波動(dòng)力學(xué)的發(fā)展

第15卷第4期中國傳媒大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版20084F 12 A JOURNAL OF COMMUNICATION UNIVERSITY OF CHINA(SCIENCE AND TECHNOLOGY)波動(dòng)力學(xué)的發(fā)展黃志洵(中國傳媒大學(xué)信息工程學(xué)院,北京100024)摘要:本文是對波動(dòng)力學(xué)(WM)進(jìn)展的概迷。波動(dòng)力學(xué)的發(fā)展源遠流長(cháng),最旱發(fā)端于最小作用原理,該原理可以說(shuō)是“眾理之母”。對波動(dòng)力學(xué)貢獻最大者是物理學(xué)家 Erwin Schrodinger,其次是 Louis de broglie;前者提出的schrodinger方程(SE)不僅用于處理微觀(guān)粒子的運動(dòng),而且早已用來(lái)分析一些宏觀(guān)科學(xué)技術(shù)問(wèn)題。 Schrodinger本人沒(méi)有來(lái)得及在有生之年研究非線(xiàn)性 Schrodinger方程(NSE,亦稱(chēng)NLS);而 de broglie卻曾致力于非線(xiàn)性波動(dòng)力學(xué)(NLWM)的研究,并將其與孤立波聯(lián)系起來(lái)。當前大量波動(dòng)力學(xué)研究工作涉及數學(xué)上的非線(xiàn)性微分方程對其物理學(xué)意義反而有忽視的傾向。對電磁波的研究工作仍是波科學(xué)的重要方面,其基本理論尚待澄清之處甚多。波動(dòng)力學(xué)的發(fā)展表明,經(jīng)典電磁波方程應與量子力學(xué)波方程聯(lián)系起來(lái)研究,孤立地討論經(jīng)典的場(chǎng)與波的時(shí)代旱已結束。關(guān)鍵詞:波動(dòng)力學(xué);波方程; Schrodinger方程;孤立波中圖分類(lèi)號:TNo11文獻標識碼:A文章編號:1673-4793(2008)04-0001-16Advances in Wave Mechanics ResearchHUANG Zhi-XunCommunication University of China, Beijing 100024)Abstract: This paper get a general survey of advances in Wave Mechanics. The development of WaveMechanics goes back to ancient times. The principle of least action is the source of Wave Mechanics,soit is the mother of several principles. Erwin Schrodinger was the greatest contribution scientist of WaveMechanics, secondary was Louis de broglie. The Schrodinger equation not only can treat the movement ofmicroscopic particles, but also can analysed some of the macroscopic scientific problems. There's no timefor Schrodinger to study the non-linear Schrodinger equation NIS), but de broglie devoted oneself tothe study of nonlinear Wave Mechanics, and established contact with the solitary waves. At present, themost research works involve the nonlinear differential equations in mathematics, but ignore the physicalmeaning. In the sciences of waves, the study of electro-magnetic waves are important field, many problems demand clarification. From the Wave Mechanics point of view, we must integrate the classic electromagnetic wave equation with the Quantum Mechanics wave eqution, the isolated discussion age of classic fields and waves was extremely early ended.Key words: wave mechanics: wave equations; Schrodinger equation; solitary waves中國煤化工CNMHG收稿日期:2008-06-16作者簡(jiǎn)介:黃志洵(1936-),男(漢族),北京市人,中國傳媒大學(xué)教授、博土生導師中國科學(xué)院電子學(xué)研究所客座研究員。中國傳媒大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版第15卷Schrodinger在講演中論述了軌道概念的無(wú)效性;指1引言出新量子力學(xué)的特點(diǎn)—邏輯上變“不是……就是…”為“既是……又是”;人們不再可以講何者真波動(dòng)是自然界普遍存在的現象。人類(lèi)早期觀(guān)察正發(fā)生,只能說(shuō)在某一情況下將觀(guān)察到什么。另外較多的波動(dòng)是水面波以及由弦或膜的振動(dòng)導致的在不同條件下可能只用波動(dòng)理論或只用粒子理論來(lái)機械波這些都具有可視的形態(tài)。田野里的麥浪也解決問(wèn)題。是波。后來(lái)逐漸認識了一些不可目視的波動(dòng),如聲波、電磁波、光波。20世紀的研究深入到微觀(guān)層次之后,發(fā)現了物質(zhì)波(如電子運動(dòng)伴隨的波動(dòng)),又提出了幾率波。波動(dòng)的參數包括波長(cháng)、頻率、振幅、相位、速度、能量、動(dòng)量等。雖然嚴格的線(xiàn)性波很少,但許多波呈現出線(xiàn)性。盡管對波動(dòng)的研究開(kāi)始得很早,但至今仍常令人陷入迷茫。例如關(guān)于電磁波的屬性;關(guān)于微觀(guān)粒子的波粒二象性;關(guān)于波函數的本質(zhì);關(guān)于光的本性,等等;至今仍是眾說(shuō)紛紜。本文是從波方程圖1光線(xiàn)穿過(guò)大氣層到達地面( wave equations)入手而論述的,因為描寫(xiě)波動(dòng)的函所謂最小作用原理是 Fermat科學(xué)思想的基礎數一定含有時(shí)間變量,并以方程的形式勾勒出波的最早是古希臘學(xué)者 Heron(約公元3世紀),在光學(xué)時(shí)空關(guān)系。從本文內容可知,就力學(xué)、聲學(xué)光學(xué)電方面他證明當一條光線(xiàn)被反射時(shí)入射角等于反射磁學(xué)而言,波動(dòng)遵循著(zhù)大體上相同的規律。