高斯消去法的應用

第23卷第5期(2007)河西學(xué)院學(xué)報vol.23No.5〔2007)高斯消去法的應用雷正紅(西安電子科技大學(xué),陜西西安710071)摘要:文章主要介紹了如何利用高斯消去法有效求解電路分析與設計中的線(xiàn)性代數方程組的方法關(guān)鍵詞:高斯消去瀆;線(xiàn)性代數方程姐;電路分析設計中田分類(lèi)號:TP368.文獻標識碼:A文章編號:1672-0520(2007)05-0027-03、引言數矩陣A中的各元素的數值相差懸殊,可能達到在工程領(lǐng)域里,在進(jìn)行系統分析和設計時(shí),首10量級以上,這時(shí)候一般采用全選主元的高斯-先要建立系統的數學(xué)模型,不同的領(lǐng)域建立的數學(xué)約旦消去法來(lái)求解系數矩陣為稀疏矩陣的大型方模型不同,也就是數學(xué)方程式的形式不同,自然求程組解方法(或算法)也不同二、解法在電路系統的分析和設計中,在進(jìn)行交流小信1、高斯消去法的基本思想號分析時(shí),所列的方程是線(xiàn)性代數方程,可以采用般形式的線(xiàn)性方程組為高斯消元法或LU分解法;對于直流非線(xiàn)性分析1+42x2+…+anxn=b所列方程是非線(xiàn)性代數方程,可以采用牛頓拉夫a1x1+ank2+…+a2xn=b2森方法選代求解;瞬態(tài)分析,所列方程是常微分方程,一般采用變步長(cháng)隱式積分法求解等等an1x1+an2x2+…+口mxn=b例如在電路的直流分析中,電容開(kāi)路,電感短通常用向量矩陣表示,則上述方程可寫(xiě)成路,計算電路的靜態(tài)工作點(diǎn),在交流小信號分析Ax=b中,電路也先要進(jìn)行直流分析,以確定半導體器件a1a12的跨導等小信號參數.在瞬態(tài)分析中,需求出電路在指定時(shí)間區間上的解,這時(shí)電路的方程是常微分4="na2…,b方程,求解常微分方程必須先求出電路儲能元件上的初始電流或電壓值,這也由直流分析來(lái)完成線(xiàn)性電路的直流分析所建立的方程是線(xiàn)性代數并記做A∈R",x,b∈R",分別表示A為nxn方程組,對于建立電路線(xiàn)性代數方程組的方法可以階實(shí)矩陣,x,b為n維實(shí)向量Gas消去法就是將應用節點(diǎn)法或改進(jìn)節點(diǎn)法,也可以采用表矩陣法和方程組(1)通過(guò)(m-1)步消元,將(1)轉化為上雙圖法,這些方法都可以利用計算機自動(dòng)建立,如三角方程組果我們建立好了電路的代數方程組AXx,一般「q…4「巧1「4可以利用高斯消去法和LU分解法來(lái)解方程組,實(shí)啁…‖|際上對于稍大些的電路(n>40),建立的矩陣A是個(gè)稀疏矩陣,矩陣含有大量的零元素。并且電路系a][x」Lb(2)中國煤化工收稿日期:2006-10CNMHG作者簡(jiǎn)介:雷正紅(1971一)男,甘肅臨澤人,副教授,主要從事梟咸電路設計和數字信號處理工作雷正紅:高斯消去法的應用再回代求此方程組的解綜上所述,高斯消去法分為消元過(guò)程與回代過(guò)下面記增廣矩陣[4]-[4即程,消元過(guò)程將所給方程組加工成上三角形方程組,再經(jīng)回代過(guò)程求解a oai[91嗎…網(wǎng)2.列主元素消去法首先,在A(yíng)=A=(q)中的第1列選主元,即|a,1=max|al行為主元,若1>1,將A0|b0]的第行與第1行互換,再按消元公式第1步設q≠0計算l=1=2,3…,計算得到[A3|b]假定上述過(guò)程已進(jìn)行(k-1屬記為4=(4,…4),若用一剩[1607步,得到心1b1第k步,在A(yíng)0中第k列選主元,i4>k,則[A)|b第一行加到第行,可消去a(=2,3,…,n),用中將與k行互換(若=k則不動(dòng)),再按公式cms變換矩陣表示=1+,=1-4(3、(4)求出[A…b4令[A|b]=l]=團A1b]重復以上過(guò)程則得[A1b,如果某個(gè)k出現主其中=q-14,矽=2-h,j=2,元[A|b],如果某個(gè)k出現主元|4)=0(或≈0),方程沒(méi)有唯一解或嚴重病態(tài),否則可由一般地,假定已完成了(-1)步消元,即已將(5)求得解A0b0轉化為以下形式:3.