高階導數的應用

高階導數的應用◆徐秋倉(安陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院)摘要】一般情況下,求函數的極值與曲線(xiàn)的拐點(diǎn)時(shí),對于二階導為零的點(diǎn)不能確定是否存在極值及是否存在拐點(diǎn)。給出了利用函數的三階或三階以上的導數求函數極值與曲線(xiàn)拐點(diǎn)的方法?！娟P(guān)鍵詞】連續導數極值拐點(diǎn)在討論函數的特性、描繪函數的圖像及討論曲線(xiàn)的形態(tài)時(shí),往往需要/(r)=e+e.r=0, 4r=0求出函數的極值,找出曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。一般情況下是利用函數的二階導數來(lái)mGr)=e-e+2sin,/(o)=0尋找。但對于二階導數都等于零的點(diǎn)來(lái)說(shuō),不能確定其是否是函數的極值點(diǎn)或是否是曲線(xiàn)拐點(diǎn)的橫坐標,對于該類(lèi)特殊的函數與曲線(xiàn),本文給出了由定理1,當n為偶數時(shí)f(x)=0,故y=x)在x=0處有極值又0)=利用函數的三階或三階以上的導數求函數極值與曲線(xiàn)拐點(diǎn)的定理與方法。4>0,所以x=0為極小值點(diǎn),極小值/(o)=4一、利用高階導數求函數的極值例2.討論函數y=八(x)=x是否有極值我們在討論函數的特性時(shí)要求函數的極值,極值點(diǎn)可能是函數駐點(diǎn)或解:函數y=x的定義域為(-∞,+∞)階導數不存在的點(diǎn)。對于駐點(diǎn)處的情況我們一般是利用極值存在的第y充分條件來(lái)判定該定理是:設函數y=(3)在點(diǎn)處具有二階導數且602,00110,0=0(x)=0,那么(1)當f(x。)<0時(shí),函數y=f(x)在點(diǎn)x。處取得極大值;(2)利用高階導數求曲線(xiàn)的拐點(diǎn)當fx)>0時(shí),函數y=f(x)在x處取得極小值;(3)當f7x)=0時(shí)描繪函數圖形或討論曲線(xiàn)的性態(tài)時(shí),我們需要找出曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。能確定。由第二充分條件可知對于駐點(diǎn)處函數的二階導數等于零的點(diǎn)是般情況下是利用拐點(diǎn)的定義來(lái)尋找,即先求出函數二階導數等于零或二階不能確定是否是極值點(diǎn)的還需要用第一充分條件來(lái)判定。事實(shí)上,對于導數不存在的點(diǎn),把定義域分成若干個(gè)小區間,再利用二階導數在每個(gè)小該種情況,我們可以用以下定理來(lái)求函數的極值區間內的正負性來(lái)判斷曲線(xiàn)的凹凸性,從而利用拐點(diǎn)的定義求出拐點(diǎn)的坐(一)定理與證明標。其實(shí),在某些時(shí)候我們可以利用高階導數直接求出曲線(xiàn)的拐點(diǎn)定理1:設函數y=/(x)在點(diǎn)x的某鄰域內具有直到n階的導數,且f(x)=0(-)定理與證明x)=0,/()=0,…,/"(x)=0,/(x)≠0(≥3)。/()在x的某領(lǐng)定理2:設函數y=()在閉區間a上連續,在開(kāi)區間(ab)內一點(diǎn)x處具域內連續。則有直到n階的導數,且fx)=0,/(x)=0,…,fm"(x3)=0,/(x)≠0(≥3)1)當n=2k為偶數時(shí),點(diǎn)是y=Ax)的極值點(diǎn)。若(x)>0則Ax)是“()在x的某領(lǐng)域內連續。則y=x)的極小值;若f(x)<0則/x)是y=f)的極大值。1)當n=2k+1為奇數時(shí),點(diǎn)(xn,/(x)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)2)當n=2k+1為奇數時(shí),點(diǎn)不是y=(x)的極值點(diǎn),(x)不為函數y=(2)當n=2k為偶數時(shí),點(diǎn)(xn,/(x)不為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。