角,并且光線(xiàn)此時(shí)所走是最短路徑。公元6世紀時(shí)波動(dòng)力學(xué)的英文寫(xiě)法是 wave mechanic,它的主的學(xué)者 Olympiodoru則在其著(zhù)作《反射光學(xué)》中說(shuō):要創(chuàng )立者是 Erwin Schrodinger他的工作承前啟后,“自然界不做任何多余的事或不必需的工作”。法順乎自然溝通微觀(guān)與宏觀(guān)因此成為本文的核心內國數學(xué)家P.Fem(1601-165)曾提出最小光程容。本文原為給在讀博士生的講稿現整理成文,以原理,在1657年和162年他論證說(shuō):“光線(xiàn)總是以饗讀者。費時(shí)最少的路徑行進(jìn)”。假定光由真空射向非真空媒質(zhì),后者的折射率n=c/v,v是光在該媒質(zhì)中的速2波動(dòng)力學(xué)的基礎度。如媒質(zhì)為非均勻的,則n=n(x,y,z),v=v(x,y,z)。那么當光沿曲線(xiàn)x(r),y(r),z(r)由第1點(diǎn)193年 E. Schrodinger的Nobe獲獎演說(shuō),題目先進(jìn)到第2點(diǎn)時(shí),需要的時(shí)間為便是“波動(dòng)力學(xué)的基本思想”。他首先通俗地說(shuō)明ds光線(xiàn)從太空向地球表面大氣層的入射(圖1),進(jìn)入=|ds=t大氣層越深,空氣密度就越大,光線(xiàn)傳播越慢。光線(xiàn)走的是彎路,雖路徑較長(cháng)卻費時(shí)較少,會(huì )比直線(xiàn)路徑n(x,y,z)√x+y2+d(1)更早到達終點(diǎn)。表面上舍近求遠實(shí)際上舍慢求快,式中c是真空中光速n是媒質(zhì)的折射率,v是光在這是大自然的本能,是 Fermat原理指出的規律,他媒質(zhì)中的速度。 Fermat證明說(shuō),光線(xiàn)由1點(diǎn)到2點(diǎn)稱(chēng)該原理為波理論的精華。在力學(xué)中, Hamilton原所走的路徑是使T為極小的路線(xiàn)。證明這原理時(shí)理對質(zhì)點(diǎn)運動(dòng)的描述與 Fermat原理相似,這表示大他使用了變分法(亦即泛函分析)。所謂泛函不是自然似乎有著(zhù)同樣的規律。 Schrodinger認為應把質(zhì)般中國煤化工泛函極值的問(wèn)題即點(diǎn)的力學(xué)過(guò)程建立在波動(dòng)力學(xué)的基礎上并且指出,變分作8T;最小光程Fermat原理的局限性已日益顯露:它無(wú)法對波動(dòng)過(guò)原理CNMHG程作精確的研究。特別是,當力學(xué)系統的尺寸很小,87=8|ndl=0例如原子這樣的微小系統,舊陽(yáng)的觀(guān)點(diǎn)和方法會(huì )失效。第4期黃志洵:波動(dòng)力學(xué)的發(fā)展1744年,法國數學(xué)家 P L Maupertuis提出了最可求出電容C~,二者平均即得待求電容。小作用原理中“作用量”的定義:作用量是質(zhì)量W. R. Hamilton(1805-1865)是英國數學(xué)家速度、距離的積的積分。但只有同是法國數學(xué)家的物理學(xué)家在1835年發(fā)表的一篇論文中,他引進(jìn)作JL. Lagrange(1736~1813)在其動(dòng)力學(xué)的論述中才用積分(即動(dòng)能與位(勢)能的差對時(shí)間的積分)把最小作用原理賦與具體的形式—對單個(gè)質(zhì)點(diǎn)而E-Udi言質(zhì)量、速度和兩點(diǎn)間距離的積的積分,即作用量A為式中(E-U)稱(chēng)為 Lagrange函數;現在 Hamilton允許有不受限制的比較路徑,且不要求能量守恒A =mudlHamilton最小作用原理認為真實(shí)運動(dòng)是使作用穩定式中p=mv是質(zhì)點(diǎn)(粒子物體)的動(dòng)量?，F在對質(zhì)的運動(dòng);而在保守系統(E+)= Const.時(shí), Hamilton點(diǎn)的實(shí)際路徑而言A必須是極小值,亦即最小作用原理退化為 Lagrange原理。 Lagrange原理對非保守原理可寫(xiě)作系統也成立,并且位(勢)能U可以是時(shí)間的函數。令L=E-U,由上述積分的變分為零條件( Euler方程)可得最小作用原理認為,自然現象和自然變化都是為了al d aL0(k=0,1,2,…,n)(6)使lpd最小。od of variation”,但他的前輩 L Euler(1707-1783)函數∥多ge運動(dòng)方程類(lèi)似。 Hamilton還引入一個(gè)這與L數學(xué)上的變分法, J. L Lagrange稱(chēng)為“ the meth卻稱(chēng)為“ the calculus of variation"。 Euler- LagrangeH(p1,q,t)=-L+∑Pqa的貢獻在他們的時(shí)代并不為人注意,只是后來(lái)才日H的物理意義是總能量?？傊? Hamilton最重要的益顯現出其重要性。 Lagrange出版了他的名著(zhù)《分著(zhù)作是完成于1835年的《 General Methods of Dynam析力學(xué)》,書(shū)中把變分法應用于動(dòng)力學(xué),并秉承最小ics),其中引人注目地找到了表現 Newton動(dòng)力學(xué)的作用原理,從而得到了著(zhù)名的 Lagrange運動(dòng)方程。另一種方法。 Hamilton在建立方程的新形式時(shí)是從d,E、Ek數學(xué)美出發(fā)的,當時(shí)不認為是必須的—人們可以+=0(i=1,2,3)(5)q;0;繼續用 Newton方程的原有形式。而 Hamilton量,是式中E、U分別表示質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能、位(勢)能;q代表物理學(xué)中表示總能量的參數,是動(dòng)力學(xué)變量的一個(gè)廣義坐標,即x=x(q;),y=y(q),z=x(q)。這是3函數。個(gè)常微分方程的聯(lián)立方程組,物理上對應 Newton第有了 Hamilton函數的H定義,可以得到運動(dòng)方定律(F△y)總能量(E+U)是不變程的形式即一階常微分方程的方程組:ahaH的。 Lagrange方法的特點(diǎn)是,需要知道能量的情況,(i=1,2,…,n)(8)但不需要知道作用力。這樣,就有了至今仍在使用因此,如知道函數H就可以作出2n個(gè)微分方程并的 Lagrange分析力學(xué)的對偶能量法。運用 Lagrange求解該方程組。德國數學(xué)家 K. Jacobi(1804-1851變分、對偶 Lagrange變分等概念,以及泛函分析的原發(fā)展了 Hamilton的思想,使新的 Hamilton算子得以理,可以解決力學(xué)以外其他物理分支的問(wèn)題例如電形成,并得到新的 Hamilton-Jaob偏微分方程。磁學(xué)問(wèn)題。這時(shí),力學(xué)量的坐標位置q、速度(d實(shí)際上, Hamilton認為質(zhì)點(diǎn)(包括小到石塊大到d)、動(dòng)量p力(-4p/d),分別對應電磁量的電位行星)的運動(dòng)也受與 Fermat原理相似規律的支配,d場(chǎng)強E電通量密度D、電荷密度p。