中值定理的推廣及應用

第33卷第6期佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)Vol 33 No62015年11月Journal of Foshan University( Natural Sciences Edition)Nov.2015文章編號:1008-0171(2015)06-0059-05中值定理的推廣及應用李蕙萱(黎明職業(yè)大學(xué)公共教學(xué)部,福建泉州362000摘要:主要對數學(xué)分析教材中的費馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理進(jìn)行了較全面地推廣,并通過(guò)舉例說(shuō)明了這些定理在函數的單調性、極值、極限、證明不等式和恒等式等方面的應用。關(guān)鍵詞:費馬定理;羅爾中值定理;拉格朗日中值定理;柯西中值定理;泰勒定理中圖分類(lèi)號:O172文獻標志碼:A大多數數學(xué)分析教材凵2中主要介紹了費馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理較強的條件和結論,以及它們在求函數極值、判定函數的單調性、求不定式極限、證明不等式和恒等式等方面的一些應用,但是某些實(shí)際問(wèn)題,由于不滿(mǎn)足定理中的條件,所以不能直接應用這些定理,因而具有一定的局限性。本文針對這些問(wèn)題對以上定理進(jìn)行推廣,如推廣到開(kāi)區間、無(wú)窮區間等情形,并通過(guò)舉例說(shuō)明有關(guān)的應用,旨在為解題帶來(lái)更大的方便。費馬定理的推廣及應用費馬定理給出了可導函數在極值點(diǎn)的導數值為零的理論,因此費馬定理僅適用于可導函數的情形,具有一定的局限性,下面針對函數不可導的極值點(diǎn)的導數值進(jìn)行推廣,首先引入次微分的概念。定義1凸函數f:R在點(diǎn)x的次導數,是實(shí)數c使得f(x)-f(x0)≥c(x-x0)。對于所有I內的xo,可以證明,在點(diǎn)x的次導數的集合是一個(gè)非空閉區間[a,b,其中a和b是f在xo處的單側極限,且滿(mǎn)足a≤b。所有次導數的集合a,b]稱(chēng)為函數f在xo的次微分,記作f(x0)=f'(x0),fF(x0)]。引理1凸函數的局部極小值一定是整個(gè)定義域內的最小值命題1設f(x)是定義在(a,b)上的凸函數,則0∈(x0)是x0為函數f(x)在(a,b)的極小值點(diǎn)的充要條件。證明(充分性)設在(a,b)上的凸函數f(x)的極小值點(diǎn)是x0,則由引理1知f(x)在(a,b)上的最小值點(diǎn)是x,即Ⅴx∈(a,b),有f(x)≥f(x0)+0(x-x),故0∈0f(xo)。(必要性)設有0∈(x0),從而Ⅴx∈(a,b),有f(x)≥f(x0)+0(x-x0)=(x0),即f(x)在(a,b)上的最小值點(diǎn)是x0,同時(shí)也是極小值點(diǎn)推論1當凸函數f(x)在(a,b)上為可導函數時(shí),xo是f(x)在(a,b)上的極小值點(diǎn)的充要條件為f(x0)=0例1討論函數y=|x|,x∈R的極值問(wèn)題收稿日期:2015-04-09中國煤化工作者簡(jiǎn)介:李蕙萱(1974-),女,福建泉州人,黎明職業(yè)大學(xué)講師CNMHG佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)第33卷首先,由絕對值三角不等式的性質(zhì)得t∈(0,1),Hx,y∈R,|tx+(1-1)y|≤tx|+(1-t)y|。即該函數為凸函數,由定義1知,當x>0時(shí),0f(x)=1;當x=0時(shí),f(0)=[-1,1;當x<0時(shí),af(x)=1故僅當x=0時(shí),0∈礦(x),由命題1得,該函數極小值點(diǎn)是0且惟一。2羅爾定理的推廣及應用羅爾定理是一個(gè)充分而非必要條件,且對涉及的函數要求為閉區間,但在實(shí)際問(wèn)題中會(huì )碰到開(kāi)區間或半開(kāi)半閉區間或無(wú)限區間等情形。命題2設在區間(a,b)上函數f(x)連續,在區間(a,b)內可導,且limf(x)=limf(x)=A,其中Ax為常數,則彐∈(a,b),使得f"()=0命題3設在區間[a,b)上函數f(x)連續,在區間(a,b)內可導,且limf(x)=f(a),則彐∈(a,b使得f"(≥=0命題4設在區間(a,b]上函數f(x)連續,在區間(a,b)內可導,且limf(x)=f(b),則彐∈(a,b),使得f"(5≥=0。