全選主元高斯-約旦消去法a 42除列主元消去法外,還有一種消去法,是在A(yíng)的所有元素a中選主元,稱(chēng)為全主元高斯約旦消去法,它是一種在整個(gè)系數矩陣中選取主元的消)去法,高斯-約旦法(全選主元)求解線(xiàn)性代數方程組的步驟如下:首先,對于K從0到n-1作如下運算:第k步,假定a≠0,計算全選主元從第K行、第K列開(kāi)始的右下角子陣l==,=+1,k+2…,n(3)中選取絕對值最大的元素,并記住次元素所在的行號和列號,在通過(guò)行交換和列交換將它交換到主元記4=(0…0.4…,la),L4=I+le,素位置上,=Ⅰ-l4e,則[4“b)=[4“以b系數矩陣歸一化其中a(,/a(k,k)→a(,力,j=+1,…,n-1af+)=a)-ha,i,j=t+1,常數向量歸一化=b-l4φq(),讠=k+1…,nb(k,)/a(,k)→b(k,Dj=0,1,…,m-1;反復進(jìn)行上述過(guò)程,經(jīng)過(guò)n-1步消元,則可得系數矩陣消元(,)-呱(,k)·a(,門(mén)→a(,到[A|b0],即方程組(2),直接回代解(1i=0,,…,k-1,k+1,…n-l;j=k+1,…,n-1常數向量消元b()-a(i,k)b(k)→b(x=,x=(-∑x)/,k=m-1,山中國煤化工=0,m-1CNMHG所記錄的行、列交換的信息進(jìn)行恢復,恢復的原則如下,在全選主河西學(xué)院學(xué)報2007年第5元過(guò)程中,先交換的行(列)后進(jìn)行恢復;原來(lái)的值計算的穩定性看,全選主元比部分主元法優(yōu)越,行(列〕交換用列(行)交換來(lái)恢復但計算工作量稍大4.源程序般來(lái)說(shuō)電路的系數矩陣通常是個(gè)稀疏矩陣,根據上面的算法編制程序.(省略)而且隨著(zhù)電路規模的增加,矩陣的階數增高,稀疏、結論及思考程序也越大.例如,10個(gè)節點(diǎn)的電路,系數矩陣非通過(guò)實(shí)驗,本算法采用雙精度字長(cháng)運算,運算零元素可能占50%左右;而100個(gè)節點(diǎn)的典型電路結果精確,具有很高精度中,非零元素僅占%左右,據統計,對于多數實(shí)際在電路的分析設計中,求解線(xiàn)性代數方程組AX=B電路,其矩陣中的非零元素數目在4m到6n之間(n一個(gè)基本問(wèn)題.無(wú)論是線(xiàn)性還是非線(xiàn)性電路,無(wú)為方程階數)這個(gè)時(shí)候就的采用稀疏矩陣技術(shù)論是頻域分析還是時(shí)域分析,最終歸結為AX=B所以,充分利用電路方程的特點(diǎn),利用不同的在頻域分析中,每個(gè)頻率點(diǎn)要計算一次線(xiàn)性代數方方法高效求解代數方程組是非常有意義的.本文只程組;在非線(xiàn)性分析中,每選代一次要求解一次線(xiàn)介紹一些簡(jiǎn)單方法,實(shí)際應用中,可以根據代數方性代數方程組;在非線(xiàn)性時(shí)域分析中,每個(gè)時(shí)間上程組的不同特點(diǎn)選用不同求解方法.比如如果A是都要進(jìn)行多次選代,在整個(gè)計算時(shí)間內則需要成百一個(gè)n階對稱(chēng)正定矩陣可以采用平方根法;有時(shí)候上千次地求解方程;蒙特卡諾統計分析和設計所需得到的系數矩陣為對稱(chēng)但不正定可以采用改進(jìn)平方要求解方程組得次數就更多了,因此有效求解線(xiàn)性根法;如果A為三對角矩陣考慮采用追趕法;如果代數方程組是電路分析設計的一個(gè)重要問(wèn)題,直接變量個(gè)數較多,這個(gè)時(shí)候通常采用迭代法,系數矩影響電路設計分析的效率和質(zhì)量陣如果為按行嚴格對角占優(yōu)矩陣,則可以采用雅可在電路的分析設計中,電路元件的電導值差異比迭代法和高斯賽德?tīng)柕ǖ鹊群艽?電路方程系數矩陣A中各元素的數值相差懸殊.一般我們可以采用雙精度字長(cháng)運算,其字長(cháng)是參考文獻單精度的2倍,由于字長(cháng)增加一倍,誤差的影響大宋國鄉.數值分析隊M,西安:西安電子科技大學(xué)出版大減小,可以獲得足夠精確的解,不選主元的高斯社,200(5)消去法可能會(huì )給數值穩定性造成很大的威脅,為了凹2來(lái)新泉.電路的優(yōu)化設計隊西安:西安電子科技大保證數值穩定性通常采用列主元或全主元法,就數學(xué)出版社,2005(1【貴任編輯:周玉云中國煤化工CNMHG