例如,在20即與最小光程原理相似。雖然 Hamilton沒(méi)有明確世紀90年代曾有人用 Lagrange方法求 TEM Cell指中國煤化工最少的路徑”,但(一種電磁兼容學(xué)裝置)的電容取得成功一在凹 HamICNMHG必須是最小。至泛函情況下,平衡時(shí)能量為極大,故電容有極小值。此,我們看到不同國家、不同時(shí)代的科學(xué)家得到了相故通過(guò)給定電荷可求出電容C,通過(guò)電位的變分同的結論,并且涵蓋光學(xué)、力學(xué)兩大領(lǐng)域。實(shí)際上中國傳媒大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版第15卷由最小作用原理可導出物理學(xué)中所有的運動(dòng)方程,V2F+oF=0故被人們稱(chēng)為“眾理之母”。這是人們熟悉的 Helmholtz方程。1865年 J. C. Maxwell(1831~1879)在英國《皇家學(xué)會(huì )會(huì )報》上發(fā)表了論3波方程的早期發(fā)展文“電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)理論”,提出了“電磁場(chǎng)的普遍方程組”,他按直角坐標寫(xiě)出20個(gè)標量方程,它們最早的波方程是從力學(xué)和聲學(xué)兩大領(lǐng)域的結合可概括為6個(gè)矢量方程和2個(gè)標量方程。此外,部誕生的。在歐洲,18世紀時(shí)的音樂(lè )創(chuàng )作已達到很 Maxwel導出按磁感應強度B而寫(xiě)出的波方程高水平,促使科學(xué)家們研究樂(lè )器的發(fā)聲原理例如弦和膜的振動(dòng)。大數學(xué)家 L Euler(1707~1783)甚至V2B=7u 8B寫(xiě)過(guò)一本書(shū)《音樂(lè )理論的新研究》,討論怎樣才能得式中K=4me,是光速,上述 Maxwell波方程的現到和諧的樂(lè )音。繼1727年 J Bernoull導出弦振動(dòng)代寫(xiě)法是方程(一維波方程)之后,1764年 Euler求解了下述弦振動(dòng)方程f(z,)_10fx,)式中業(yè)是矢量函數或E而n2=1/ap;上式在形(9)式上與1759年的 Euler方程相同。這里z是弦放置的位置和方向∫是弦的橫向位移19世紀中期開(kāi)始的電訊建設熱潮推動(dòng)了基礎參數c與弦質(zhì)量有關(guān)。 Euler的論文“粗細不勻弦的理論的研究和發(fā)展。1854-1856年間,英國物理學(xué)振動(dòng)”討論了振動(dòng)的振幅和頻率與弦(質(zhì)量分布、長(cháng)家 Lord Kelvin(1824-1907)參考1811年的 Fourier度)的關(guān)系。1763~1770年間,R. d Alembert熱傳導方程以及1847年的 Kirchhoff電路定律提(1717-1783)用分離變數法求解上述弦振動(dòng)方程,出了下述方程得到下述形式的解f(z,1)=d(at+2)+中2(at-z)式中u=u(x,)是沿z軸放置的平行雙導線(xiàn)的電壓這實(shí)際上是一對行進(jìn)方向相反的行波。另外,1732函數,、C為單位長(cháng)線(xiàn)的電阻、電容。 Kelvin以此理1733年間 D. Bermoy指出弦振動(dòng)有許多(理論論指導了大西洋海底電纜的敷設,它是不含電感項上是無(wú)限多)模式,其中最慢的模式是最低音(現在的經(jīng)典電報員方程。 Kelvin方程并非從 Maxwell方我們稱(chēng)為主模)。1753年 J Bermoulli提出:多個(gè)模程組出發(fā),因該方程組在10年后才出現。經(jīng)能同時(shí)存在,使弦發(fā)出許多諧音。0. Heaviside改進(jìn)后的(包含電感項的)經(jīng)典電報1759年 L Euler得到二維波方程,來(lái)自對矩形、員方程組( classic telegraphist' s equations)的現代形圓形鼓膜振動(dòng)的分析式為al, df-1 dax d c otdz式中∫=f(x,y,)代表鼓膜的位移,c是由膜質(zhì)量和= -gu-C(15)張力決定的常數。 Euler的論文題目是“論聲音的傳zOt播”,從一維、二維分析到三維;給出了三維波方程式中i=i(z,1)是考慮u(,1)的位置的電流,g、L為單位長(cháng)線(xiàn)的電導、電感。筆者曾用3種方法進(jìn)行推(11)導以證明(14)、(15)式的正確,其中2種方法用式中 Laplace算子v2=V·卩sa2,aMaxwell方程組分析,1種方法用 Kirchhoff定律分析中國煤化工出,經(jīng)典電報員f(x,y,x,t)是振動(dòng)變量,而振動(dòng)可以是力學(xué)的或聲方程時(shí)會(huì )降低。另外,學(xué)的。大約100年后,1860年HLF. Helmholtz在由于CNMHGSchelkuno提出分析管風(fēng)琴中的空氣振動(dòng)(聲學(xué)振動(dòng))時(shí),引入簡(jiǎn)諧了廣義電報員方程組( generalized telegraphist’se函數即假定∫(x,y,x,4)=F(x,y,x);代入后得 quations)6。第4期黃志洵波動(dòng)力學(xué)的發(fā)展聯(lián)立(14)、(15)兩式,消去或消去u),可得a波性)。從 de broglie的假設性理論觀(guān)點(diǎn)出發(fā),任何(或i的單一變量的方程;為方便計以(x,t)代表能量E、動(dòng)量P的粒子都伴隨有波動(dòng),其頻率f波長(cháng)u(x,)或i(z,t)則有λ可由下式算出Fy ey(16)(20)at式中p=rC+lg,q=rgu;(16)式應理解為一對方21)程,它們是經(jīng)典電報員方程組的又一形式。如取L0,g=0;則有P=rC,q=0,故有式中用 Planck常數h把粒子和波動(dòng)聯(lián)系起來(lái)。例dψy如當電子速度v=100cm/s時(shí),可以算出λ=0.07(17)cm。1927年,C. J. Davisson和GP. Thomson以實(shí)驗上式是經(jīng)典電報員方程的早期形式。另外,如取r證明電子受品體衍射產(chǎn)生的波動(dòng)現象與 de broglie=0,g=0,則p=q=0,故有預言在數據上吻合,因而 de broglie獲得1929年的&2=lcdrFy , anobel物理獎,1937年又將Nbel物理獎授予 Davisson和 Thomson。這是一維的電磁波波方程。de broglie的假設是大膽的,因為對電子或原子回到(16)式,把ψ寫(xiě)回電壓函數u(z,t),并且類(lèi)有靜止質(zhì)量的物質(zhì)粒子,從邏輯上論證“一定僅取r=0,可得有對應的波動(dòng)存在”是困難的。假如有這樣的波,可以預期它的運動(dòng)方向與粒子行進(jìn)方向相同,故可寫(xiě)出其復數波函數:令"=(LC)-2,得(7,)=“ndu_1du⊥如(19)波的參數是角頻率a和波矢;平面波的等相面由式中是一個(gè)常數;4=(,)原來(lái)代表電壓現在(-,)=常數給出,這些平面(也就是波)以相可看成普適函數。式(19)是一個(gè)雙曲型偏微分方速n,傳播:程,在數理方程中具有更廣泛的意義。它也可寫(xiě)成(19a)假定與此波對應的粒子速度為v,則按 de broglie理由上式可以認為與 Klein· Gordon方程相似。