最優(yōu)化的量子操作

第33卷第2期湖北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)Vol.33 No.2_2011年6月Journal of Hubei University( Natural Science)Jun，2011文章編號:1000 - 2375(2011)02 -0136 -03最優(yōu)化的量子操作楊濤,徐國旺,閆旭東(湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢430068)摘要討論物 理系統在不同的正交態(tài)之間演化所需要的時(shí)間.首先討論了兩能級系統,隨后進(jìn)一步討論多能級系統.發(fā)現對多能級系統而言,在任意兩個(gè)正交態(tài)之間演化的時(shí)間是兩能級系統的2倍.這有利于在量子調控時(shí),進(jìn)行最優(yōu)化的量子操作.關(guān)鍵詞正交態(tài);最優(yōu)化;量子操作中圈分類(lèi)號0413. 1文獻標志碼A量子調控是目前量子信息領(lǐng)域的前沿熱點(diǎn)問(wèn)題之一.對于一個(gè)孤立的物理系統,如何確定量子系統態(tài)的數目,以及孤立系統從一個(gè)態(tài)演化到另外一個(gè)可區分態(tài)需要多長(cháng)時(shí)間,是量子調控必須回答的問(wèn)題.在一般的考慮下,這是兩個(gè)獨立又相關(guān)的問(wèn)題.首先,考慮在給定的物理限制下,系統可能處于多少個(gè)可區分態(tài)上,這是一個(gè)古老的問(wèn)題,關(guān)于可區分態(tài)的數目的計算直接導致普朗克常數引人到實(shí)際的物理學(xué)中,而且同時(shí)也是統計力學(xué)的基礎口這個(gè)問(wèn)題可以直接從量子力學(xué)中找到答案,也可以通過(guò)計算宏觀(guān)極限下系統可達到的相空間的體積來(lái)找到答案2.本文中討論系統從一個(gè)可區分態(tài)到另外一個(gè)可區分態(tài)演化所需要的時(shí)間,并且討論系統在單位時(shí)間內歷經(jīng)的最大可區分態(tài)的數目.這和量子調控中單位時(shí)間內可操作數目密切相關(guān).對一個(gè)量子系統而言,可區分態(tài)的概念很好定義,即如果兩個(gè)態(tài)是正交的,它們就是可區分的.量子態(tài)演化所需時(shí)間在以前文獻中已經(jīng)有相關(guān)的報道[3-8] ,但是并沒(méi)有給出一個(gè)確切的結果.特別地,一- 個(gè)量子系統從一個(gè)正交態(tài)演化到另外一個(gè)正交態(tài)所需要的最少時(shí)間以前也已經(jīng)用能量的方差來(lái)確定[~7].在本文中,將直接用系統的平均能量給出一個(gè)普適的下限.而且,對-一個(gè)宏觀(guān)系統而言,增加能量就意味著(zhù)系統正交態(tài)之間的演化速率正比例地增加了.1動(dòng)力學(xué)演化的最大速率這一部分簡(jiǎn)要分析一個(gè)量子系統演化的速率.在能量基上,量子時(shí)間演化能夠通過(guò)頻率分量的疊加來(lái)描述.這樣容易知道,給定一個(gè)最大的能量本征值,態(tài)演化的頻率應該遵從關(guān)系式: v≤hne (1如果取系統基態(tài)的能量為零,并考慮長(cháng)時(shí)間的演化,那么正如下面所討論的,這個(gè)關(guān)系式是正確的.此外,給定系統的平均能量E,有一個(gè)類(lèi)似的關(guān)系式:v≤E(2)這里再次取基態(tài)的能量為零.關(guān)系式蘊涵如下物理意義:使用適當的單位,一個(gè)宏觀(guān)系統的平均能量數值上等于單位時(shí)間內系統演化經(jīng)過(guò)的正交態(tài)數目.這也是系統長(cháng)時(shí)間演化的最大速率,其值是系統.在兩個(gè)態(tài)之間震蕩頻率的2倍.2正交態(tài)演化需要的時(shí)間這-部分將討論一個(gè)給定的物理系統從一個(gè)任意的狀態(tài)演化智門(mén)中國煤化工需要的最少的收稿日期: 2010-07 -20TYHCNMHG作者籬介:楊濤(1962 -),男,副教授;閆旭東,通信作者,教授,E-mail:yxdyxd2010@163. com.第2期楊濤等:最優(yōu)化的量子操作137時(shí)間. .任何一個(gè)量子態(tài)都可以寫(xiě)為其能量本征態(tài)的疊加:|ao>= Ec|E.>(3)這里以及整篇文章都將假定系統有離散的能譜,并且態(tài)已經(jīng)被標記，即相應于能量本征態(tài)的{| E,>}的能量本征值{E,}是遞減的.為了簡(jiǎn)化計算,仍選取基態(tài)的能量為零,即E, =0.取t為態(tài)|ao)演化到其-一個(gè)相應的正交態(tài)的時(shí)間.以下將證明,對一個(gè)固定的平均能量,時(shí)間t遵循如下的關(guān)系式:t≥4E(4)這個(gè)結果某種程度上令人驚奇,因為先前的結果給出關(guān)系式是以能量方差描述的: t≥4AE (5這暗示著(zhù)如果給定平均能量,為了獲得非常短的演化時(shí)間必須要求非常大的能量方差.下面將證明情況并不是這樣的.首先態(tài)(3)演化--段時(shí)間Ot后,相應的態(tài)變?yōu)?|aw)= Ec.eA |E,)(6)現在計算Q(Ot)= =1c。|'e畢(7)想要找到最短的時(shí)間Ot使得Q(Ot) = 0.注意到:Re()= .100(54)≥21+.*(1--(5*=+(i(5))=1- 0sr+ Im(Q) (8)這里使用了不等式cos(x)≥1- 2(x+ sin(x)),僅對x≥0有效.