擬線(xiàn)性熱方程的函數分離變量解

2012年4月純粹數學(xué)與應用數學(xué)第28卷第2期Pure and Applied MathematicsVol 28 No. 2擬線(xiàn)性熱方程的函數分離變量解婁丹,謝離麗(西北大學(xué)數學(xué)系,陜西西安710069)摘要:用群狀結構法研究擬線(xiàn)性熱方程的分離變量解,對于允許和型分離變量解的二階擬線(xiàn)性熱方程給出了一個(gè)完整的分類(lèi).說(shuō)明了一些帶有函數類(lèi)型反應項的方程具有函數分離變量解,推廣了前人的結論關(guān)鍵詞:函數分離變量解;群狀結構法;擬線(xiàn)性熱方程中圖分類(lèi)號:O175.,2文獻標識碼:A文章編號:1008-5513(2012)02-0242051引言本文研究帶有反應項的擬線(xiàn)性熱方程ut=(K(uur)x+A(ak(uux+ D(u)的函數分離變量解,其中K(u),D(u)均為足夠光滑的函數.分離變量法是用來(lái)解決數學(xué)物理中的帶有初邊值條件偏微分方程的有效方法.李點(diǎn)對稱(chēng)的方法在帶有變系數的線(xiàn)性偏微分方程的分離變量解的研究中扮演了十分重要的作用2.對非線(xiàn)性的偏微分方程而言,一個(gè)自然的問(wèn)題就是它們是否存在分離變量解.因此,研究非線(xiàn)性偏微分方程的分離變量解是有意義的例如文獻⑧3對帶有熱源項的非線(xiàn)性反應-擴散方程ut=(D(u)ur)x+ B()Q(u), Bxt0的函數分離變量解作了具體的研究對于(n+1)維非線(xiàn)性偏微分方程E(t, . u, ux, ut, Urr, Uxt, utt, ..)=0,(2)這里u=u(x,t)C=C( 1, 2,如果方程(2)有形如u=φ(x)+v(t)的解,稱(chēng)之為和形式的分離變量解;如果方程(2)有形如u=φ(x)(t)的解,則稱(chēng)之為乘積形式分離變量解如果方程(2)有形如f(u)=g?(x)+v(t)的解,這里f(u)≠t,f(u)≠lnu,稱(chēng)之為函數分離變量解.研究表明許多非線(xiàn)性偏微分方程有函數分離變量解.收稿日期:2011-0基金項目:國家自然科學(xué)基金(10671156)作者簡(jiǎn)介:婁丹(1985-),碩士生,研究方向:偏微分方程中國煤化工CNMHG第2期婁丹等:擬線(xiàn)性熱方程的函數分離變量解243文獻⑧35]中分別研究了方程:ut=(D(uux)x+ b(a)Q(u)utt=(D(uuc)x+b(aQ(a)ut=(A()D(uux)x+ B(a)Q(u)的函數分離變量解下面將討論帶有反應項的擬線(xiàn)性熱方程(1)的函數分離變量解2群狀結構法如果方程(2)中的E不顯含t,則設vx=G(x,),u=F(x,u)運用群狀結構法間,得到如下方程組Fr+GF= FGEF.G. F.gm F.G為了獲得方程(2)的函數分離變量解,令G(x,u)=9(x)h(u),從(3)式第一個(gè)方程可以解出F(x,w),得F(x,)=h(u)f(7)(t)=h(sg(y)dy, n(t)=f(n)從而得到如下形式的函數分離變量解:H(u)=(y)dy +n(t)3擬線(xiàn)性熱方程的函數分離變量解下面考慮方程(1),根據群狀結構法理論,把G(x,u)=g(x)h(u),F(x,u)=h(u)f(n)代入到方程(1)中得到∫滿(mǎn)足f= gxK+9(Kh)u+AgK+這里方程(1)具有(5)式確定的函數分離變量解注意到∫是不依賴(lài)x的函數,于是對(6)式兩邊關(guān)于x進(jìn)行微分,得到gxak+ gaghKu+2gg (Kh)u+(Ag)xK +9 (Kh)uh+Ag+ gDu gDh=0.(7)這里考慮h(ω)=1的情況,此時(shí)方程(1)有和型的分離變量解:H(u)=t=/9()dy+m(t)中國煤化工CNMHG244純粹數學(xué)與應用數學(xué)第28卷方程(7)意味著(zhù):gxrK+3gg Ku+g Kuu+(Ag)xk+Ag Ku+記r代表由9x,99,g3,(4g)x,Ag2,g張成的線(xiàn)性空間,dim=2.根據r的維數,求解方程(8)決定的函數K(u)和D(u)的表達式情形1dimT=2此時(shí)A和g滿(mǎn)足下面的方程組+a2 Ag,(Ag)x=b19+b2 Ag其中a1,a2,b1,b2均為實(shí)數.將(9)式代入方程(8)得到函數K(u)和D(u)滿(mǎn)足下列的ODE系統/a2b162bKu+ajKa+ d)K+5a202Ku+akU+Ku=0下面分情況討論方程(10)的解0,b2≠0K(u)=C1+a202 C1e 02u+其中c1,c2以及以后出現的c3均為積分常數.(i)a2=0,b2=0K(u)D()=-b2C1+c2(i)2≠0.