關(guān)于半線(xiàn)性熱方程整體解的注記

第30卷第6期大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)Vol 30 No 6Journal of Zhejiang University( Science Editi關(guān)于半線(xiàn)性熱方程整體解的注記章志飛浙江大學(xué)數學(xué)系浙江杭州310028)摘要:利用 Besov空間的熱核刻畫(huà)及壓編映射原理,研究半線(xiàn)性熱方程u-△n=u|w|°的初值問(wèn)題,得到了當初值m∈(R)且u,…實(shí)m(p=2,p>p)充分小時(shí),整體解的存在性及在一定條件下解的惟一性詞:半戴性熱方程;整體解; Besov空間中圖分類(lèi)號:O175文獻標識碼:A文章編號:1008-9497(2003)06-609-03ZHANG Zhi-fei(Department of Mathematics, Zhejiang University, Hangzhou 310028, China)Note on the global solution to the semilinear heat equation. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 200330(6):609-611Abstract: By using the heat kernel characterization of Besov spaces and the contraction mapping principle, the ini-tial problem to the semilinear heat equation u, Au=ulul is studied. The global existence of the solution is proved.o(R")and Iusb.F.). r", is sufficently smasuitable conditions, the uniqueness of the solution is also obtained.Key words: semilinear heat equation; global solution: Besov spaces研究半線(xiàn)性熱方程則問(wèn)題(1)存在解u∈C(0,∞),L)滿(mǎn)足(3)x∈R,∈R()而且使得如下條件成立的解是惟一的初值問(wèn)題整體解的存在性和惟一性,其中l(4)n(x),a>0.當a∈L(R"),P=2>1時(shí),問(wèn)題注存在函數∈D(R"),使得‖“‖z(g;=1(1)有局部解.當‖xo‖t(充分小時(shí),問(wèn)題(1)有b,“h一("≤7例如取vn∈Lh且目vb=1,可以證整體解口,作者利用 Besov空間的熱核刻畫(huà)及壓縮明m‖mb,”0因此,取k充分大,使得映射原理,證明了當∈L(R”)且4e"volb;“,"m≤,只要令=e"o即可xoi,一“-如“P2=,p>。充分小時(shí),問(wèn)1準備工作題(1)整體解的存在性由于當p>P時(shí),L(R")連續地嵌入B"n(R"),改進(jìn)了文獻[1]的結果取徑向函數中∈S(R),使得0≤中()≤1,當主要結果是≤子時(shí),()=1,當1>2時(shí),4()=0.令定理=>1,P>a+1,≈n1_12(。-p0,使得則對f∈S"(R"),算子S和△(j∈Z)分別定義為(2)Sf(x)=*f(x),△f(x)=中*f(x)收稿日期:2002-04-01作者簡(jiǎn)介:章志飛(1976-),男,斷江大學(xué)數學(xué)系博士生,主要從事調和分析和偏微分方程研究610浙江大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)第30卷定義2,稱(chēng)∫屬于齊性 Besov空間B;(R")4tg≤‖a"l:g是指le siau'|"a(s)|xds≤k”)引理14設1≤q≤∞,<0,則對任意的f∈S'(R"),下面4個(gè)范數相互等價(jià)(-s)-ad≤sup2‖△,f‖xg"(5)Ct&teMg")+t‖ef‖c(-)從而有其中,e“f=G,*f,Gi(x)=(4x)-et為熱核.upr‖‖(g’≤CⅡ4,2、,+C‖'‖x+1引理2設p>=2,則L連續地嵌入齊性Bso空間B"h“(R")接下來(lái)估計|d'‖g-3w.=(g,應用 Young不等式,引引理3設e∫=G,f,g≥p≥1則f∈理1及引理2得L(R"),有lu1lg-2.(≤‖4°~g”,+ef‖x≤C--,le-oaju'|"x(5)|gds≤證明應用 Young不等式便可證得,證略2定理的證明C(-)x首先將問(wèn)題(1)轉換成積分方程u(t)=eun+|e"n4luI'u(s)ds. (10)c}(-s)-“pud‖x≤積分方程(10)的解也稱(chēng)為問(wèn)題(1)的溫和解.