基本圖形的應用

數里乾坤M2 C甚本圖形的回用上虞春暉中學(xué)陳定昌-、用基本圖形解答三視圖問(wèn)題」例1在一個(gè)幾何體的三視圖中,正視圖和俯視圖如圖1所示,則相應的側視圖可以為正視圖(A)(B)(C)(D)解析:簡(jiǎn)單組合體一般由柱、錐、臺、球等簡(jiǎn)單幾何體組成.我俯視圖們可以結合已知條件,分析各種可能性根據俯視圖判斷,幾何體的圖1“前面”是三棱錐,“后面”可能是半圓柱或半圓錐.再據正視圖進(jìn)一步分析,“后面”不可能為半圓柱,只能為半圓錐故選D小結:把已知三視圖轉化為相應的直觀(guān)圖是求解三視圖問(wèn)題的關(guān)鍵在解決三視圖問(wèn)題的時(shí)候,可以借助三棱柱、三棱錐、圓柱圓錐、長(cháng)方體、正方體等簡(jiǎn)單幾何體,將簡(jiǎn)單幾何體的三視圖與組合體的結構進(jìn)行對比分析,尋找相同點(diǎn)「、用基本圖形判斷點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系例2請寫(xiě)出下列命題中所有真命題的代號:①如果平面a⊥平面B,那么平面a內一定存在直線(xiàn)平行于平面B②如果平面a不垂直于平面B,那么平面a內一定不存在直線(xiàn)平行于平面B.TH中國煤化工CNMHG32③如果平面a⊥平面y,平面B⊥平面y,a∩B=l,那么l⊥平面y.④如果平面a⊥平面B,那么平面a內所有直線(xiàn)都垂直于平面B解析:如圖2所示,我們可以借助長(cháng)方體ABCD-A1BCD1來(lái)判D斷點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系對于①,取平面ABB1A1為a,平面ABCD為BB,則a⊥B,在a內,直線(xiàn)AB1∥平面B,①為真對于②,取平面ABB1A1為a,平面ABCD為B,則平面a不垂直于平面B,但a內有圖2直線(xiàn)AB∥平面B,②為假對于③,取平面ABA1為a,平面ABCD為B,平面AADD為y,則a⊥y,B⊥y,a∩B=AB=l,明顯,AB⊥平面AA1DD,即1⊥y,③為真.對于④,取平面ABB1為a,平面ABCD為B,由AB1不垂直于平面ABCD,可知④為假.選①③小結:當我們面對判斷點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的選擇題、填空題時(shí),可根據已知的位置關(guān)系選取相應的基本圖形,使題中點(diǎn)、線(xiàn)、面的相對位置關(guān)系與基本圖形中一些特殊的點(diǎn)、線(xiàn)、面相互對應,再根據基本圖形的性質(zhì)作出判斷.由于我們常常面對線(xiàn)面垂直和面面垂直這類(lèi)關(guān)系,基本圖形的選擇以長(cháng)方體和正方體居多.有時(shí)同學(xué)們也可以考慮其他基本圖形,比如已知兩個(gè)平面相交但不垂直,可考慮斜棱柱l、用基本圖形求線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、面面角例3如圖3所示,在三棱錐A-BCD中,AB=BC=CD=DA,AAB⊥AD,BC⊥CD,二面角A-BD-C的大小為150°,則直線(xiàn)AC與平面BCD所成角的大小為解析:若將該三棱椎沿棱BD展開(kāi),使平面ABC與平面BCD重B合,則可得正方形ABCD.故可將三棱錐A-BCD看做由正方形C圖3ABCD繞對角線(xiàn)BD翻折,且使二面角A-BD-C的大小為150的幾何體.由此可借助正方形來(lái)求解如圖4所示,聯(lián)結AC交BD于點(diǎn)O,由正方形的性質(zhì)可知,在D正方形沿BD折起的過(guò)程中,始終有AO⊥BD,CO⊥BD結合圖3可知,∠AOC為二面角A-BD-C的平面角,且BD⊥平面AOC,∴平面AOC⊥平面BCD.∠ACO=1·(180°-150°)=15°即為所求角的大小小結:我們通常用定義法、等體積法和向量法求線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、面面角的大小.