一維熱方程解的存在性

第28卷第3期(上)赤峰學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)Vol. 28 No. 32012年3月Jounal of Chifeng University( Natural Science EditionMar.2012維熱方程解的存在性李慧(忻州師范學(xué)院專(zhuān)科部,山西忻州034000摘要:文章利用算子半群理論證明了一維熱方程解的存在性和唯一性,此方法與以往解的存在性證明區別在于無(wú)須直接求解便可得到其解的穩定性結論.關(guān)鍵詞:壓縮C半群;熱方程;算子;存在唯一性中圖分類(lèi)號:017792文獻標識碼:A文章編號:1673-260X(2012)03-0015-02算子半群理論是泛函分析的一個(gè)內容豐富的DwA=Exm存在重要分支,該理論在許多實(shí)際問(wèn)題中,例如量子力定義2算子學(xué)中的 Schrodinger方程、中子遷移方程、人口發(fā)展Ax- lim Ttx-x,x∈DOA方程以及分布參數控制理論和工程技術(shù)中都得到稱(chēng)為強連續半群T(的無(wú)窮小生成元,簡(jiǎn)稱(chēng)為生成了廣泛的應用本文用算子半群知識考慮如下一維元熱方程初邊值問(wèn)題引理個(gè)(Hile- Yosida生成定理)線(xiàn)性算子du(x,t)_du(x, t)(,x)∈(0,+∞)×(0,1)A生成壓縮C0半群的充要條件為(a)A為閉稠定算子;u(,O)=u1,1)=0,t∈(0,+∞)(b)p(A)2(0,+∞),且對于每個(gè)A>0,有IR(A,A)u(O,x)=1(x),x∈(0,1)解的存在性和唯一性≤1首先介紹一些文中用到的算子半群的基本知引理2若A生成C半群T(),則初值問(wèn)題識.u(O=Au(t1準備知識的解存在且唯一,其解為u()=T(uO)=:定義設X是 Banach空間,從X到X上2主要結論及證明的有界線(xiàn)性算子單參數族T,t≥0如果滿(mǎn)足:取狀態(tài)空間為X=L(,1這樣初邊值問(wèn)題(1)可T(0)=轉化為抽象 Cauchy問(wèn)題(2)VL, s20, T(t+s)=T(UT(s)u(=Au(0) Do(3)Vx∈x,JimT(x=x,則稱(chēng)T()是強連續算子半u(O)=ux)x∈(0,1)群.定義算子A如下特別地,若Ⅴt≥0,有mo≤1,則稱(chēng)為壓縮CoAg="∈D(A)半群D(A)={olo∈H0,1)∩Ho,1),且o(0)=5(1)=0定理1如上定義的算子A生成X上的壓縮C0半群證明因為CO,1cDA),所以A是稠定的;Re入+2由泛函分析知識得L(0,1)上的常微分算子A=d在D=Cn0.1cD()上不是閉算子,但是A可所以當A0時(shí),Am≤pg2以閉化其閉包是H.1所以上述定義的微分算gl≤gh,則有子A是閉算子IRAA川≤1下證p(A)0,+∞)由上面證明知算子A滿(mǎn)足Hile- Yosida定理設A=α+,令A-A)f=0即f"-Af=0的條件,所以算子A生成壓縮C0半群T(.證畢解二階微分方程得到:(x=CeN'+CeYx定理2對于每個(gè)u(x)∈HO,1)∩H(0,1)初邊由f0)=1)=0得到eY+e=0即e2=1,所以2值問(wèn)題(1)存在唯一解VA=2ni,則Aa=-n2r,n∈N證明此定理的證明可由定理1和引理2直對于每個(gè)A,相應的(x-A)=0的解為:fx)接得出=Cnem+Cem,再由fO)=f(1)=0有Cn-Ca,所以f(x)=C(em-em).于是入An=-n2mcoA);參考文獻另外對g∈x入≠入,方程(X1-A)=g有唯一1) Pazy A. Semigroup of linear operators and ap解;所以p(A)2(0,+∞);plications to partial differential equations M]最后證明對每個(gè)A0,ROA,A川≤1Springer-Verlag, New York, 1983[2 ]Lawrence C. Evans. Parital Differential Equa對∈DA),有(x=f0d則tions(M. American Mathematical Society, 1998〔3〕衛雪梅;傅初黎;非古典熱方程解的存在唯一性Hn2=dk≤ L. delle2sme2U蘭州大學(xué)學(xué)報,1998(2):16-20(AI-A=A0-(r",=N2+f2≥(A+2)m2;〔4〕姚明華熱傳導方程次解的性質(zhì)黑龍江科技對于Vg∈X,對于滿(mǎn)足AI-Af=g的唯一f,有信息,2011(3):177-177l2(g0≥Re(Q-A)0≥(RA+2)mn2,則