎn),文獻(1]討論了分歧點(diǎn)處解分支的數值逼近問(wèn)題,本文討論另一類(lèi)奇異點(diǎn),極限點(diǎn)處解分支的數值逼近問(wèn)題設E是 Hilbert空間,G:E×R→E是非線(xiàn)性c3映射,考慮參數獨立方程假設點(diǎn)(u,0)∈E×R滿(mǎn)足(H1)Go:=G(u0,Ao)=0這里及以后的下標0均表示相應的函數或算子在(0,0)點(diǎn)的值(H2)DGo是指標為0的 Fredholm算子,0為其一個(gè)代數重數為N的特征值。(H3) dim(ker(Du)=N(H4) DAGo Range(D, Go在(H1)-(H3)假設下,方程(1)稱(chēng)為N階分歧方程,如果條件(H4)成立,(u0,)0)稱(chēng)為方程(1)的N重極限點(diǎn)。下面我們討論N重極限點(diǎn)(uo,A)處解分支的結構及其數值逼近,所用符號D,D2,Dx,…分別代表全導數或相應的偏導數,由 Fredholm算子理論可知,存在p,∈E,=1,2,…,N,使得E1=ker(D2G0)=span{1,92,…,N}(9,9)=6E1= ker(D Go)=span(1, /2,., Nvi, vi)=dijE2=Range(D Go)=alue (u, api)E2= Range(D,Gt){ulu∈E(u,p)=01≤i≤N}E=E1⊕E2=E1⊕E2收稿日期:2002-11-26.作者簡(jiǎn)介:王賀元(1963年3月生),男,博士,教授,研究方向:分歧理論及其數值分析基金項目:國家重大基礎研究專(zhuān)項基金(973)(G19992801-7);遼寧工學(xué)院博士啟動(dòng)基金中國煤化工CNMHG第22卷其中D2G是DCo的共軛算子,(,)是ExE上的對偶積或內積,⊕表示E子空間的直和。以后將用到下列符號i=DmG09;9;1≤i,j≤N=(k,9)1≤k≤Ngo= DAGoa6=(vk,9)1≤k≤N眾所周知2,并非方程(1)的所有根(u0,0)都產(chǎn)生解分支,然而孤立根卻是如此2,我們僅考慮此種情況下解分支曲線(xiàn)的結構及路徑跟蹤問(wèn)題引理11在(H1)-(H4)假設下,方程(1)在(o,A0)處解分支曲線(xiàn)具有如下形式∫u()=0+2+P,v∈B2A(t)=Aot∈T=[-to,tol這里a=(a2,a2,…,aN)∈RN,B∈R是t的函數,a2y;=∑a;y;為張量記法。證明如果G(v(t),A(t)=0|≤to并且(v(0),入(0)=(0,o),在t=0處關(guān)于t求導得D Gou(0)+ DAGoA(0)=0由(H4)必有)=0,因此v'(0)=ta+t(t),v(t)∈E2,(t)=+ap1=09,結合(2)我們可以假設u()=20+t),t∈I=-to,tol所以有(0)=a2+v(0),X(0)=B(0)=0,因此,v(0)=0,故有t2u(t)u(t)∈EA(t)=o+tB(t)t∈I=[-to,tol證畢為尋求合適的函數v,a,B,定義如下擴充系統F:E×RN×R→E×RMF(,a, B, t)≠0WN, v))Go(0)+w(0)F(,a, B,0)=FIt其中()=(t)a(t)+96(t)(0)=5qijaoao, a0=a(0), Bo= 6(0中國煤化工CNMHG王賀元等:N重極限點(diǎn)解分支的數值分析引理12如果t∈I,a(t)∈C(I,RN),B(t)∈C(I,R),那么由(5),(6)所定義的映射F(v,a,3,t)在t=0處是連續的。由此引理,我們得到下面定理定理11在(H1)-(H4)假設下,求方程(1)通過(guò)(0,A)點(diǎn)的解曲線(xiàn)u(t),A(t)等價(jià)于求F(va,B)=0的非平凡解(v,a,B)∈E2×RNxR。2解曲線(xiàn)的存在性及數目下面我們討論方程(1)通過(guò)極限點(diǎn)(uo,A0)的解曲線(xiàn)的存在性及其個(gè)數,為簡(jiǎn)單起見(jiàn)這里做全局正則化≡1(局部等價(jià)于(0)≠0,首先討論Dva)F(v,a,t)((o,a)的正則性,其中ao=(ab,a2,…,a),而且要用到下列符號f&(ao, 1)=202 aao+ao, kf=[f1,f2,…,fN]其中aaab表示雙重指標求和,下面類(lèi)似符號均與此意義相同,符號Rank"02表示y0的秩,容易證明下列結論引理21設(a0,1)∈RN+1,當Rank=B0=a2a=N,k=1,2,…,N時(shí),則DaF(,a,A,0)(m(0)a0)在ExRN上是正則的根據引理2.1及隱函數定理,我們有下列結論。