關(guān)于半線(xiàn)性熱方程整體解的注記

第30卷第6期浙江大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)o.30No.62003年11月Journal of Zhejiang University(Science Editio關(guān)于半線(xiàn)性熱方程整體解的注記章志飛(浙江大學(xué)數學(xué)系浙江杭州310028)擴要:利用 Besov空間的熱核刻畫(huà)及壓縮映射原理,研究半線(xiàn)性熱方程a-△w=u|u|"的初復問(wèn)題,得到了當初值m∈L(R)且M‖b,“x(p。=2,戶(hù)>p)充分小時(shí),樊體解的存在性及在一定條件下解的惟一蝕關(guān)鍵詞:半線(xiàn)性熱方程;整體解; Besov空間中圖分類(lèi)號:O175文獻標識碼:A文章編號;1008-9497(2003)06-609ZHANG Zhi-fei (Department of Mathematics, Zhejiang University, Hangzhou 310028, China)Note on the global solution to the semilinear heat equation. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 200330(6):609-611Abstract: By using the heat kernel characterization of Besov spaces and the contraction mapping principle, the ial problem to the semilinear heat equation u,Au=ulul'is studied. The global existence of the solution is provedwhen the initial value uo is in I. o(R") and u, ll M! ).mcao, is sufficently small, where po=0,p>pa.Undersuitable conditions, the uniqueness of the solution is also obtainedKey words: semilinear heat equation: global solution Besov spaces研究半線(xiàn)性熱方程則問(wèn)題(1)存在解v∈C([0,∞),L)滿(mǎn)足t"u∈C([0,∞),L)∈R”,t∈R+u(x, o=u(r)(1)而且使得如下條件成立的解是惟一的:初值問(wèn)題整體解的存在性和惟一性,其中l=limr"‖a‖u=0.u(x,t),a>0.當∈L(R),P。=”>1時(shí),問(wèn)題注存在函數M∈D(R"),使得‖‖t("=1(1)有局部解.當‖ua0lu(x充分小時(shí),問(wèn)題(1)有b,“(≤7例如取∈Lh且lvop=1,可以證整體解口,作者利用 Besov空間的熱核刻畫(huà)及壓縮m‖些‖b”-0因此,取k充分大,使得映射原理,證明了當?！蔐(R”)且4e"v“下“m≤7,只要令=e"w即可i;--如-xp=2,戶(hù)>戶(hù)充分小時(shí),問(wèn)準備工作題(1)整體解的存在性,由于當p>p時(shí),L(R")連續地嵌入B,"-},∞(R"),改進(jìn)了文獻[1]的結果.取徑向函數中S(R"),使得0≤()≤1,當主要結果是≤時(shí),(5)=1,當>時(shí),(2=0令定理po=26>1,戶(hù)>a+1,=n(1_1y(x)=2"中(2x)-中(x),中(x)=2”"(2x)a+1,M∈D,且存在y=Y(n,a)>0,使得y(x)=2"p(2x),j∈Z則對f∈S(R"),算子S和△(∈Z)分別定義為(2)Sf(x)=向*f(x),△,f(x)=中*f(x)收稿日期:200204-01作者簡(jiǎn)介:章志飛(1976-),男斷江大學(xué)數學(xué)系博士生,主要從事調和oh中國煤化工CNMHG610浙江大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)第30卷定義2,稱(chēng)∫屬于齊性 Besov空間B“(R"),t4t(g?≤‖a"l:s是指lesa|"a(s)|2xds≤Ct-eiluo‖g-.x,引理14設1≤q≤∞,<0,則對任意的f∈S'(R"),下面4個(gè)范數相互等價(jià)Ca-)景112d≤sup2‖△,f‖e(g")(5)Ct‖lal‖li..