類(lèi)Lorenz系統的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)研究

第33卷第1期江西科學(xué)Vol 33 No. 12015年2月JⅠ ANGXI SCIENCEFeb.2015doi:10.13990/jisn1001-3679.2015.01.015類(lèi) Lorenz系統的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)研究張勇1,張光云2,湯志浩(1河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎教學(xué)部,47300,河南,南陽(yáng);2西南石油大學(xué)外國語(yǔ)學(xué)院610500,成都)摘要:通過(guò)理論計算和數值模擬分析了兩類(lèi)類(lèi) Lorenz系統的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為。從耗散性、平衡點(diǎn)、不變集、波形圖、吸引集等方面展示了該系統的豐富的動(dòng)力學(xué)特性。最后給出了相應的計算機模擬。關(guān)鍵詞:類(lèi) orenz系統;相圖;非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué);波形圖中圖分類(lèi)號:0241.84;029;0242.1文獻標識碼:A文章編號:1001-3679(2015)01-06-04Nonlinear Analysis of Lorenz-Like SystemsZHANG Yong, ZHANG Guangyun, TANG Zhihao(1. Department of Basic Teaching, Henan Polytechnic Institute, 473000, Nanyang, Henan, PRC;2. School of Foreign Languages, Southwest Petroleum University, 610500, Chengdu, PRC)Abstract: Nonliear dynamical properties of Lorenz-Llike systems are studied theoretical calculationand numerical analysis. Dissipation, equilibrium points, invariant sets, waveform, and global attractivesets show that the Lorenz systems have rich dynamic characteristics. Finally, we give the simulationsabout our results in the paper.Key words: Lorenz-Llike systems phase portraits; nonlinear dynamics; waveform0引言五模類(lèi) Lorenz系統的數學(xué)模型為9:2x1+4orenz混沌系統作為第一個(gè)混沌系統得到了9x2+3x1x3廣泛而且深刻的研究。其中,發(fā)現新的混沌系統并且對其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析一直是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。3=-5Xx,十r(1)混沌系統在非線(xiàn)性電路、圖像加密、控制科學(xué)和信4=-5x4息科學(xué)中有著(zhù)非常重要的應用1-。本文給出x5=-x5-3x1x4,了該混沌系統的動(dòng)力學(xué)行為分析,包括平衡點(diǎn)、其中,r>0為系統(1)的為雷諾數。當r=30時(shí)波形圖、吸引集和最終界等,最后給出計算機模系統(1)軌線(xiàn)的相圖見(jiàn)圖1。系統(1)各個(gè)變量擬隨時(shí)間演化的圖形如圖2。1數學(xué)模型H中國煤化工收稿日期:2014-11-14;修訂日期:2014-12-16CNMHG作者簡(jiǎn)介:張勇(1982-),男,河南南陽(yáng)人,碩士,講師研究方向為混沌示。甚金項目:南陽(yáng)市科技發(fā)展計劃科技攻關(guān)項目(2012G05;2013cc048);南陽(yáng)市科技發(fā)展計劃軟科學(xué)項目(2013RKO13)。第1期張勇等:類(lèi) Lorenz系統的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)研究67書(shū)個(gè)001201401601圖1系統(1)軌線(xiàn)在各個(gè)三維空間中軌線(xiàn)的相圖6080100120140160180200F 0 1Wi WASi y wywy m w phis圖4系統(2)的各個(gè)變量隨時(shí)間演化圖形葉 WYWJI AAMYYYwh2主要動(dòng)力學(xué)特性分析2.1不變性x3軸為系統(1)的一個(gè)不變集,從而從x3軸上任何點(diǎn)出發(fā)的軌線(xiàn)都只能在x3軸上運動(dòng)8:2.2耗散性和吸引子的存在性對于系統(1),有0:444圖2系統(1)的各個(gè)變量隨時(shí)間演化圖形四模類(lèi) Lorenz系統的數學(xué)模型為0所以系統(1)是耗散的,并以指數形式出=e2收x=-x-y2+0.5z2+0.51+2c,斂,也就是說(shuō),一個(gè)初始體積為V(0)的體積元在y=-y+xy-zo-0.52+0.5u2時(shí)間t時(shí)收縮為體積元v(0)e-。