命題5設在區間[a,+∞)上函數f(x)連續,在區間(a,+∞)內可導且imf(x)=f(a),則彐∈(a,∞),使得∫()=0命題6設在區間(a,+∞)上函數f(x)連續,在區間(a,+∞)內可導,且limf(x)=limf(x)=A,其中A為有限實(shí)數,則彐∈(a,+∞),使得∫'()=0。命題7設在區間(-∞,a上函數f(x)連續,在區間(-∞,a)內可導,且limf(x)=f(a),則彐∈(-∞,a),使得f"(=0命題8設在區間(-∞,a)上函數f(x)連續,在區間(-∞,a)內可導,且limf(x)=limf(x)=A,其中A為有限實(shí)數,則彐∈(-∞,a),使得∫"()=0。命題9設在區間(-∞,+∞)上函數∫(x)連續,在區間(-∞,+∞)內可導,且limf(x)=limf(x)A,其中A為有限實(shí)數,則彐∈(-∞,+∞),使得f()=0證明若∫(x)是常值函數,結論顯然成立。下面只討論∫(x)不是常值函數的情形。在這一情形下,不妨設彐x∈(-∞,+∞),f(x)>A=limf(x)。因為f(x)在(-∞,+∞)上連續,由連續函數介值定理的推廣形式可知,丑5∈(-∞,x),2∈(x,+∞),使得f()=f(2)。再由羅爾定理得∈(,52)C(-∞,+∞),使得f"(5)=0。命題10若在區間(a,b)內函數f(x)可導,且limf(x)=limf(x)=+∞或-∞,則引ξ∈(a,b),使得f"()=0證明不妨設imf(x)=limf(x)=+2,并令M=f(“+)。則36(0<6),使對滿(mǎn)足aM3x∈(a,a+)使得f(x1)>M。對上述f(x1),362∈(06x)使得滿(mǎn)足b-60,f(x)在(a,a+6)(b-8,b)內有相同的單調性,則至少1,∈(a,b),≠52使得f"5)=0,f(52)=0。例2設F(x)在(a,b)上可導,且limF(x)>0,limF"(x)<0,證明彐ξ∈(a,b),使得F'()=0。rb證明據題設所給條件和極限的保號性知,3δ>0,當x∈(a,a+8)時(shí),F(x)>0,即F(x)在(a,a+6)上單增;當x∈(b-8,b)時(shí),F(x)<0,即F(x)在(b-8,b)上單減,由上述命題11知,一定彐ξ∈(a,b),使得F'(點(diǎn))=0。3拉格朗日中值定理的推廣及應用拉格朗日中值定理是中值定理的核心,在許多問(wèn)題中能得到應用,可是受到開(kāi)區間內可導條件的限制,有時(shí)并不能很好地解決問(wèn)題。命題13設在閉區間a,b]上函數∫連續,若在(a,b)內函數除了有限個(gè)點(diǎn)外可微,則彐∈(a,b),使得(b)-f(a)|≤f(o)|(b-a)。證明不妨設f僅在d∈(a,b)不可微分,分別在區間[a,d,[d,b]上應用拉格朗日中值定理得f(d)-f(a)=f'(o)(d-a),o∈(a,d),f(b)f(d)-f'(a2)(b-d),a2∈(d,b),令團f"(p)=maxf(1)|,f'(a2)|,使得(b)-f(a)≤(o)|(b-a)。命題14設在閉區間[a,b上函數f連續,若在(a,b)內函數f除了n個(gè)點(diǎn)外可微,則存在n+1個(gè)點(diǎn)a24…述(m0,且f(b)-f(a)=af'(1)+af'(52)]這個(gè)證明方法顯然可以推廣到f在n個(gè)點(diǎn)(n>1)上不可微的情形。命題15若在閉區間a,b]上函數f連續,在開(kāi)區間(a,b)內存在左右導數f',f+,且f(b)=f(a),則彐x∈(a,b),使得f'(xf'(x0)≤0。例3證明 arctan a- arctan b≤{a-b|。證明設f(x)= arctan x,x∈a,b],則f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內可導,由拉格朗日中值定理可得m(04),取絕對值1mbb1+,因為1|=1所以 arctan a- arctan b|≤a-b|。