注意到對I的任意值,只要Q(0t)=0，4EAt(9)就有Re(Q) = 0,Im(Q) = 0,因此方程(8)可以化簡(jiǎn)為: 0≥ 1-工 p因此系統從態(tài)(3)演化到其-一個(gè)正交態(tài)所需要的最短時(shí)間為Ot = h/4E,方程(4)獲得證明.3正交態(tài)的循環(huán)在上一部分已經(jīng)知道,給定平均能量E的量子系統在兩個(gè)正交態(tài)之間演化的最短時(shí)間為h/4E.現在,我們計算-一個(gè)量子系統演化經(jīng)過(guò)N個(gè)正交態(tài)所需要的時(shí)間.在這-部分,將證明任何的演化經(jīng)過(guò)N個(gè)相互正交的態(tài)的循環(huán)所需要的時(shí)間為t≥NE(10)從這個(gè)式子可以看出,對形成封閉循環(huán)的長(cháng)時(shí)間演化,兩個(gè)正交態(tài)之間的演化時(shí)間將較(4)式增長(cháng)一倍. .注意到周期條件對組成初態(tài)的能量本征函數給了一個(gè)嚴格限制.如果| E,)貢獻給初態(tài)|ao),循環(huán)時(shí)間長(cháng)度為r,那么一-定有E,t/h=2xk, ,這里k,是整數.簡(jiǎn)化記號,有E,=k;e1,這里e1= h/t.這樣,最初的態(tài)可以表示為|ao> = 2c, |nei)(11)雖然描述并不包括簡(jiǎn)并的情況,但是簡(jiǎn)并的情況也符合本文中的討論.假設t=r/N是連續正交態(tài)之間的間隔.注意到et/h=2π/N,那么,m次時(shí)間間隔后，可以得到 =21c, |e=m(12)令|d,|= 2 |cr+N |2 是所有系數的求和,那么 =21d,|e-賀(m-m)=8mm (13)上式最后一步是因為這些態(tài)是正交的.注意到,如果所有的n都有|d.|' = 1/N,那么上式最后一個(gè)等號滿(mǎn)足.現在計算平均能量和正交演化時(shí)間之間的關(guān)系.一般的平均中國煤化工Cn+IN 1nT lNVTCHCNMH G(14)E=e21.湖北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第33卷但由于2|cr+N |'(n+lN)≥2 |Ce+IN |'n=n|d,1",并且|d,|°= 1/N,于是有(15)點(diǎn)六-.(N2=)由于e: = h/τ= h/Nt ,這個(gè)可以直接導出關(guān)系式(10).注意到如果所有的系數c,對n≥N都為零,那么上面的不等式變?yōu)榈仁?因此對態(tài),三六| nεl>(16)方程(10)可以取等號,也就是可以以最短的時(shí)間演化.4總結本文中討論量子系統在正交態(tài)之間的演化所需要的時(shí)間.對于兩能級系統,證明演化所需要的時(shí)間跟系統的平均能量有關(guān),同時(shí)也證明系統在多個(gè)正交態(tài)上演化所需要的時(shí)間，而且發(fā)現對多能級系統，長(cháng)時(shí)間演化導致平均在兩個(gè)正交態(tài)之間演化所需要的時(shí)間是兩能級的2倍.這對于尋找量子系統的最優(yōu)化的調控方式,具有重要的理論價(jià)值.參考文獻:[1] Klein M J, Planck. Entropy and Quanta, 1900-1906[J]. The Natural Philosopher, 1963(1) :83-108.[2] Maslov V P, Fedoriuk M V. Semi-classical approximation in quantum mechanics [M]. Dordrecht: Reidel,1981.[3] BenioffP A. The computer as a physical system[J]. Int J Theor Phys, 1982.21: 177-201.[4] Feynman R P. Quantum mechanical computers[J]. O)pt News, 1985,11:11-20.[5] Levitin L B. Physical limitations of rate, depth, and minimum energy in information processing[J]. Int J TheorPhys. 1982 ,21: 299-309.[7] Fleming G N. A unitary bound on the evolution of nonstationary states [J]. Nuovo Cimento A, 1973,16:232-240.Optimal quantum operationsYANG Tao, XU Guowang, YAN Xudong(College of Science, Hubei University of Technology, w uhan 430068, China)Abstract Discussed the time needed for a system that evolves among different orthogonal states.Not only the two energy level system but also the system with many energy levels were discussed. Wfound that the time needed between any two orthogonal states for the system with many energy levelswas double that needed by the system with two energy levels. The results were important for optimaloperation on a quantum system.Key words orthogonal states; optimal ;quantum operation(責任編輯趙燕)中國煤化工MHCNMH G.