逆平行的應用

中學(xué)數學(xué)教學(xué)2012年第6期逆平行的應用浙江省瑞安市塘下中學(xué)葉挺彪(郵編:325204)定義11與△ABC外接例2設△ABC三邊長(cháng)為a、b、c,D為圓在頂點(diǎn)C處的切線(xiàn)l平行直△ABC內部一點(diǎn),且DA=a,DB=b,DC=線(xiàn)A'B'稱(chēng)為AB的逆平行線(xiàn)c;∠DAB=a2,∠DAC=a3,∠DBA=B如圖1,若A'B′逆平行于∠DBC=B,∠DCA=y,∠DCB=y2,求證AB且交CA、CB分別為點(diǎn)A′n) sin(a2+y:) sin(a3+B,則△A'B'C逆向相似于△ABC證明在DA所在射線(xiàn)上任取一點(diǎn)A,作莫要看它有點(diǎn)古怪,有時(shí)將起到出奇制勝的DA'B′=∠DBA=B1交DB于B功效.作∠DAC"=∠DCA例1從點(diǎn)P發(fā)出的三條射線(xiàn)與直線(xiàn)分別交X交DC于C于A(yíng)、B、C(如圖2),設PA、PB、PC長(cháng)分別為a如圖3所示b·c,記△PAB、△PBC、△PCA的外接圓半徑依不妨設DA′=bck,次為r、n.、n6,求證:ar=brb=c由△DAB'∽△DBA證明設∠APC△DAC∽△DA得圖3∠BPC=BDB=ak,DC′=abk,在PA所在射線(xiàn)上任取=bDB,DBC'c△DCB點(diǎn)A',作∠PAB'=∠B因此BCBO交PB于B';作∠PAC′D’=·ab′k=ak∠PCA交PC于C圖同理,AB′=ck,AC′=bk如圖所示.不妨設PA′=bck,又△ABC的三內角:∠A=B+y,∠B則由△PAB′∽△PBA、△PAC′ca2+y2,∠C=a3+A3△PCA得故由正弦定理可得結論PB= uck. PC= abk定義2與四面體D-ABC外接球在點(diǎn)D隈一一4PCO△FB,處的切面平行面稱(chēng)為平面的遞平行平面因此BC=BC設a的逆平行平面截四面體D一ABC交三棱依次為A′、B、C',如圖4,顯然△A'BC′三邊同理,A'B′=AB·,AC'=AC,硬依次逆平行于△ABC三邊.又∠BAC=∠PCA-∠B=B,事實(shí)上,若側面DAB交切面于直線(xiàn)l,則l是∠ABC=∠PCB-∠A=a△DAB外接圓的切線(xiàn),而A'B'∥l,于是A'B'逆ACB'=∠A+∠B=x-(a+B),平行于A(yíng)B因此在△A'B'C′中由正弦定理得例3設四面體D一ABC底面△ABC三邊BC·aAC·kAB·ck分別為a1、b、c,與才中國煤化工2stnac2,則以a1a2、b1b2、C1HCNMHG即rc.2012年第6期中學(xué)數學(xué)教學(xué)37利用導數證明不等式中構造函數策略探究湖北省大冶市第一中學(xué)黃俊峰袁方程(郵編:435100不等式的證明因其靈活多變、技巧性強著(zhù)以當x>1時(shí),f(x)>f(1)=0,即x-1-ln2x稱(chēng).很多復雜的不等式證明,如果能靈活構造函2alnx>0.故當x>1時(shí),恒有x>ln2x數,并利用導數,往往能獲得簡(jiǎn)捷解決,而構造相2alnx+1應函數是關(guān)鍵.如何構造、從哪里構造函數,許多評注:第(Ⅱ)問(wèn)利用第(I)問(wèn)的結論很容易同學(xué)找不到突破口,下面就此問(wèn)題進(jìn)行探究證明;(2)在判斷函數單調性的過(guò)程中,可能需要直接構造對不能直接確定符號的部分還要構造函數例1(2010年安微理科18題)設a≥0,2等價(jià)構造f(x)=.r-1-In2x+2alnr(x>0).(I)A例2求證:當a≥1時(shí),不等式e-x-1≤F(x)=xf(x),討論F(x)在(0,+∞)內的單ax2elxl調性并求極值;(Ⅱ)求證:當x>1時(shí),恒有x>2對于x∈R恒成立In'r-2alnx+1解(1)當x≥0時(shí),要使e-x-1≤解(Ⅰ)略2一成立,只需cs2+x+,即只需證(Ⅱ)分析本題要證明的不等式x>ln2x2alnx+1是由已知函數f(x)>0變形而來(lái)要明1≤,令f(x)則證明此不等式,只需要研究已知函數f(x)=xl·e-(x+1)e1-ln2x+2alnx(x>0)的單調性Cx)=ar t(e)2證明由a≥0知,F(x)的極小值F(2)=又a≥1,x≥0,故f(x)≥0,即f(x)在2ln2+2a>0.于是,對一切x∈(0,+∞),[0,+∞)上是增函數,故f(x)≥f(0)=1,從恒有F(x)=xf(x)>0.從而當x>0時(shí),恒有成立f(x)>0,故f(x)在(0,+∞)內單調增加.所證明在圖4中,設有用的副產(chǎn)品:△A'BC′三邊為a1′、b1′、例4若以a1、b1、c1為三邊,以a2,h2,c2為ma:b:ci=araz其對棱有四面體存在,則以a1a2、bb2、c1c2為三邊,以b2c2、a2c2、a2b2,為其對棱有四面體也存在事實(shí)上,不妨設DA′=利用此命題可將與四面體邊長(cháng)有關(guān)的關(guān)系b2c2k(k為比例常數),則由式通過(guò)這命題轉化為四面體的一些新的關(guān)系式△DAB'∽△DBA得從而達到探索有關(guān)規律的一種途徑AB′DA′DB,所以CICak參考文獻梁紹鴻.初等數學(xué)復習及研究(平幾)[M.北京:人民同理a′1=a1a2k,b1=b1b2k教育出版社,1979.17利用例3中的△AB'C三邊關(guān)系,為探索四2孔令恩中國煤化工換.數學(xué)通面體的有關(guān)新規律提供了一種途徑,有關(guān)四面體訊,1995HCNMHG不等式的探索,見(jiàn)文[2].同時(shí)我們順便得到一個(gè)(收稿日期:2012-09-26)