(g)+sup2”‖S,f|∠(gC(-s)-“ds‖v≤supr‖ef‖eg,(7)Ct‖uog:a:(”,+Cr”‖‖x從而有其中,e∫=G,*f,G(x)=(4x)e“為熱核.supr∥nt≤C‖,xy+ClH引理2設p>p=,則L連續地嵌入齊(13)性BeoY空間E"+“(R)接下來(lái)估計‖a‖g-2m,=(g,應用 Young不等式,引引理3設e∫=G,*f,q≥p≥1,則f∈理1及引理2得L(R"),有lu1a2.()≤‖4°目;~霞,+efl≤Cxfg,(9)le-m6ju|x(5)|:gds≤證明應用 Young不等式便可證得,證略C‖ao‖2定理的證明C(-s)xkd≤首先將問(wèn)題(1)轉換成積分方程△alu(s)ds.(10)c(-分學(xué)“dtl≤積分方程(10)的解也稱(chēng)為問(wèn)題(1)的溫和解,通常,Cao‖b-2=gy+C‖v‖x+1溫和解不一定是經(jīng)典解,但由于e為C的解析半因此群,此時(shí)可以證明溫和解即為經(jīng)典解下面用文獻|+1m-(g≤C‖2圖,+Cl2x[7]的方法構造積分方程(10)的解(14)為此引人 Banach空間x,v∈X是指綜合式(13)、(14)可得v(t,x)∈C([0,∞),L°),K;≤C‖4o‖”y+C‖a'‖x*1,(15)v(t,x)∈C([0,∞),l)imt"‖al‖le=0.根據式(15),令K,=2C‖?！?2,只要取y>0使得2CK:≤1就有Banach空間X的范數定義為K,≤K,,j=0,1,2,…(16)I v l x=sup v(4) 8 Mmcr+ sup r" u(t)v R">由于n∈X,類(lèi)似于前面的估計,可證定理的證明先構造逼近解,令imr"lu=0,j=0,1,2Ju'u(s)d因此,∈x,j=0,1,2,…下證存在u∈X,使得j=0,1,2,(11)當j→∞,u收斂于u,且a滿(mǎn)足積分方程(10).令e由于∈D,應用稠密性討論及引理1,易證t∈=v--,j=0,1,2,…(約定x-1=0),則有X,且有la'‖x≤C‖a?！?(17)令K,=‖a+1x,下面估計K1,j=1,2,…,應用Young不等式及引理3得中國煤化工,從而CNMHG第6期章志飛;關(guān)于半線(xiàn)性熱方程整體解的注記611∑‖o‖在某個(gè)區間[0,0)(8>0)使得,當r∈[0,6)時(shí)a(r)=v(r),也即當t∈[0,T,+8)時(shí),(t)=x∑(CK;)(18)v().這與T.的定義矛盾,因此T,=∞定理得證因為CK.<1,所以}=。為X中的 Cauchy列,從而存在a∈X,使得當j→∞時(shí),在X中收斂于u,感謝導師王斯雷教授和陳杰誠教授的指導!易證a滿(mǎn)足積分方程(10)最后證明在條件(4)下解的惟一性設還有另參考文獻:v∈X滿(mǎn)足積分方程(10),則有supt"l(t)-v(t)‖°a≤0因為lmra=0,lim"‖v‖=[3] TRIEBLE H. Theory of Function Spaces, Monograph0,所以可取T>0充分小使得in Mathematics [M]. Boston: Birkha[4J CANNONE M. Ondelettes, Paraproduits et Navier-sup tolu()l∠tgStokes[M]. Paris: Diderot Editeur, 1995.[5] CANNONE M. a generalisation of a theorem by Kato于是可推出,當t∈[0,T)時(shí),a(t)=v(t).令T,=on Navier-Stokes equations [J]. Revista MatematicaIberoamericana, 1997. 13(3):515-541sup{t∈(0,∞);a(t)=v(t)}.若T.=∞,則證畢[6] PAZY A Semigroups of Linear Operators and Appli-否則,t∈(T',∞),令r=t-T.,(s)=cations to Partial Differential Equations [M].v(T.+s),u(s)=v(T.+s),tNew York: Springer-Verlag, 1983.u(r)=e"u(T)+e(e-malulou(s)ds[7] KATOT. Strong L' solutions of the Navier-Stokes e-th applications to weak solutionsv(r)=ev(T)+|e(rn4lvl'v(s)ds.]. Math Zeit,1984,187(4):471-480(貴任編輯壽彩麗)因為t(T.)=v(T.),由上面的惟一性討論,存在中國煤化工CNMHG