定理21假設引理21的條件和(H1)(H2)成立,而且u(0)∈E,那么有常數to>0,至少存在一個(gè),至多存在2N個(gè)不同的連續向量函數{(v1(t),a1(t),aN(t),t∈(-to,tol}cE21,…,,1≤l≤2N滿(mǎn)足(vi(t), ai(t),證明系統(7)是N元二次多項式, Bezout修正定理表明,如果(7)是非退化的,它最多有2N個(gè)解,因此系統(7)最多有2N個(gè)根,假設aa1(O),…,a3N(0)(=1,…,,1≤l≤2)是系統(7)的非零解,由于(0)∈E2,有u(0)=qmno(O)a00)+∈E2m,n=1,…,N,=1,…1,1≤l≤2其中a(0):=a1n(0),所以存在唯一的n(0)∈E2,(=1,…,l,1≤l≤2)使得DCov1(0)+u(0)=0,(i=1,…,,1≤l≤2N)顯然(n(O),a1(0),…,a(0)(=1,…,1,1≤1≤2)是F(v,a,3,0)=0的解,即(6)至少存在一個(gè)非零根(v(0),a1(0),…,aN(0),由引理21和隱函數定理,存在to>0和唯一映射((),a1(),…,aN():{-t0,to→E2×RN,使得F(u(t),a1(t),……,aN(t),t)=0,t∈[-to,tol因此至少存在一個(gè),至多存在2N個(gè)不同的連續向量函數{(v1(t),ai1(t),…,aN(1),t∈[-to,tl}cE2×RN,i=1,…,,1≤l≤2滿(mǎn)足F(v(t),aa1(t),…,aN(t),t)=0中國煤化工CNMHG第22卷證畢所以我們有下列結論推論21如果定理21的假設成立,方程(1)至少存在一個(gè),至多存在2N個(gè)如下形式的不同解曲線(xiàn)相于(o,o)ui(t)=wotap+tvi(t)入(t)=A0∈[-to,to],這里a2=a;°參考文獻:[1 Mei Zhen. Numerical approximation of simple corank 2 bifurca tion problem[D]. Doctorate dissertation,of Marburg. 1999: 83-872 Dwight W. Decker, Multiple limit point bifurcation[J]. Journal of mathematical analysis and applications,1980:75:417-4303 Bouligaand G. Revue Gener, Sc Pur Appl, Bull Soc Philomath, 1984: 55Numerical Analysis of Solution Branches of Multiple Limit PointWANG He-yuan, XU Mei-jin, WANG Wei-zhi, XI Zhu-youDepartment of Mathematics and Physics, Liaoning Institute of Technology, Jinzhou 121001Abstract: Numerical approximation of solution branches for multiple limit point is discussed, structionof solution branches and the extended system at multiple limit point are given, existence of solutionfor the extended system is proved, number of solution curves is given, error estimate is presentdKeywords: multiple limit point; bifurcation equation; numerical analys中國煤化工CNMHG