故當t→+∞z=-z+0.5yz+0.5y0-0.5xz-0.5x時(shí),包含系統軌線(xiàn)的每個(gè)小體積元以指數速率-22收縮到0。此時(shí),所有系統的軌線(xiàn)最終會(huì )被=-1+0.5xz+0.5yz-0.5x-0.5y,(2)限制在一個(gè)體積為0的極限點(diǎn)集上,并且它的漸進(jìn)動(dòng)力學(xué)行為會(huì )被固定在一個(gè)吸引子上,這說(shuō)明其中c≠0為系統(2)的參數。當參數c=11時(shí),了吸引子的存在性。系統(2)軌線(xiàn)的相圖見(jiàn)圖3。系統(2)各個(gè)變量2.3平衡點(diǎn)隨時(shí)間演化的圖形如圖4。對于系統(1),1)當0<7≤00時(shí),系統只有一個(gè)平衡點(diǎn)P(0,0,÷,0,0)6<≤40.6時(shí),系統有3個(gè)平衡點(diǎn)P1(0,0,<,0,0)圖3系統(2)軌線(xiàn)在各個(gè)三維空間中軌線(xiàn)的相圖中國煤化r0。),CNMHP.077’6√768江西科學(xué)2015年第33卷△={(x(t),y(t),z(t),v(t)lx2+y2+z2+3)當r>?！銜r(shí)系統有7個(gè)平衡點(diǎn):M6)P1(0,0,s,0,0),為系統(2)的一個(gè)最終有界集和全局指數吸引集P.(-1,5/-15.0)證明:作廣義正定、徑向無(wú)界的 Lyapunov函數15-6/6_156V1(X)=x2+v2,X(t)=(x(t)7767-7,20,0)(t),x(t),u(t)),當V1(X(t))≥M,V1(X)>M(t≥b)時(shí),計算vS(3’8080V6400~6,-√15(x(t))對時(shí)間t的導數2-})dv,((t))1/)、=2xx+2y+2zz+22(-x-y2+0.5z2+0.52+2c)+2y(-y+xy-mS2(115√15r93’80‘80’√640060.52+0.5v02)+2x(-z+0.5yx+0.5y-0.5x0.5x)+2(-+0.5x+0.5yz-0.5x-0.5y64006=-2x2-2y2-2-2v2+4ox≤-V1-x2-y2-S3(15r9r2-u2+4cx≤-V1+4c2≤-(V-M)<0,380'80’√64006’當V1(X(t))≥M,V1(x0)>M(t≥b)時(shí),對上述不等式兩邊積分有6400-6)(X(t)≤V1(X(t)e(h)S4(--8080√6400~6=V(x(4)e)+M(1-e)6)dr整理得√6400v1(X(t)-M≤[V1(X0)-M]e)(8)2.4全局吸引和最終有界性令上述不等式(8)兩邊t→+∞,取上極限有定理11:對任意的∨r>0,令minV1(X(t))≤MV(X)=x2+x2+x2+x+x3,X(t)=(x(t),2(1),x3(1),x2(t),x(1),。x2根據定義,即l6,則當W(x()△={ XI min v1(Xx()≤M}≥L,(x0)>L(th)時(shí),對于系統()的正半軌為系統的一個(gè)全局指數吸引集。線(xiàn)有估計式:注:取參數c=11,由定理2系統(2)的正半(X())-L]sW(X)-e(4)軌線(xiàn)包含在1=(x,y,,n)/x2+y2+2+從而集合s(=1(x1,,3,,)+x2+x+x+x所示。從圖5中可以看出系統(2)的正半軌線(xiàn)最終進(jìn)入Ω1與定理2的理論結果相吻合,表明了為系統(1)的一個(gè)最終有界集和全局指數吸引計算結果的正確性。集定理2:令V(x)=x2+y2+2+n2,x(t)=3結論(x(1),y(t),x(t),(t)),M=42,則當v(X本文利用動(dòng)力系統的基本理論研究了兩類(lèi)類(lèi)(2)≥M,(x)>M(t≥)時(shí),對于系統(2)的 Lorenz系統一些基本的動(dòng)力特性,并且給出了相正半軌線(xiàn)有估計式[v(X(t))-M]:應的計算機≤[1(x0)-M]e(0(5)性與有效性中國煤化工結論的正確從而集合CNMHG的一些動(dòng)力學(xué)特性還有付」。第1期張勇等:類(lèi) Lorenz系統的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)研究路設計與仿真[J].江西科學(xué),2011,29(6):691693[6]舒永錄,張付臣,楊洪亮.一個(gè)新的多維超混沌系統及其性質(zhì)研究[J].四川大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2011,48(4):857-864[7 Zhang F C, Shu Y L, Yang H L Bounds for a new cha-otic system and its application in chaos synchronization[J. 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