Cantor集的性質(zhì)及應用

第27卷第2期大學(xué)數學(xué)vo.27,№,22011年4月COLLEGE MATHEMATICSApr.2011Cantor集的性質(zhì)及應用李翠香,石凌,劉麗霞(河北師范大學(xué)數學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北石家莊050016)[摘妻] Cantor集是實(shí)函數論中一類(lèi)重要的集合.本文從定義、性質(zhì)及應用三方面研究了 Cantor集.目的是幫助初學(xué)者對 Cantor集有一個(gè)較全面的認識[關(guān)鍵詞] Cantor集; Cantor函數;反例[中圖分類(lèi)號]O174.1[文獻標識碼]C[文章編號]1672-1454(201)020156-03Cantor集是德國著(zhù)名數學(xué)家 Cantor構造的一類(lèi)特殊的點(diǎn)集.,它的特殊的構造過(guò)程使它有許多奇特的性質(zhì),這些性質(zhì)常常是數學(xué)工作者構造反例的基礎.它的巧妙構思也為我們解決某些數學(xué)問(wèn)題提供了方法和思路.對它進(jìn)行全面深人地研究,對學(xué)好實(shí)變函數論及相關(guān)課程有重要的促進(jìn)作用1 Cantor集的定義第1步,將區間[0,1]三等分去掉中間的開(kāi)區間(,2);第2步,再將剩下的兩個(gè)閉區間.3][分別三等分,各去掉中間的開(kāi)區間(3)和(3)一般地,在第n步時(shí),對第n1步剩下的2-個(gè)閉區間分別三等分,各去掉中間的開(kāi)區間,如此繼續下去,就從[0,1]中去掉了可數個(gè)互不相交的開(kāi)區間,剩下的集稱(chēng)為康托爾集C.設G=[o,1-c,則G=0r,其中P為第n步去掉的第m個(gè)區間區間長(cháng)為由作法可知,{I=}為一列互不相交的且沒(méi)有公共端點(diǎn)的開(kāi)區間,G是開(kāi)集令F表示第n步剩下的2”個(gè)閉區間的并集,則由定義可知C=∩Fn另外由p進(jìn)制的表數法可知C可用下列3進(jìn)制來(lái)表示2雜xx…,∈0,2)}={2232x1,x,…,…”∈01)}2 Cantor集的性質(zhì)性質(zhì)1C為沒(méi)有孤立點(diǎn)的閉集,即為完備集證因為C=[0,1]-G,G是開(kāi)集,所以C為閉集中國煤化工)沒(méi)有公共端點(diǎn),所以C沒(méi)有孤立點(diǎn)CNMHG[收稿日期]2009-1228[基金項目]國家自然科學(xué)基金項目(10771049);河北師范大學(xué)精品課建設項目(JPKc0807)第2期李翠香,等: Cantor集的性質(zhì)及應用157性質(zhì)2C沒(méi)有內點(diǎn),即為疏朗集證任取x0∈C,及它的任一鄰域U(x0,8),存在n使得3<8.當去掉手續進(jìn)行到第n步時(shí),剩下2個(gè)長(cháng)度是3的互相隔離的閉區間,x0必含于某一閉區間I,從而IcU(x,3-")cU(x0,8),進(jìn)行第n+1步,去掉了I的中間開(kāi)區間,故U(x0,8)C.所以C沒(méi)有內點(diǎn)性質(zhì)3C為零測度集證由可數可加性知mG=∑∑m=∑3=1,所以mC=1-mG=0性質(zhì)4C為具有連續基數c的集.證由(1)式可知集合C與集合{0.x1x2x3…x1,x2,x3,…∈{0,1》對等,而后者正是用二進(jìn)制表示的區間[0,1]中點(diǎn)的全體.從而C具有連續基數正是 Cantor集這些奇特的性質(zhì)和它的巧妙構思,為構造一些重要反例提供了啟示3 Cantor集的應用例1 Cantor集為以下論斷提供了反例:(i)可數集的測度為零,但測度為零的集未必可數;(i)非空的沒(méi)有孤立點(diǎn)的閉集的測度未必大于0;(i)非空的沒(méi)有孤立點(diǎn)的閉集未必含有內點(diǎn);(iⅳv)孤立點(diǎn)集必是疏朗集,但疏朗集并非都為孤立點(diǎn)集例2 Lebesgue可測集全體μ的基數等于直線(xiàn)上的所有集合所成的集B(R)的基數證顯然有≤B(R).另一方面,因為 Cantor集C的測度為0,所以它的任何子集都可測,且為零測度集,故B(C)≤P.又因為C=c=R,故B(R)=B(C≤綜上有=B(R)例3對任意的A:0≤A≤b-a,存在完備集EC[a,b],使得mE=A證當λ=0,b-a時(shí),分別取,[a,b即可.當0<λ