論與粒子(m,v)對應的波動(dòng)的波長(cháng)λ=h/mv;由于粒子能量是m2,按量子理論對應頻率f=mc2/h;這4 de broglie波的含意樣就有從19世紀末到20世紀初,對微觀(guān)粒子(電子、因而粒子速度v≠vn;在 de broglie理論中群速才是原子、光子)的研究成為科學(xué)界的重點(diǎn);人類(lèi)對波動(dòng)粒子速度(v=v的認識進(jìn)入了新階段。1913年 N. Bohr提出了定態(tài)躍遷原子模型理論,成功地解釋了氫光譜的 Balmer從形式上看, de broglie理論可以理順物理學(xué)中看起來(lái)迷茫的一些關(guān)系。例如對光波而言在把光公式,但該理論也遇到一系列困難。1923年Lde子也看成“粒子”時(shí)按最小作用量原理有Broglie提出與運動(dòng)粒子相應的相波( phase waves),并將其應用到以閉合軌道繞核運動(dòng)的電子,得到了d l-d=0Bohr量子化條件。1924年他在巴黎大學(xué)的博土論由于文“量子理論研究”中論述了光子學(xué)說(shuō)( A. Einstein波長(cháng)中國煤化工,A:光在媒質(zhì)中于1905年提出)出現后光的波動(dòng)性和粒子性的矛CNMHG盾,這兩者均有各自的實(shí)驗證明。他認為在原子中-Ndl=o的電子不能認為是純粒子的,而應該有周期性(即故得6中國傳媒大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版第15卷dI= o中,應將可觀(guān)察量E4P理解為算符:這就是前文的(2)式,亦即 Fermat最小光程原理。V以上推導使用關(guān)系式p=,不能用P=mv。另外,并作用于波函數W(,),則由上式得光在非色散媒質(zhì)中傳播時(shí),其相速與群速相等:oh d=-2mvy(23這是自由粒子的含時(shí) Schrodinger方程,顯然它是非以上是考慮光子的情形?，F在再考慮非相對論相對論的。但在狹義相對論(SR)中可證明性自由粒子;可以證明 de broglie波的色散方程(ak方程)為式中E=m2是總能量(E=E4+E);在QT中,上式可以寫(xiě)成-k2(28)式中h=h2m,k=2m/A;故可求群速Ds- dk mm(25)亦即故群速與粒子速度相等。最后,考慮相對論性粒子,h2y=(-h2y2+m2)v(28a)取這是O. Klein和W. Gordon于1926年導出的相對論E性量子力學(xué)波方程,與 Schrodinger方程的出現是在m是靜止時(shí)粒子質(zhì)量;此時(shí) de broglie波的色散方同-時(shí)期。K-G方程對時(shí)間()和空間(x,y,x)均程為為二次求導數,而 Schrodinger方程對時(shí)間是一次求導數,這是重要的區別。量子力學(xué)書(shū)籍都談到,Kh(26)G方程存在兩個(gè)理論自洽性方面的困難;一是存上式與(24)式一樣是非線(xiàn)性的同樣n,≠,而是,在負能解(E=-√8p+m)不好解釋R中不t。那么物質(zhì)波的對應粒子的速度是否真的與波存在負能量。另一問(wèn)題是由K-G方程導出連續性的群速相同呢?這是仍然需要研究的問(wèn)題,涉及到方程后可以證明,幾率不是正定的。這兩者(負能波包( wave packet)的理解詳見(jiàn)后文?？傊?deBo-問(wèn)題及負幾率密度問(wèn)題)一直是尖銳地存在著(zhù)的glie的貢獻是其創(chuàng )意和簡(jiǎn)明的表達,但他未能給出1928年 P. Dirac提出另一個(gè)相對論性量子力學(xué)描述運動(dòng)狀態(tài)的波方程,這個(gè)缺陷很快將由波方程被認為克服了負幾率困難。這是因為DncE Schrodinger來(lái)彌補。此外, de broglie理論仍有一方程也是對時(shí)間一次求導數的些尚待解決的問(wèn)題。h=Ay(29)5相對論性波方程B是 Hamilton算符:A=20世紀出現了兩大物理理論體系—相對論式中( relativistic theory,RT)和量子論( quantum theory,10QT)。與此對應出現了兩類(lèi)波方程——非相對論性00的和相對論性的;前者的實(shí)例是 Schrodinger方程, Dirac的作法是令QT服從RT的要求,這點(diǎn)與后者的實(shí)例是Kein, Gordon方程和Din方程。我Klen中國煤化工于,Da妙地處們先從經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)能方程出發(fā):理了YHCNMHG電子”的預言,并被后E4=0m2為了方便,這里列出一維情況下兩類(lèi)方程的寫(xiě)式中m、P分別為粒子的質(zhì)量速度、動(dòng)量。在QT法:第4期黃志洵:波動(dòng)力學(xué)的發(fā)展Fy dy mocEinstein局域性實(shí)在論不正確。另一方面,也有物理(Klein-Gordon)學(xué)家堅持認為 Einstein是正確的,爭論還在繼續A=(-Ma+me)y(Dim)(32)6 Schrodinger波動(dòng)力學(xué)以及在處理氫原子中電子的運動(dòng)時(shí)兩類(lèi)方程的寫(xiě)論述 Schrodinger波動(dòng)力學(xué)是本文的重點(diǎn)。在法早期的氫原子研究中,Bohr理論是假設電子軌道的(E+)2y=(-h2d2V2+m")y(Kin分立值,而在 Schrodinger那里是由波方程決定其值。這一方法不僅在光譜解釋方面是成功的,又能Gordon)(33)解釋光與電子的碰撞、原子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的性質(zhì)、Ey=(am·p+Bmc2-2)y(Diac)(34)光的衍射等問(wèn)題。由于 Schrodinger波動(dòng)力學(xué)解決了原子物理學(xué)中的許多問(wèn)題,瑞典皇家科學(xué)院決定時(shí)),發(fā)現 Schrodinger理論誤差最小,Dnc理論次授于他193年度的 Nobel物理學(xué)獎。之,K一G理論最差。改進(jìn)的 Dirac理論(稱(chēng)為約化1926年初E. Schrodinger發(fā)表系列論文“quan-Dirac理論)的精確性則可超過(guò) Schrodinger理論。tisation as a problem of proper values”(本征值問(wèn)題的怎樣看待RT和QT的關(guān)系,一直存在激烈的爭量子化)的第I篇2],立意是考慮簡(jiǎn)單的(非相對論性和未受擾動(dòng))的微觀(guān)系統,例如氫原子,以便發(fā)現論。1959年 Nobel物理獎獲得者E.Sege曾指出,量子規則的真正本質(zhì)。這時(shí)他提出函數,它是單非相對論性量子力學(xué)(NRQM)到197年已相當完值而連續可微的實(shí)函數并由 Hamilton-Jaoi微善,是經(jīng)典力學(xué)的雄偉壯觀(guān)的推廣。但是,相對論性分方程中的S所定義量子力學(xué)(RQM)卻進(jìn)展甚小 Dirac理論只限于S=Kigy白旋12粒子,難于用到別的自旋;即使對12自旋并且嘗試用變分問(wèn)題取代量子化條件,該問(wèn)題有分筆者認為,雖然RQM取得了成就,但尚不能據立的本征值譜(對應 Balmer項)和連續的本征值譜(對應雙曲線(xiàn)軌道)。