通常,C‖al-(g+C‖a‖x"溫和解不一定是經(jīng)典解,但由于e為C的解析半因此群,此時(shí)可以證明溫和解即為經(jīng)典解下面用文獻s|a+1lmm(g≤C‖目2“圖+C‖2x1[7]的方法構造積分方程(10)的解(14)為此引人 Banach空間X,v∈X是指綜合式(13)、(14)可得v(1,x)∈C([0,∞),L°),K;≤C‖4‖x~+C‖a'‖x+2,(15)r"v(t,x)∈C([0,∞),L)limt"‖a‖=0.根據式(15),令K,=2C‖‖,只要取y>0使得2CK.≤1就有Banach空間X的范數定義為K,≤K0,1,2(16)I v Ix=sup v(t) B-bcg")+supr"llv(t)va"由于u°∈X,類(lèi)似于前面的估計,可證定理的證明先構造逼近解,令imr"‖u2h=0,j=0,1,2,n=e“a,wy+1=x2+|e-lv(s)d,因此,∈x,=0,1,2,…下證存在u∈X,使得j=0,1,2,(11)當j→∞,l收斂于a,且滿(mǎn)足積分方程(10).令a由于u∈L,應用稠密性討論及引理1,易證u∈--,j=0,1,2,…(約定u-1=0),則有X,且有lu‖x≤C‖xolg-2,-ay,(12)(CK,)+1‖u6‖x(17)令K,=‖a+1‖x,下面估計K1,j=1,2,…,應用Young不等式及引理3得設,m∈N,>m,則x2-=∑,從而第6期章志飛;關(guān)于半線(xiàn)性熱方程整體解的注記611在某個(gè)區間[0,0)(>0)使得,當r∈[0,B)時(shí)a(r)=v(r),也即當t∈[0,T.+a)時(shí),(t)=aox∑)(CK∵)v(1),這與T.的定義矛盾,因此T定理得證因為CK:<1,所以}=。為X中的 Cauchy列,從而存在x∈X,使得當j→∞時(shí),在X中收斂于u,感謝導師王斯雷教授和陳杰誠教授的指導易證a滿(mǎn)足積分方程(10)最后證明在條件(4)下解的惟一性,設還有另參考文獻v∈X滿(mǎn)足積分方程(10),則有supt"lw()-v(t)‖g≤[1] WEISSLER F B Local existence and non existence forCli sup !lu(r) pIr>+semilinear parabolic equation in I.[]. Indiana UnivMath J,1980,29(1):79-1sup!"lv(t)lx)】[2] BERGH J, LOFSTROM J. Interpolation spaces,AnIntroduction [M]. Berlin/New York: Springer-vesup u()-v(t)v(Ryg,1976其中T>0,因為limr‖al=0,limt"‖v‖=[3] TRIEBLE H. Theory of Function Spaces, Monographin Mathematics [M]. Boston: Birkhauser, 19830,所以可取T>0充分小使得[4J CANNONE M. Ondelettes, Paraproduits et Navier-ci( sp pl uoI")+( sup r ll t) I zag 5).)Stokes[M]. Paris: Diderot Editeur, 1995.[5] CANNONE M. A generalisation of a theorem by Kato于是可推出,當t∈[0,T)時(shí),a(t)=v(t)令T,=on Navier-Stokes equations [J]. Revista Matematicasup{t∈(0,∞);u(t)=v(t)}.若T.=∞,則證畢Iberoamericana, 1997, 13(3):515-541[6] PAZY A. Semigroups of Linear Operators and Appli-否則,t∈(T'.,∞),令r=t-T,,(s)=cations to Partial Differential Equations [M]. berlinv(T,+5),v(s)=v(T,+s),有New York: Springer-Verlag, 1983.u(r)=eeu(T)+e lulu(s)ds[7] KATO T. Strong L,solutions of the Navier-Stokes e-uations in R with applicatiov(r)=ev(T)+|efe-mlvlv(s)d]. Math Zeit,1984,187(4):471-480(貴任編輯壽彩麗)因為t(T.)=v(T.),由上面的惟一性討論,存在