4柯西中值定理的推廣及應用柯西中值定理的條件要求x∈(a,b),g(x)≠0,這個(gè)條件限制g(x)的條件較強,為單調函數,且要求g(x)≠0(x∈(a,b)),應用范圍受到限制命題16若在閉區間[a,b上f(x)和g(x)連續,在開(kāi)區間(a,b)內可導,g(a)≠g(b),則在(a,b)內至少存在一點(diǎn)c,使f(c)=/(b)-f(a)dlc)g(6)-g(a)證明作輔助函數Fx)f(x)-f(a)-fb)f(a)g(x)-g(a)同然F)足羅爾定理的條件中國煤化工則至少存在一點(diǎn)c在(a,b)內,使F(c)=0,即CNMHG佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)第33卷(b)-f(a推論2若在閉區間[a,b]上f(x)和g(x)連續,在開(kāi)區間(a,b)內可導,且g(a)≠g(b)f(x)和g(x)不同時(shí)為零,則在(a,b)內至少存在一點(diǎn)c,使g'(c)g(b)-g(a)°證明由命題16知,在(a,b)內至少存在一點(diǎn)c,使r(e)=/(b)(a)g1(c)-g(a由f(c)和g'(c)不同時(shí)為零,必有g(shù)(c)≠0,否則g(c)=0,則f(c)=0,這不可能,所以將/'(c=f(b-flalg'(c)兩邊同時(shí)除以g(e),可得fc)=f(b)f(a)例4設函數f(x)∈c[a,b],且在(a,b)內可導,證明彐c∈(a,b),使得2cf(b)-f(a)]=(b2-a2)f'(c),其中a>0。證明只須證(b)f()=c)。令g(x)=,則/(x)g(x)滿(mǎn)足柯西中值定理條件,所以彐ce(a,b),使f(b)(a)=(C),即f(b)(n)=f"(c),由此原結論成立。5泰勒定理的推廣及應用當出現兩個(gè)函數在區間(x,x1)中n+1階可導時(shí), Taylor中值定理需要推廣命題17如果在區間(x0,x)中函數f(x)和g(x)具有n+1階導數時(shí),那么彐∈(xo,x1),使得(5)f(x)∑r4(x)(x3(x)-∑g+(x0)證明設F(x)=f(x)(x0)(x-x)hg(ao)(a-xo)則當i0,1,2,…,n時(shí),有F(x)=(x)-2/n),6(x)=g(x)-2g+(x)(x=易得F(x0)=G“(x0)=(由柯西中值定理可得彐∈(xo,x1),使得F(x1)F(x1)-F(x)F(1)G(x1)G(x1)-G(x0)G(1)不斷使用這兩個(gè)等式和柯西中值定理可得彐ξ∈(x0,x1),使得F(x1)F葉()f(x1)-∑/(f"(g(x)-∑YH中國煤化工CNMHG第6期李蕙萱:中值定理的推廣及應用例56利用泰勒公式求極限 lim nx→→0 Y sin a解由泰勒公式知sin(E+ -)x sin($+55!sin xsin(+丌)sIn(十一Txa其中,在0與x之間。參考文獻[1]華東師范大學(xué)數學(xué)系.數學(xué)分析[M].3版.北京:高等教育出版社,2010[2]歐陽(yáng)光中,姚允龍,周淵數學(xué)分析[M].上海:復旦大學(xué)出版社,2003[3]辛健拉格朗日中值定理在證明中的應用[J].大眾科技,2007(3):181-183[4]盛小蘭.例談微分中值定理的證題技巧[J].技術(shù)監督教育學(xué)刊,200901):16-19[5]趙香蘭巧用微分中值定理J].大同職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報.2004,18(2):64-66[ MAUCH S. Advance Mathematical Methods for Scientists and Engineers[ M].[S. 1. Mauch Pubulishing Company, 2003【責任編輯:王桂珍 foshanwgzh@l63comPromotion of the mean value theorem andits applicationuI-XuanDepartment of Public Teaching, Liming Vocational University, Quanzhou 362000, ChinaAbstract: In this paper, several common mean value theorems, such as Fermats theorem, Rolle theorem,Lagrange mean value theorem, Cauchy mean value theorem and Taylors theorem, are extended to more generalcases, and illustrated the monotonicity, limit, proof of the application of function inequality and identity etc. inapplicationKey words: Fermats theorem; Rolle theorem; Lagrange mean value theorem; Cauchy mean value theoremTaylor's theorem中國煤化工CNMHG