在考慮單電子的情形時(shí)得出此斷言“SR與QM已經(jīng)融合一致?！睂?shí)際上,下述方程A. Einstein從未喜歡過(guò)QM,1935年的EPR論文例,就是要給QM以沉重打擊?？梢哉f(shuō)相對論理論體系v2y+2(E+)y=0(35)(RT)與量子力學(xué)理論體系(T)的分歧是深刻的、后人稱(chēng)上式為“定態(tài)的非相對論性波方程”根本性的。概括起來(lái)RT的物理思想是高速性(當 Schrodinger自己稱(chēng)之為“變分問(wèn)題的Eur型微分速度趨近光速時(shí)的重大修正),局域性(傳播速度小方程”,并說(shuō)它對每個(gè)正值都有解。然后于光速和空間局域),和確定性(對經(jīng)典因果律的繼 Schrodinger導出一個(gè)條件,即文中的公式(15),并承和“上帝不擲骰子”)。這些思想不僅反映在相對此得出氫原子中對應 Balmer項的Boh能級。論(SR和GR)里,也存在于EPR論文和 Einstein-…從論文I來(lái)看,近年來(lái)有兩個(gè)說(shuō)法都不對;其一系列口頭陳述中。然而,QT對這些并不認同,例如說(shuō), Schrodinger方程不是推導的,而是假設出來(lái)的不為速度規定上限空間非局域性認同因果性但不另一說(shuō)法是, Schrodinger方程的連續性與量子效應認同相對論局域因果律;等等。1985年S. Weinberg的離散性相矛盾。筆者認為,只要重讀論文I,就知(1979年Nbel物理獎得主)說(shuō):“在我們要求的對道兩種批評都不能成立。 Hamilton方程和變分法是稱(chēng)性中有一個(gè)似乎與量子力學(xué)幾乎不相容那就是經(jīng)典Lorentz不變性?！睂?shí)際上,迄今的所謂相對論性量子的動(dòng)中國煤化ger用來(lái)構造新子的假說(shuō)和實(shí)驗場(chǎng)論,是在局域描述外衣下的空間非局域理論。自事實(shí)CNMHG的氫原子波方程,20世紀60年代JBe理論提出,到80年代As-量子化是它的自然結果,而不是像Bor那樣需要人pect小組的系列實(shí)驗,促使多數物理學(xué)家認為為地規定量子化條件8中國傳媒大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版第15卷德國刊物《 Annalen der Physik)收到論文I的時(shí) de broglie電子相波定理( principle on phase waves of間是1926年1月27日。隨后于2月23日收到 electron)得到很大的啟發(fā),認為該原理不僅起因于Schrodinger的論文Ⅱ;該文先論述力學(xué)與光學(xué)之間相對論,實(shí)際上對經(jīng)典力學(xué)中每個(gè)保守系統均屬有的 Hamilton類(lèi)似,指出 Hamilton理論與波傳播之間效?！@里我們用簡(jiǎn)單的推導說(shuō)明二者物理思想的內在聯(lián)系?？梢宰C明, Hamilton變分原理對應于的一致;從電磁波波方程(13)式出發(fā),并取在位形空間中波傳播的 Fermat原理。在論文Ⅱ中Y(x,, i, t)=p(x,y, i)eSchrodinger追求一種“波動(dòng)力學(xué)”,即力學(xué)的波動(dòng)表則可證明述。因此他作了重新推導,并使用了經(jīng)典波方程與de broglie關(guān)系式的結合,從而得到文中的(18")式:也可寫(xiě)作div grad +2(E-U)Y=0(36)Vy+()2y=0然后 Schrodinger應用方程求解了從線(xiàn)性諧振子到雙原子分子的各種情況,得到了與實(shí)驗相符的能量至此尚未越出經(jīng)典電磁理論的范圍;但如取A為de本征值。Broglie波長(cháng),即把λ=h/m代入上式,得1926年6月23日 E. Schrodinger提交了第Ⅳ篇V論文,發(fā)表在《 Ann. d. Physik,》當年(81卷)第4期這個(gè)方程用以描述微觀(guān)粒子的運動(dòng)及相伴隨的波上。這篇長(cháng)文提出了一個(gè)與時(shí)間有關(guān)的方程標志動(dòng);但在力場(chǎng)中運動(dòng)的粒子的總能量是動(dòng)能與位著(zhù)波動(dòng)力學(xué)思維的成熟和量子力學(xué)的誕生。這種將(勢)能的和波和粒子的分析融為一體的論述極為出色。若波函數、位(勢)函數的一般表達為訓(,t)、U(F,t),此時(shí)有含時(shí) Schrodinger波方程則得naY=Ava+(37)Vψ+52(E-U)ψ=0(42)令B=y2+U,故有故在 Helmho標量波方程基礎上引入 de broglie波概念即可得 Schrodinger方程。然而按照 de broglie和 Schrodinger的思想,運38)動(dòng)粒子速度與波包的群速相同故他們的理論暗示這是時(shí)間t的一次、空間坐標的二次微分方程,故在波包和粒子是一回事。這樣看待微觀(guān)粒子與相應波Loren變換下無(wú)協(xié)變性,不滿(mǎn)足相對論要求,是非動(dòng)的關(guān)系,過(guò)份夸大了波的地位,是錯誤的。我們從相對論性方程。換言之滿(mǎn)足相對論要求的方程中,(25)式出發(fā)計算群速v對波數k的導數:時(shí)間、空間坐標的微分次數必定是一樣的。對y而du這是線(xiàn)性、齊次方程;所謂線(xiàn)性是指,若v、業(yè)2為方程的解,則(ev+e2)也是解,即滿(mǎn)足疊加原故v與k有關(guān),說(shuō)明波包在傳輸過(guò)程中會(huì )擴散(發(fā)胖)。但粒子在傳輸過(guò)程中卻是穩定的故科學(xué)界另一方面,假如波函數是定態(tài)的,即弘(位拒絕了他們的觀(guān)念,還開(kāi)玩笑說(shuō):“Shgr方程(勢)場(chǎng)是恒定的,即D(r);那么與時(shí)間無(wú)關(guān)的定態(tài)比 Schrodinger更聰明”Schrodinger方程可寫(xiě)作:速度的概念是復雜的。在經(jīng)典物理學(xué)中,質(zhì)點(diǎn)Ey= Ay速度的定義為式中E是系統的能量;上式與前述的某些電磁波的中國煤化工波方程相似?；蛘逤NMHG可以把 de broglie的工作和 Schrodinger的工作聯(lián)系起來(lái)考察。在 Schrodinger的論文Ⅱ曾說(shuō)他從(45)第4期黃志洵:波動(dòng)力學(xué)的發(fā)展但在微觀(guān)世界中,已不能認為粒子按一定軌跡(路可減小色散及損耗;圖2是芯子及圓柱坐標系,其徑)運動(dòng),提出速度定義對正統量子力學(xué)是困難的n1分布函數常取(詳細討論見(jiàn)[13])。那么,當我們說(shuō)“真空中光速c=299792458m/s"時(shí),指的是光波的速度還是光子的速度?從光速測量的歷史看,應當是指光波的速度,因最精確的值來(lái)自最精確的光頻測量和波長(cháng)測量。筆者認為迄今還沒(méi)有人直接測量過(guò)單個(gè)微觀(guān)粒子(單光子或單電子)的飛行速度。