分類(lèi)討論思想的應用

JUNIOR HIGH SCHOOL STUDENTS TEST數學(xué)學(xué)刀責任編輯:王二喜分類(lèi)討論思想的應用文/陳德前在解題過(guò)程中,將某一數學(xué)對象按照一定的原則或標準分成若干類(lèi),然后逐類(lèi)進(jìn)行討論并解決,再把這幾類(lèi)的結論匯總,得出問(wèn)題的答案.這種解題方法就是分類(lèi)討論.分類(lèi)討論用的是“化整為零,各個(gè)擊破,再積零為整”的解題策略.、含有絕對值符號時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論例1(2010年孝感卷)若lm-n|=n-m,且m|=4,ln|=3,則解:因為|m|=4,ln|=3,所以m=±4,n=±3又lm-n|=n-m,所以n-m≥0,即n≥m所以n=3,m=-4或n=-3,m=-4符合題意當n=3,m=-4時(shí),(m+n)2當n=-3,m=-4時(shí),(m+n)2=(-3-4)2=49所以(m+n)2的值為1或49溫馨小提示:遇到含有絕對值的問(wèn)題,一般需要去掉絕對值符號.這就要根據絕對值的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論、當使用的法則、定理中國煤化工類(lèi)討論CNMHG例2(2011年畢節卷)已知+=c=C=k,則k的值是022JUNIOR HIGH SCHOOL STUDENTS TEST數學(xué)學(xué)習解:當a+b+c≠0時(shí),由條件可得:kc=a+b,ka=b+c,kb=c+a,三式相加得(a+b+c)k=2(a+b+c),;k=2;當a+b+c=0時(shí),a+b=-ck、a+b所以k為2或-1.溫馨小提示:有些運算法則、定理、公式的適用范圍有一定的限制,在應用它們時(shí)必須就適用范圍進(jìn)行分類(lèi)討論在本題中,由(a+b+c)k=2(a+b+c)得到k=2,它的前提是a+b+c≠0,題目中沒(méi)有這樣的限制,因此需要分a+b+c≠0和a+b+c=0兩種情況討論三、當已知條件中含有參數時(shí)的分類(lèi)討論例3(2011年南京卷)已知函數y=mx2-6x+1(m是常數)(1)求證:不論m為何值,函數圖像都經(jīng)過(guò)y軸上的一個(gè)定點(diǎn);(2)若該函數圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),求m的值解:(1)當x=0時(shí),y=1,所以不論m為何值,函數y=mx2-6x+1的圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,1)(2)①當m=0時(shí),函數y=mx2-6x+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)②當m≠0時(shí),由函數y=mx2-6x+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),則方程mx2-6x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數根,所以(-6)2-4m=0,即m=9綜上所述,若函數y=mx2-6x+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),則m為0或9溫馨小提示:對于參數問(wèn)題,要根據參數的不同取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論.本題中不能誤認為已知函數一定是二次函數,由于m的取值不同,可以是一次函數,也可以是二次函數四、當三角形高的位置不中國煤化工例4(201年黑河卷)已焦灬和長(cháng)別為20cm和30cm,第三邊上的高為10cm,則此三角形的面積為cm2解:根據題意畫(huà)出圖形,第三邊上的高可能在三角形內,也可023續JUNIOR HIGH SCHOOL STUDENTS TEST數學(xué)學(xué)習能在三角形外,要分兩種情況求解利用勾股定理可求得BD=10V3CD=20V2.當高在三角形內時(shí),如圖1,此時(shí)BC=20√2+10√3,三角形的面積為(100V2+50√3)cm當高在三角形外時(shí),如圖2,此時(shí)BC=20V2-10√3,面積為(100V2圖50√3)cm三角形面積為(100V2+50√3)cm2或(100V2-503)cm2溫馨小提示:對于三角形的主要線(xiàn)段(角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高)來(lái)說(shuō),高的位置具有多變性,可在三角形內,三角形外或三角形的邊上,當條件中出現高時(shí),要注意分類(lèi)討論五、當等腰三角形的底不確定時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論例5(2011年安順卷)如圖3,O為坐標原點(diǎn),四邊形OABC為矩形,A(10,0),C(0,4),點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)P在BC上運動(dòng),當△ODP是腰長(cháng)為5的等腰三角形時(shí),則P點(diǎn)的坐標為解:根據已知得OA=10,D為OA中點(diǎn),則OD=5,作PE⊥OA于點(diǎn)E,滿(mǎn)足△POD為等腰三角形的情況有以下三種:當PD為底時(shí),如圖3,PO=5,OC=4,根據勾股定理可得PC=3,因此,P點(diǎn)的坐標為(3,4當OD為底時(shí),如圖4,OE=25,PE=4,根據勾股定理可知OP≠所以這種情況不存在當OP為底時(shí),又有兩種中國煤化工B①當△ODP是銳角三角CNMHG圖4,PD=5,PE=4,根據勾股定理可得DE=3,所以OE=OD-DE=5-3=2,P集!024JUNIOR HIGH SCHOOL STUDENTS TEST數學(xué)學(xué)刀點(diǎn)的坐標為(2,4)②當△ODP是鈍角三角形時(shí),如圖5,PD=5,PE=4,根據勾股定理可得DE=3,所以OE=OD+DE=5+3=8P點(diǎn)的坐標為(8,4)因此,滿(mǎn)足要求的P點(diǎn)坐標是(3,4)或(2,4)或(8,4)溫馨小提示:當等腰三角形的底邊不確定時(shí),需要對三邊分別為底邊進(jìn)行分類(lèi)討論.本題中當OP為底時(shí),有兩種情況,即OD邊上的高可在三角形內或三角形外,所以要進(jìn)行兩次分類(lèi),才能全面求解六、當中位數、眾數、極差等含有變量時(shí)需分類(lèi)討論例6(2011年樂(lè )平卷)一組數據:2,3,4,x,若中位數與平均數相等,則數x不可能是()A.1D.5解:平均數為x+2+3+4,中位數隨x的變化而變化,x有三種可能,分類(lèi)討論如下當x≤2時(shí),中位數為2+3=2.5,由x+2+3+4-2.5得x=1;當2