但如果題中幾何體的一個(gè)二面角按棱展開(kāi)后是圖4某個(gè)特殊的平面圖形,或線(xiàn)線(xiàn)角線(xiàn)面角、面面角本身恰中國煤化工CNMHG33數里乾坤體、正方體或正四面體等幾何體中的線(xiàn)線(xiàn)角線(xiàn)面角、面面角相互對應,我們就可借助這些基本圖形巧妙地計算角的大小四、用基本圖形探究特定的點(diǎn)或直線(xiàn)是否存在例4如圖5所示,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O落在線(xiàn)段AD上已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,試問(wèn)在線(xiàn)段AP上是否存在點(diǎn)M,使得二面角A-MC-B為直二面角?若存在,求出AM的長(cháng);若不存在,請說(shuō)明理由解析:同學(xué)們一般會(huì )使用向量法或直接使用幾何法解答例4.其實(shí),借用長(cháng)方體來(lái)解題更加簡(jiǎn)便如圖6所示,我們可將三棱錐P-ABC放入長(cháng)為5、寬為8、高為4的長(cháng)方體BCFG-BCFG1中.其中,A為FG的中點(diǎn),K為FG1的中點(diǎn),L為BC1的中點(diǎn).∵AB=AC,D為BC的中點(diǎn),AD是BC的中垂線(xiàn),也是長(cháng)方體下底面的對稱(chēng)軸又O在A(yíng)D上,∴O位于C長(cháng)方體下底面的對稱(chēng)軸上.∵PO⊥平面ABC,又平面ABC∥A-f平面BCFG1,∴PO⊥平面BCFG1.根據長(cháng)方體的對稱(chēng)性,可知P位于長(cháng)方體上底面的對稱(chēng)軸KL上BBC⊥AK,BC⊥RK,∴BC⊥平面AKP,∴AP⊥BC假設圖5存在符合條件的點(diǎn)M,則過(guò)點(diǎn)B可作直線(xiàn)BN⊥MC于點(diǎn)N二面角A-MC-B為直二面角,∴BN⊥平面AMC.又AMCAP,∴BN⊥AP.∵BNC平面BMC,∴AP⊥平面BMC,∴AM⊥BM,△AMB為直角三角形.在Rt△AGB中,由AG=4,GB=5,可求得AB=V41.在Rt△AKP中,由AK=4,KP=A0=3可求得AP=5.在Rt△PDCI中,由PL=2,LD=4可求得PD=2V5.:BC⊥平面KLDA,PDC平面KLDA,BC⊥PD.在Rt△PDB中,由BD=4,PD=2V5可求得PB=6在△ABP中,由余弦定理可得c∠MB=G、CAk=二>0,cos∠PBA=>0,可知∠MAB與∠PBA為銳DV413V41角,∠MBA<∠PBA也為銳角.∴在△AMB中,∠AMB=90°可圖6以成立,即存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M.在Rt△AMB中,AM=ABCos∠MAB=V41·3Ha中國煤化工CNMHG34小結:例4要求探究立體幾何題目中具有某些特定性質(zhì)的點(diǎn)或直線(xiàn)是否存在,這類(lèi)題目難度較大同學(xué)們可嘗試將題中的幾何體放入長(cháng)方體、正方體和球體等基本圖形,看看該幾何體的邊長(cháng)、頂點(diǎn)是否與基本圖形的邊長(cháng)、軸和特殊點(diǎn)吻合.有時(shí)也可以根據題干構造基本圖形,使題中幾何體的邊長(cháng)、頂點(diǎn)與基本圖形的邊長(cháng)、頂點(diǎn)相互對應,再根據基本圖形的性質(zhì)分析和解答問(wèn)題那些讓你念念不忘的歌詞生命不是過(guò)程,而是美麗旅程。風(fēng)景有亮和暗,也有愛(ài)和恨。五月天《第二人生》每個(gè)人的生命都是一段獨一無(wú)二的旅程。走過(guò)天真,又迎來(lái)青春,你選擇怎樣的路線(xiàn),就能欣賞到怎樣的風(fēng)景。趁著(zhù)青春勇敢去闖吧,只要努力過(guò)就不會(huì )后悔!中國煤化工CNMHG文: Rabbit35