7用 Schrodinger方程分析緩變圖2光纖芯子及圓柱坐標折射率光纖由于 Schrodinger方程與標量電磁波方程的相n,(r)=no似,在分析非均勻光波導(漸變折射率光纖)時(shí)可以式中△是代表m1n2差異大小的參數:成功地應用 Wentzel- Kramers- Brillouin建立的求解一維 Schrodinger方程的方法,即把波函數按h的(49)冪級數展開(kāi)變成電磁場(chǎng)分量按k1的冪級數展開(kāi),而這時(shí)的介電常數和折射率分布相當于QM中的位而m是r=0時(shí)的最大折射率值。由數學(xué)知當x小(勢)函數U…這樣的進(jìn)展溝通了微觀(guān)和宏觀(guān),時(shí)(1-x)=1-2x,故漸變折射率光纖的a()為彰顯了 Schrodinger在建立和發(fā)展波動(dòng)力學(xué)中的歷史功績(jì)。n()=/{1-rB2(n)-鶚>理論不再適用。淺水波的最引人注意的特點(diǎn)是它的非線(xiàn)性。1895年D. J Korteweg和G. de vries最早消失波衰減解kn3(x)6h的淺水波列可近似地當作是孤立波。我們可作如下定個(gè)速度位(勢)函數,即U(x,y,1);故可認為a=a,義:孤立波是以單峰勻速前進(jìn),在傳輸過(guò)程中保持代入流體連續性方程,可得形狀、速度不變的一種行波,以單一實(shí)體出現并作局域分布。從數學(xué)上看,它是非線(xiàn)性方程的具有下述Fu Ju性質(zhì)的解:①解的局部存在性質(zhì)即在一定范圍內系統受擾動(dòng),與在整個(gè)空間分布的線(xiàn)性解不同;②解的這是 Laplace方程,邊界條件為幾何形態(tài)(波形)保持不變;③兩個(gè)(或多個(gè))同樣的(當y=-h)波相遇時(shí),由于非線(xiàn)性作用而互相作用,不是簡(jiǎn)單的+-∞=0線(xiàn)性迭加,并在后來(lái)又分開(kāi)成為與相遇前相同的兩(當y=F)個(gè)(或多個(gè))波?？傊?必須從非線(xiàn)性數學(xué)物理學(xué)1940年, Kulegan和 Peterson假定位(勢)函數有冪出發(fā)來(lái)研究這種波級數解:孤立子( soliton)概念則稍有區別。過(guò)去人們曾認為,兩個(gè)孤立波相遇時(shí)相互作用的非線(xiàn)性將使孤立波性質(zhì)有很大變化;后來(lái)發(fā)現有的情況卻是相遇求出橢圓余弦波一階近似解為后仍然按原來(lái)各自的形狀、速度、幅度繼續前進(jìn)。這F=-2a+3y2K(k)K1(k)-k2(k)]+2an2就有了準粒子性即可把相互作用的不受破壞的孤立波稱(chēng)為孤立子。因此,孤立子一定是非線(xiàn)性方程(k, z/A, t/T的孤立波解,而任一非線(xiàn)性方程的孤波解并不一定K1(k)K2(k)為第一類(lèi)第二類(lèi)完全橢圓積分k為就是孤立子。只有那些在與同類(lèi)孤波相遇后仍能保模值(k=0-1);式(58)中的am為Jabi橢圓函持其波形、速度、幅度的孤立波,才能稱(chēng)為孤立子。數。當k=0,K1(k)=丌/2,函數Cn成為余弦(c);這一觀(guān)點(diǎn)是在1973年由 A. C. Scott等所確立的。這時(shí)有也有中國煤化工1835年 Russell在z-tot(59)水槽CNMHGE時(shí)可以不變這叫淺水區的余弦波類(lèi)似Aiy波。當k=1,K1(k)在孤立波分析中,齊次K方程(也叫淺水波=∞,函數cm成為雙曲正割(sech);這時(shí)有方程)是十分重要的。1895年,D. J Korteweg和中國傳媒大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版第15卷G. de vries提出描寫(xiě)水面孤立波的方程:也就是F'F+(1+F(61)F(x,cx-)+e-s-"12(66a)非線(xiàn)性項為F(aF/m);當F很小時(shí)得到線(xiàn)性方程這是一階孤波解;二階孤波解為d f af aF0(62)723+4cosh2(z-4t)+cosh4(z-16)(67)解為β[3coh2(x-281)+cosh3(z-12)F=∑A2c-叫P(63)如果t大,上式可近似為下述兩個(gè)孤立子的組合式中k為波數;可以證明相速v=1-k2,群速v=1F(z-v t=v sech3k2;故波長(cháng)不同的波波數不同,、均不同。這是色散效應,是由dF/a2項引起的。另一方面,y,(x-)+C如忽略該項,有在這里t1=4,b2=6,C為常數;這就表示兩個(gè)孤立aF(64)波互相穿越后又分別獨立地前進(jìn)。解為有必要給出孤立波的形狀示例。為了使用F=z-(1+F)GRAFTOOL軟件以在計算機屏幕上顯示孤立波波顯然波速為(1+F);故高幅區快過(guò)低幅區傳輸過(guò)形,應把雙曲正割函數變換為指數函數程中波形會(huì )變化(逐漸變陡直至破裂)。這是由非chx線(xiàn)性項引起的非線(xiàn)性效應。因此,KdV方程指出孤立波的形成是色散效應非線(xiàn)性效應二者互相作用如令B=12,=4,則當t=0時(shí)有互相補償的結果。換言之,系統的性質(zhì)如僅有色散F(x)=-267性或僅有非線(xiàn)性孤立波均不可能產(chǎn)生,也就無(wú)所如令B=24,=3則當t=3時(shí)有謂孤立子了。在一些文獻中,Kdv方程寫(xiě)成下述形式F()=2+c-2+16z-1.8(68)a'I(61a)如此等等;繪圖是不成問(wèn)題的。圖6是計算機繪出的圖像。式中z是波進(jìn)行方向,F代表波面B是一個(gè)系數。為求解先令E=F(x,t),x=z-t,并取初始條件為f(z)0.025鹺=F(xz)(當t=0)邊界條件為(當x→∞)將x代入并作連續積分;在上式滿(mǎn)足的條件下積分常數為零,故得求出dx并積分后得1ny3+√3-中國煤化工例CNMHG由此可求出;因此最后可得3第4期黃志洵:波動(dòng)力學(xué)的發(fā)展型MS寫(xiě)作9非線(xiàn)性 Schrodinger波方程(NS)a+a2+F=069a)前面提到的KV方程表面上看來(lái)是一個(gè)淺水這是未計及損耗的齊次方程,其中|FPF是非線(xiàn)性波方程,實(shí)際上卻與描寫(xiě)微觀(guān)粒子運動(dòng)的項?？紤]損耗時(shí)的非齊次方程為Schrodinger方程的本征值求解有關(guān)。這是因為KdⅤ+IFIF=-irF方程的孤立波解對應 Schrodinger算符的束縛態(tài)……非線(xiàn)性波方程的求解常常是化為線(xiàn)性方程的亦即本征值求解問(wèn)題。af +aF+ FIF+rF=0(69 b)1965年,N. J. Zabusky和 D. Kruskal21)數值積分的結果闡明了孤立子的性質(zhì)。在電腦屏幕研究式中r是損耗因數。假定系統是線(xiàn)性的,且無(wú)損微分方程的孤子解是數學(xué)史上的突破耗,上式退化為量子力學(xué)中存在所謂“波包發(fā)散”現象。例如af FF(70)對于無(wú)外場(chǎng)的線(xiàn)性 Schrodinger方程,任一解答的波包均隨時(shí)間的延長(cháng)而發(fā)散。這對于用因果律描寫(xiě)微這與18世紀的 D'Alembert行波方程相似?，F在把式(69a)寫(xiě)作觀(guān)粒子的企圖帶來(lái)了致命的弱點(diǎn)然而,對于af 8F無(wú)外場(chǎng)的NIS方程而言,已得到了孤波解——它不+B|F|F=0(69c)具發(fā)散性從而為因果律的微觀(guān)粒子理論創(chuàng )造了前設上式具有復數解提及可能性F=F(xz-)",0=6(x-t2)(71)只考慮一維波動(dòng)時(shí), Schrodinger方程可寫(xiě)作F、θ是實(shí)函數,是包絡(luò )速度,稱(chēng)為慢載波速度,dt 4.