的極值證明:設y=(x)在點(diǎn)(,(x)處的切線(xiàn)方程是證明:設x是點(diǎn)的某鄰域一點(diǎn),把()的增量f(x)-/(x)按(x-x)y=/(x)+/(x-x),由拐點(diǎn)的定義可知,若:的冪而用皮亞諾型余項的泰勒公式展開(kāi),并注意定理中的條件,得:y-y=f)-/(x)-/(xnXx-x),當x通過(guò)x時(shí)變號,則點(diǎn)(xA)-)=s)+a(-xy是曲線(xiàn)y=八(x)的拐點(diǎn):當x通過(guò)x時(shí)不變號,則點(diǎn)(x,(x)不是曲線(xiàn)拐點(diǎn)。由于當x→x時(shí)a→0,所以當x充分接近于x時(shí),分子的符號就會(huì )與由假設,把函數y=/(x)在點(diǎn)x處按(x-x)的冪而用皮亞諾型余項(x)的符號相一致,在xx時(shí)都是如此的泰勒公式展開(kāi),并注意定理中的條件,得現在來(lái)考慮兩種情況:y=C"(5)+a((x-(1)n是奇數:n=2k+1。當x的值由小于x變到大于xn時(shí),因式(x-x)就會(huì )變號,但因上式第一個(gè)因子這時(shí)不變號,所以差八(x)-八(x2)也要變由于當x→x時(shí)a→0,所以當x充分接近于x時(shí),分子的符號就會(huì )與的號,函數p=/(在點(diǎn)x處就不會(huì )有極值,因為在這點(diǎn)附近,(有時(shí)小于A(yíng)x)/(x)符號相一致,在x<時(shí)以及在x>時(shí)都是如此也有時(shí)大于/(x)現在來(lái)考慮兩種情況:(1)n是奇數:n=2k+1。當x的值由小于x變到大于x時(shí),因式(x-x)(2)n是偶數:m=2k,當x的值由小于七變到大于時(shí),因式(-x)就會(huì )變號,但因上式第一個(gè)因子這時(shí)不變號,所以差y-y也要變號。故點(diǎn)是曲不變號,因而差f(x)-f(x)也不變號并且與(x)的符號相線(xiàn)的拐點(diǎn)。一致。即當“(x)>0時(shí),f(x)>/(x),(x)就是函數y=()的極小值(2)n是偶數:n=2k。當x的值由小于x變到大于x時(shí),因式(x-x)當八(x)<0時(shí),f(x)<(x),八(x2)就是函數y=(x)的極大值不變號,因而差y-y也不變號,故點(diǎn)(x,/(x)不是曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。此定理對任何有限或無(wú)限區間都適用。(二)利用此定理求函數極值的一般方法和步驟(二)利用此定理求曲線(xiàn)拐點(diǎn)的一般方法和步驟1.求出所給函數y=八(x)的定義域求出所給曲線(xiàn)y=(x)的定義域2.在定義域內求fx)=0及f(x)=0的點(diǎn);2.在定義域內求/(x)=0的點(diǎn)3.求2)中各點(diǎn)處的三階或三階以上的導數值,直到第一個(gè)階數的導數不3.求2)中各點(diǎn)處的三階或三階以上的導數值,直到第一個(gè)階數的導數為零不為零4.由此定理判斷各點(diǎn)處的高階導數值情況,求出極值。由此YH中國煤化工從而求出拐點(diǎn)。(三)舉例CNMHG例1.求函數/(x)=c+e+2cosx的極值例1.求面線(xiàn)x3的拐點(diǎn)解:函數八(x)=e+e"+2cosx的定義域為(-∞+a)解:函數y=x的定義域為(-∞,+∞)f()=-c-2sinr=0,得x=0,y=5x2,y=20x,令y=0得x=0(下轉第178頁(yè))186基于職業(yè)能力培養的高職電工課程教學(xué)改革的實(shí)踐探索◆樂(lè )樂(lè )宋燁(長(cháng)沙航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院)【摘要】針對高職高專(zhuān)院校的人才培養目標,分析國內其他髙職髙專(zhuān)院校電工教學(xué)的現狀,提出基于職業(yè)能力培養的高職電工的教學(xué)改革,教學(xué)總體設計、教學(xué)評價(jià)方案等方面改革措施,并總結了教改實(shí)踐中的經(jīng)驗,為今后的教學(xué)提出了建設性的意見(jiàn)?！