導數的“另類(lèi)”應用

游求奧筒·名師專(zhuān)題講座02年第1用徐文建,男應用二:判斷方程根的個(gè)數中共黨員,中學(xué)例2方程x3-6x2+9x高級教師,許昌市第一高級中學(xué)導數的10=0的實(shí)根個(gè)數是()B.2C.D.0副校長(cháng),河南省解:設y=x3-6x2+9x-10,求高中數學(xué)學(xué)科帶導數得y=3x2-12x+9.令y=0,頭人,2005年被得x1=1,x2=3.河南省教育廳評為學(xué)術(shù)技術(shù)帶頭列表:人,2005年8月榮獲河南省數學(xué)技x(-∞,1)1(1,3)3(3,+∞能竟賽一等獎,2007年8月榮獲河南省首批中小學(xué)教師教育專(zhuān)家稱(chēng)號,2008年3月被評為許昌市第10另類(lèi)由表知,x=1時(shí),y有極大值-6;批專(zhuān)業(yè)技術(shù)拔尖人才,2009年被河x=3時(shí),y有極小值-10.南省聘為中學(xué)高級教師評委因為函數的極值均為負,且函數導數作為研究函數問(wèn)題的新工河南徐文建y在(-∞,1),(3,+∞)上均為增函16具,在研究函數的單調性最值等問(wèn)數,在(1,3)上為減函數,所以函數題時(shí)比用初等數學(xué)的方法要方便、簡(jiǎn)的圖像只在(3,+∞)上與x軸有1中捷得多對于某些數學(xué)間題,若能恰個(gè)交點(diǎn),故選C.學(xué)|當使用導數的方法,可以使問(wèn)題得到作點(diǎn)評;本例是把方程的根的問(wèn)題生很大的簡(jiǎn)化轉化為方程所對應函數的圖像同工數|應用一:數列求和軸的交點(diǎn)問(wèn)題,結合導數的知識,通例求數列1,2x,3x2,過(guò)對函數的單調性及極值的研究,從化|nx”1的前n項和(x≠0)而大致得出函數的圖像及其與x軸解:當x≠1且x≠0時(shí),有1+的交點(diǎn)情況,也即方程的根的情況二x+x2+…+x-=1-x"本例應用了轉化思想應用三:證明不等式版可將上式兩邊看做關(guān)于x的函數,兩邊取導數,例3已知f(x)=x2-x+c的定義域為(0,1),x1,x2∈(0,1)且x1≠x2則有(1+x+x2+…+x")’=證明:f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.即1+2x+分析:由于x1≠x2,則原不等式等價(jià)于(1-xn+1)(1-x)-(1-xx+1)(1-x)f(x1)-f(x2)即要證明函數f(x)的圖像上1-(n+1)x”+nxn+1任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率|k<1,也即曲線(xiàn)上任一點(diǎn)處(1-x)切線(xiàn)斜率f(x。)|<1.故本例可利用導數的幾何意當x=1時(shí),前n項和為+n)·n義,即切線(xiàn)的斜率來(lái)證明不等式證明:因為f(x)=2x-1,當00)型不等式的證列的通項進(jìn)行聯(lián)想,由求導公式(x")=nx1,可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導數,故運用導數運算明,都可以iiH中國煤化工CNMHG編輯徐利杰)使得問(wèn)題的解答更加簡(jiǎn)明無(wú)論風(fēng)雨,永遠都要執著(zhù)向前huakaihualuo17sui@163.com