而系統的載波時(shí)間相位因子是ep[j(k-o)]。若h為了便于比較,上式改寫(xiě)為n=,上式稱(chēng)為定形波解。當觀(guān)察者以速度v隨波運動(dòng),看到的波形靜止不變;這與18世紀發(fā)現了+a2+fF=0(69)的 D'Alembert波一樣?？梢宰C明,vn=t的情況包含式中a是與粒子質(zhì)量有關(guān)的常數,是與粒子位有NS方程的激波解。我們感興趣的是4≠的(勢)能分布有關(guān)的常數。情況。1971年, azarov證明,在這當中有一種解是NLS方程包括三個(gè)類(lèi)型:實(shí)系數標準型,復系數包絡(luò )孤立波解(雙曲正割脈沖)變態(tài)型實(shí)系數高維變態(tài)型。對無(wú)源系統如介質(zhì)波=6%F(z-2k"](2)導和光纖,忽略損耗時(shí)波場(chǎng)與媒質(zhì)間無(wú)能量交換,使用標準型NS方程得出穩定解即可,隨后由解掌握總之,從標準NS方程可能得到的解只是周期行介質(zhì)波導的傳輸特性。對微波電子管這樣的換能系波,具有恒定振幅。故它不能描寫(xiě)換能系統中的增幅波(或衰減波)。統,應使用變態(tài)型NS方程,其解是不穩定的。前面的含時(shí) Schrodinger波方程,是關(guān)于t的階微分方程;它是線(xiàn)性的,故解可以線(xiàn)性疊加。NS10逆散射變換法的常見(jiàn)寫(xiě)法則為非線(xiàn)性系統是初始狀態(tài)變化不導致后續狀態(tài)成h=-2nyy+{vyy(0)比例變化的系統,表現為非規則、不可預測、整體不亦即等于中國煤化工波動(dòng)力學(xué)中色散+a2y+|w}y=0(70a)引1起間結CNMHG能形成和規整空M上應用在光纖通信技式中a=-M/2m,而B(niǎo)取為1;為與別處的符號一術(shù)中,稱(chēng)為光孤子通信。非線(xiàn)性作用能奇妙地造成致,改y為F;又在一維條件討論,可把實(shí)系數標準有序性—孤立波(以及孤立子)在空間上局域、在中國傳媒大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版第15卷時(shí)間上長(cháng)壽表現出奇怪的穩定性?！?0世紀后被反射(右行),一部分透射過(guò)去(左行)。a(k,1)是期,法國數學(xué)家JH. Poincare(1854-1912)最先著(zhù)透射系數b(k,1)是反射系數并有|a|2+|b12=1;手研究非線(xiàn)性常微分方程,以滿(mǎn)足計算行星運動(dòng)和這類(lèi)似于電磁波傳輸時(shí)遇到不連續性時(shí)發(fā)生的情穩定性的需要。自 Poincare以后的百多年,非線(xiàn)性況。若t=0,有科學(xué)有了巨大的發(fā)展。所謂非線(xiàn)性方程的完全可積4(x)/e知+b(k)(x→+∞)性,是說(shuō)該方程描寫(xiě)的是多周期系統(即 Hamiltona(k)e系統)。對于KV方程的求解,當逆散射變換法成其中a(k)、b(k)分別為透射系數及反射系數。譜E功實(shí)現后就建立起KV方程的 Hamilton理論。關(guān)及C1、a(h)、b(k)合稱(chēng)為給定位勢散射量。令人驚于NS方程的求解改進(jìn)后的逆散射方法也獲得成奇的是若以KV方程的解作為公式(73)的位勢功隨之建立起NLS的 Hamilton理論。則散射量隨t的演化規律為考察如下的本征值方程(H為線(xiàn)性空間算子):地=砂當H=-(0/ax2)+U,上式即 Schrodinger方程(74)a(k,t)=a(k,0)d(a)+[E-U(x,1)1(z)=0(73)b(k,)=b(k,0)c如果已知x→∞時(shí)的波函數ψ,即可反過(guò)來(lái)決定ψ由上述關(guān)系,便找到了Kdv方程的求解方法?？蓮牡牟糠纸?。就是說(shuō)如果已知粒子沖擊位(勢)壘后U0(x)求得t=0時(shí)的散射量,利用式(74)寫(xiě)出t時(shí)散射到很遠處的情況就可以反過(guò)來(lái)部分地確定?？痰纳⑸鋮⒘?由之反解出t時(shí)的位勢。上述求解子沖擊位(勢)壘時(shí)的作用。如利用ψ的這個(gè)部分方法涉及 Schrodinger方程的逆問(wèn)題且有變換特點(diǎn)解能構造U(x,1)的解則只要尋求一種變換使ψ故稱(chēng)為逆散射變換法。此外,式(73)的位勢由于其與U的關(guān)系滿(mǎn)足式(73),初值問(wèn)題便解決了。這是譜E(1)=E(0),而被稱(chēng)為 Schrodinger方程的譜不逆散射變換法的基本思想。與式(73)相聯(lián)系的初變位勢。值問(wèn)題是KV方程及其初值。1968年,Iax發(fā)展了逆散射變換法,將967年, Gordner等為求解Kdv方程提出了逆 Schrodinger算子推廣到一般非自伴算子,這種變換散射變換法。若前述初始條件及邊界條件成立,可巧妙地把非線(xiàn)性問(wèn)題轉化為線(xiàn)性問(wèn)題。下面是逆散把KdV方程的解作為定態(tài) Schrodinger方程的位射變換法的運作程序①給定初值問(wèn)題U=U(k),(勢),則式(73)的散射量有確定的規律。這個(gè)定態(tài)U(z,0)=U(z);②尋找算子H使U成為譜不變位位勢方程有兩類(lèi)非平凡解,束縛態(tài)和散射態(tài)。束縛勢;③利用原問(wèn)題寫(xiě)出H的散射量演化規律;④由態(tài)時(shí)E的取值為某些小于零的離散值(本征值)。U0(z)求出t=0時(shí)的散射量,并寫(xiě)出t時(shí)刻的散射波函數是平方可積的。若把本征值記為E,則有歸量;⑤求解H的逆散射問(wèn)題(t時(shí)刻),確定位勢U化波函數中~Ce4(x→∞)而E=-k2;其中l1結論和討論C:=lim y (z)eN另外,當散射態(tài)時(shí)E>0,相應波函數不再為平方可(1)本文論述的時(shí)間跨度有200多年,從18世積但仍有界。且當x→∞,其行為就如同平面波的中期到20世紀后期。有一條主線(xiàn)貫徹全文那就是線(xiàn)性組合。令E=k,當U(x,t)>0,對應連續本征 Schrodinger方程,因為它是波動(dòng)力學(xué)的核心。前往值E的本征函數取如下漸近形式:奧地利旅行的人都看到在ema大學(xué)主樓內的v(x,t)→a(k,)e聲中國煤化工個(gè)公式ihψ=ψ(x,t)→e知+b(k,t)(x→∞)CNMHG這有明確的物理意義:當從2→∞向左人射一個(gè)單H(即春又的y-1單=);它確是智慧和美位強度的波遇到位(勢)壘U(x,1)散射后,一部分的化身值得人們長(cháng)久地回味。雖然 Schrodinger在第4期黃志洵:波動(dòng)力學(xué)的發(fā)展認識上也有錯誤,雖然本文提到的一些工作(如用Schrodinger方程分析光纖,如對Ns的研究)是后參考文獻人所為;但均無(wú)損于這位杰出物理學(xué)家的光輝……當然 L de broglie也作出了重要貢獻;除了物[1]范岱年,胡新和(譯).薛定諤講演錄[M].北質(zhì)波理論,20世紀50年代初他還關(guān)注非線(xiàn)性方程。