娟P(guān)鍵詞】職業(yè)能力電工教學(xué)改革實(shí)踐電工是一門(mén)傳統的高職理工類(lèi)院校的基礎課程,教材理論較深,概念改革。以完成工作中的某一任務(wù)為基本單位,以行動(dòng)導向為教學(xué)出發(fā)點(diǎn)多且抽象,學(xué)生不易理解和掌握。為了能貫徹執行教育部頒布的《關(guān)于全選取合適的項目載體,運用能力分擔法,將學(xué)習領(lǐng)域的內容轉換為學(xué)習情面提高高等職業(yè)教育教學(xué)質(zhì)量的若干意見(jiàn)》,更好地實(shí)現學(xué)校與企業(yè)的無(wú)景,充分體現學(xué)習的均衡性、完整性和系統性?？p對接,我院領(lǐng)導積極組織一支素質(zhì)優(yōu)良、從業(yè)經(jīng)驗豐富、研究資質(zhì)深厚、三、結束語(yǔ)專(zhuān)兼結合的“雙師型”研究團隊對基于職業(yè)能力培養的高職電工進(jìn)行了教由于高職院校學(xué)生基礎差,教學(xué)課時(shí)不夠,教師不可能仍按原有的教學(xué)改革。學(xué)大綱設定的課時(shí)按部就班地進(jìn)行教學(xué),必須對某些教學(xué)內容及相應的教一、課程教學(xué)改革的意義學(xué)課時(shí)作出適當調整。一是我們應當根據社會(huì )對技術(shù)工人的實(shí)際需求,對近幾來(lái),大多數技校都在追求數量擴張,繼續走規模發(fā)展之路,學(xué)校都電工課的內容進(jìn)行改革,按照“必須,夠用“的原則。比如,像疊加原理、戴在最大限度地吸納生源,競爭激烈,秩序混亂。從招生情況看,生源主要是維南定理、非正弦交流電等可以不講。應該讓這部分學(xué)生重點(diǎn)掌握基本電那些在高考中落敗的群體。他(她)們或是對前途悲觀(guān)失望,對學(xué)習漫不經(jīng)路、電磁感應原理、(單相、三相)正弦交流電的基本概念以及曰常維修和安心,沒(méi)有更高的理想和追求;或是渾身沾染不良習氣,組織紀律意識淡薄,全用電的基本常識。二是要求學(xué)校同各相關(guān)任課教師之間協(xié)調好教學(xué)進(jìn)缺乏責任感,自控能力差。更何況這些學(xué)生大多數理兩科成績(jì)更差,甚至度和教學(xué)重點(diǎn)。如《數學(xué)》中的“三角函數”“復數運算”可作為電類(lèi)專(zhuān)業(yè)班厭惡數學(xué)、物理學(xué)習,自然不喜歡以數理為基礎的《電工》。要扭轉這批學(xué)的教學(xué)重點(diǎn),并務(wù)必將其教學(xué)安排在《電工》教學(xué)進(jìn)度之前。三是在教學(xué)生的精神面貌,教會(huì )他(她)們做人的基本道理,學(xué)到起碼的專(zhuān)業(yè)知識,培養中,教師可視情況將某些公式、結論等復雜的數學(xué)推導過(guò)程適當簡(jiǎn)化,重物他(她)們的職業(yè)能力,需要我們放棄以往的傳統教學(xué)模式,開(kāi)展基于職業(yè)理條件和結論輕數學(xué)推導過(guò)程。如“交流電的有效值與最大值的關(guān)系能力培養的《電工》課程教學(xué)改革。通過(guò)教學(xué)實(shí)踐,教改后的《電工》課程“串并聯(lián)諧振的條件”“三相交流電相電流與線(xiàn)電流、相電壓與線(xiàn)電壓的相能引發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣,對學(xué)生的職業(yè)能力和職業(yè)素養有了明顯提高。