令△=(3a2b2+b2)2-8a2b2(a2b2+2)=(a2b2-2)2,61a2b2+262=-b2≠0時(shí)K(u)d(u其中12a2b1+a1b2bK())c2emu-b1c1u+中國煤化工CNMHG第2期婁丹等:擬線(xiàn)性熱方程的函數分離變量解245其中(c)當△=0時(shí)K(u)=(c1+c2u)e2,D(u)=-(mc1 +nc2)e-o1u-mc2ue 2u+c3,其中m= a2b1bb2b, n=2a情形2dimr=3此時(shí)A和g滿(mǎn)足下面的方程組g9x=019+a2°+a3Aq(11)(Ag)x=b19+b293+b3其中a1,a2,a3,b1,b2,bg均為實(shí)數.將(11)式代入方程(8)得到函數K(u)和D()滿(mǎn)足下列的ODE系統b3+b3)K+(3a3+1)Kn=0,(2a2+a3b2+b2)K+302Kn+Kn=0,(12)+a301+b1)K+3a1Ku+ Du=0下面分情況討論方程(12)的解.令(i)當△>0時(shí),分以下幾種情況:(a)a2=0,b2≠0K(u)=cieu +c2e-ouD()=(Ab1-3a1)c(Ab1+3a1)c1e。+e3,其中a3+1(a3+1)62+(303+1)b2=04(b)a2=0,b2=0D()=-(a1a2+b33其中a3=-3,b3=02(c)a2≠0,b2=0.K()D(u)=mc1e-a2+nc2e-2a21中國煤化工CNMHG246純粹數學(xué)與應用數學(xué)第28卷其中2a2(i)當△<0時(shí),K(u)=ea(c1 cos(Bu)+C2 sin(Bu)),C1入-C26C2)+C13+B2其中入2a1a2+=b14結論本文利用群狀結構法討論了擬線(xiàn)性熱方程的函數分離變量解問(wèn)題.結論是對于某些具有函數類(lèi)型反應項的方程,能得到函數分離變量解.參考文獻[1 Bluman G W, Kuwei S Symmetries and Differential Equation M. New York: Springer, 19892 Miller W. Symmetry and Separation of Variables(M. Reading: Addison-Wesley, 1977.3 Qu C Z, Zhang S L. Group foliation method and functional separation of variables to nonlinear diffusionequation J]. Chin. Phys. Lett., 2005, 22(7): 1563-15664 Qu C Z, Zhang S L. Extended group foliation method and functional separation of variables to nonlinearwave equations[J]. Commun. Theor. Phys., 2005, 44: 577-5825 Hu J Y, Qu C Z, Yin Hui. Functional separable solutions to nonlinear diffusion equations by group foliationmethod J. Commun. Theor. Phys., 2007, 47: 193-1996]左蘇麗.運用群狀結構法求非線(xiàn)性波方程的函數分離變量解門(mén)J.廈門(mén)大學(xué)學(xué)報,2008,47(1):1215.7]勾明.擬線(xiàn)性波方程的函數分離變量解J.蘭州大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2009,45(1:107-111Functional separable solutions to quasi-linear heat equationLou dan. Xie lili(Department of Mathematics, Northwest University, Xi'an 710069, China)Abstract: In this paper, we considered the separable solutions to the quasi-linear heat equation with the groupfoliation method. A classification was carried out for the second order heat equations which admit additiveseparable solutions. The result is an extension of some known conclusions about the functional separation ofKey words: functional separable solution, group foliation method, quasi-linear heat equation2010MSC:38Q80中國煤化工CNMHG