京:北京大學(xué)出版社,20071956年他指出波方程中的非線(xiàn)性項將使表征粒子[2] Kline M. Mathematical thought from ancient的奇異解成為可能。1960年 de broglie出版了稱(chēng)為modern times[m]. New York: Oxford Universi《非線(xiàn)性波動(dòng)力學(xué)》的專(zhuān)著(zhù)。實(shí)際上,他一生都在ty Press, 1972.思索波粒二象性問(wèn)題,并力求從數學(xué)上作更好的描[3] Thomson w( Lord Kelvin). Mathematial and繪physical[MJ. Cambridge Cambridge U.(2)由波動(dòng)力學(xué)引發(fā)的非線(xiàn)性波方程(均為微niversity Press, 1884分方程)研究日趨復雜化和純數學(xué)化2。以NS[4] Heaviside O. Electromagnetic theory[M].Lon方程為例,它已發(fā)展為非穩定非線(xiàn)性 Schrodinger方don: Chelses Publ co. 1893程(UNLS),導數的非線(xiàn)性 Schrodinger方程[5]黃志洵,王曉金.微波傳輸線(xiàn)理論與實(shí)用技(DNS),變形的非線(xiàn)性 Schrodinger方程(MNUs)術(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,1996.反號的非線(xiàn)性 Schrodinger方程(NSs'),等等。此[6] Schelkunoff s a. Generalized telegraphist'se外,需要研究的還有非線(xiàn)性Kein- cordon方程quation for waveguides [J]. Bell Syst Tech(NKG),非線(xiàn)性Drac方程(ND),非線(xiàn)性Bom-hn-Jour,1952,3l(July):784-788feld方程(NB),以及Sine- Gordon方程等;令人眼7]倪光炯陳蘇卿,高等量子力學(xué)[M].上海:花瞭亂。我們希望今后的討論有助于物理學(xué)的發(fā)復旦大學(xué)出版社,2004展,而不是主要滿(mǎn)足數學(xué)家們的興趣。[8]胡金牛,申虹,氫原子和奇異原子的相對論(3)由于科學(xué)家和工程師們多年的努力,對電效應[M].量子力學(xué)朝花夕拾(第二輯).北磁波的理論研究和應用實(shí)踐都有了極大的進(jìn)展。這京:科學(xué)出版社,2007種情況常使人們誤以為對電磁波已有了透徹的了[9] Einstein A, Podolsky B, Rosen n. Can quan-解,但情況卻并非如此。例如, Maxwel方程組是tum mechanical description of physical reality be個(gè)矢量偏微分算子的方程組,它的求解在數學(xué)上面considered complete[ J]. Phys Rev, 1935, 47臨很大的困難。又如,按照矢量波函數空間理777-780論,旋量場(chǎng)空間與無(wú)旋場(chǎng)空間正交,故似乎可把[10]Bes. On the einstein- Podolsky- RosenMaxwell方程組分為兩個(gè)獨立的方程組。再如電磁paradox[]. Physics, 1964, 1: 195-200波并非像一般書(shū)籍所說(shuō)是由電流產(chǎn)生的,數學(xué)分析[11 Aspect A, Grangier P, Roger G. Experiment表明激勵電流是必須能與電磁場(chǎng)相互作用的電realization of Einstein- Podolsky-Rosen流。專(zhuān)家還指出波長(cháng)是一個(gè)復雜的量,實(shí)際上只Bohm gedanken experiment, a new violation of有平面波(或球面波)才有確定的波長(cháng),但可以證明Bells inequalities[ J]. Phys Rev Lett, 1982真正的平面波和球面波并不存在。實(shí)際的電磁波都49:91-96是賦形波束等相面變形造成各處波長(cháng)不同2。真[12] Schrodinger E. Quantisation as a problem of空中光速的定義至今亦不明確,光速在不同空間位proper values[J]. Annalen der Physik, 1926置的不同造成定義上的含混,如此等等。這些情況79(4):1-9兌明,對電磁波的研究仍然是任重道遠。筆者認為,[13出究中的幾個(gè)理論從波動(dòng)力學(xué)的發(fā)展可知,經(jīng)典電磁波方程應與量子中國煤化工-2007,9(4):6力學(xué)波方程聯(lián)系起來(lái)研究,才稱(chēng)得上是現代電磁理CNMHG論;故可以說(shuō)孤立地討論經(jīng)典場(chǎng)與波的時(shí)代已經(jīng)結[14] Evenson K m, Wells JS,etl. Accurate fre.quency of molecular transitions used in laser中國傳媒大學(xué)學(xué)報然科學(xué)版第15卷stabilization: the 3. 39 um transition in CH4and the 9.33 and 10 18 um transition in CO, [21] Zabusky N J, Kruskal M D. Interaction of sol[J]. Appl Phys Lett,1973,2:192-198.tons in a collisionless plasma and the recur-[15]葉培大,吳彝尊,光波導技術(shù)基本理論[Mrence of initial states[J]. Phys Rev Lett北京:人民郵電出版社,19811965,15:240-243[16]周樹(shù)同.光纖理論與測量[M].上海:復旦22] de broglie L Nonlinear wave mechanics[M]大學(xué)出版社,198New York: Elsevier Publ. 1960[17]曹莊琪.導波光學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,[23]黃念寧,陳世榮.完全可積非線(xiàn)性方程的哈2007密頓理論[M].北京:科學(xué)出版社,2005[18]陳士蔭等.海岸動(dòng)力學(xué)(第二版)[M].北[24宋文淼.矢量偏微分算子[M].北京:科學(xué)京:人民交通出版社,1995出版社,1999[19] Russell J S. Report on waves[J. Proc Roy[25]宋文淼,陰和俊,張曉娟.信息時(shí)代的物理Soc( Edinburgh), 1844, 2 319-324世界——實(shí)物與暗物的數理邏輯[M].北[20]黃志洵.孤立波理論與光孤子通信[J].北京:科學(xué)出版社,2006京廣播學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),197,(3)(責任編輯:龍學(xué)鋒)中國煤化工CNMHG