學(xué)位關(guān)系”等的數學(xué)推導,過(guò)程繁瑣復雜,經(jīng)教學(xué)檢驗,適當簡(jiǎn)化其推導過(guò)程生能熟練地使用常用電工工具、電工儀表,獨立的按工藝要求安裝維護家教學(xué)效果反而更好,并可節省教學(xué)時(shí)間。用電路,并能根據要求設計電氣控制線(xiàn)路。參考文獻二、課程教學(xué)改革的總體設計[1l]葉發(fā)錦基于職業(yè)能力培養的高職機電英語(yǔ)課程教學(xué)改革與創(chuàng )新全國同類(lèi)高職院校對《電工》課程教學(xué)改革也做了相應的嘗試,一般分[J].高教論壇,2012,(06):123為兩種情況:第一種,是沿用理工類(lèi)本科院校的教學(xué)模式,重視對理論的推〔2]宋燁.基于職業(yè)導向的髙職課程體系構建的探討與實(shí)踐[J].科技導,分析及技術(shù),實(shí)驗性課程大多采用上機仿真來(lái)進(jìn)行。而這種教學(xué)模式訊,2010,(151)對于高職院校的學(xué)生來(lái)說(shuō)是根本行不通的,枯燥的理論推導需要扎實(shí)的數3]李佳佳,職校電工技術(shù)難教難學(xué)成因及對策[J].考試周刊,2011理基本功作為基礎,這點(diǎn)我們的學(xué)生可能較難達到;另外,上機仿真的驗證性試驗和實(shí)際的生產(chǎn)過(guò)程操作結果有時(shí)有出入,我們培養的是要能和企業(yè)[4]焦莉.基于職業(yè)能力培養的高職教學(xué)改革探討[J].科技資訊,無(wú)縫對接的學(xué)生,所以這樣的實(shí)驗課程對高職院校的學(xué)生是不適用的。第012,(151)種是大張旗鼓地進(jìn)行深度改革,為了強化學(xué)生操作技能,大量增加實(shí)踐5]李海亭.電工基礎教學(xué)心得[J].科技信息,2011,(151教學(xué)時(shí)間,大幅減少了理論教學(xué)課時(shí),而教材的編排又未及時(shí)作出相應的[6]房雪立,淺談電工基礎教學(xué)中學(xué)生創(chuàng )新能力的培養[J].教育交流調整,這使得理論教學(xué)課時(shí)明顯不夠。再加上一些教師教學(xué)方法單調、陳2009,(03)舊,仍習慣于采用灌輸式等老一套方法教學(xué),學(xué)生不容易接受。[冂]王兆坤.職校電工基礎教學(xué)中學(xué)生創(chuàng )新意識培養初探[J].大視野針對這兩種典型現象的利弊,我院的教學(xué)團隊深入企業(yè)調研,結合企2009,(03業(yè)能力培養目標和學(xué)生理論水平狀況,著(zhù)力對《電工》課程進(jìn)行科學(xué)的教學(xué)(上接第186頁(yè))-2,點(diǎn)(3)也是曲線(xiàn)yA)=3-42+1的拐點(diǎn)y=60x2,y(0)=0:y)=120x,y°(0)=0例3.討論曲線(xiàn)y=f(x)=x*是否有拐點(diǎn)=120,y”(0)=120≠0解:函數y=x的定義域為(-∞+∞)由于y(0)=120是五階導數值,所以當x=0時(shí),y=0:點(diǎn)(00)是曲線(xiàn)p/x)=r=4x2,y=12x2,令y=0,得x=0:y(0)=0,y(0)=24≠0,此時(shí)n=4的拐點(diǎn)例2.求曲線(xiàn)y=(x)=3x2-4x3+1的拐點(diǎn)為偶數,因此當x=0時(shí),y=0,點(diǎn)(00)不是曲線(xiàn)y=()=x的拐點(diǎn)。故曲線(xiàn)無(wú)拐點(diǎn)。解:函數y=/(x)=3x-4x+1的定義域為(-∞,+∞)exH中國煤化工參考令p=0,得石=0,=3CNMHM].丁壽田譯.人民教育出y=72x-24,y(0)=-24≠0:13)-20且3為奇是版社,1960[2]同濟大學(xué)數學(xué)教研室.高等數學(xué).高等教育出版社,1980當x=0時(shí),y=1,點(diǎn)(0)是曲線(xiàn)y=(x)=3x2-4x2+1的拐點(diǎn):當x=時(shí)