基于FFT的空間重采樣算法的性能分析

2013年7月川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第50卷第4期Journal of Sichuan University (Natural Science EditionVol 50 No 4doi:103969iss.0490-6756.2013.04.022基于FFT的空間重采樣算法的性能分析賈巨庫,何培宇,張勇(四川大學(xué)電子信息學(xué)院,成都610065)摘要:空間重釆樣方法是一種不需要角度預估計的寬帶DOA估計方法,它利用相位聚焦的方法實(shí)現寬帶信號中不同信號子帶的信號子空間的一致.而基于FFT變換的空間重采樣算法利用傅里葉變換特性實(shí)現空間采樣頻率的變換,但此方法對陣元的選擇以及參考頻率的選擇等都有一定的要求,本文從陣元個(gè)數、參考頻率、子帶劃分、信號入射角度以及信號帶寬等多個(gè)方面對基于FFT空間重采樣算法進(jìn)行了全面細致的性能仿真分析,為該方法的應用推廣、工程實(shí)現提供了較為有意義的參考關(guān)鍵詞:寬帶DOA;傅里葉變換;空間重采樣;性能分析中圖分類(lèi)號:TN912文獻標識碼:A文章編號:0490-6756(2013)4-0781-06The performance analysis of spatial resampling based on FFTJIA Ju-Ku, HE Pei-Yu, ZHANG Yong(School of Electronics and Information Sichuan U niversity Chengdu 610065, ChinaAbstract: Spatial resampling is a wideband direction of arrival (DOA )estimation method with no need topre-estimate the angle of incidence. It uses phase focusing to uniformize the subspaces of wideband signals sub-bands. The spatial resampling method based on FFT uses the Fourier transform to adjust thespatial resampling rate. Yet, the performance of the spatial resampling method based on FFT largely depends on such factors as the amount of array elements choice of the reference frequency, etc. A detailedperformance analy sis of the spatial resampling method based on FFT is given. This analysis is givenfrom multiple aspect, e.g. number of array elements, reference frequency, sub-band division, angles ofincidence, signal bandw idth, etc, w hich makes it a valuable reference for follow-up study and engineering implementationKey words wide-band DOA, fourier transform, spatial resampling performance analy sis引言的預估計,且最終測向結果很大程度上受到預估計結果準確性的影響目前,對寬帶信號的DOA估計,主要分為有為了避免因初始方位角的估計而引入誤差,文兩類(lèi)方法:基于非相干信號的處理方法(ISM)和基獻[1提出了廣義陣列流型內插算法,引入了指向于相干信號處理方法(CSM).ISM算法主要問(wèn)題矢量的貝塞爾函數近似表達式,從而將方向矩陣變在于計算量大,無(wú)法估計相干信號源CsM算法可換中國煤化工有關(guān),另一部分與頻率分辨相干信號源,分辨率較高,但需要進(jìn)行方向角有HCNMHG函數表示導向矢量時(shí)收稿日期:2012-06-11基金項目:國家自然科學(xué)基金(6作者簡(jiǎn)介:賈巨庫(1987—),男,河北衡水,2010級碩士研究生,主要研究方向為信號處理理論通訊作者:何培宇,E-mlil:spysbsya163.com四川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第50卷引入了誤差,而且要獲得聚焦矩陣需要在每個(gè)子帶a(內進(jìn)行特征值分解,因此運算量很大文獻2道首先1cxp(-jgn)…cxp(j(M-1)gn)提出將一組陣元輸出數據看做是空間信號的離散k=1,2…,K;p=1,2…,P采樣值,以此作為空間頻率的概念,信號通過(guò)頻率映射濾波器達到空間頻率的變換,即陣元間距的變式中,gn=2ml/sin/e,4為第p個(gè)目標的入射換,從而得到虛擬陣列輸出角文獻[3]同樣應用此概念提岀了插值矩陣的方對于寬帶信號,在信號與噪聲相互獨立的條件法文獻[4利用FFT變換實(shí)現虛擬陣元間距的變下,子帶f的協(xié)方差矩陣表示為R()滿(mǎn)足換,文獻[5對文獻[2]和[4中的兩種方法進(jìn)行了R(A)=E X(X"(R)H比較,得出基于FFT變換的空間重采樣算法更優(yōu)A(fuR(fu)A"(f*)+ Ro(fa的結論從目前的文獻來(lái)看還沒(méi)有對基于FFT的式中,R(fA)=ES(f)S"(f),R()為噪聲空間重采樣算法較全面而細致的性能分析,本文從協(xié)方差矩陣參考頻率、陣元個(gè)數、劃分子帶個(gè)數、信號入射角度以及信號帶寬等多個(gè)方面對基于FT空間重采樣3空間重采樣算法進(jìn)行了全面細致的分析,以期為該方法的推廣由式(1)和式(2)可以看到,方向矩陣不僅與信和工程應用提供較為有意義的參考號的入射角度aaG有關(guān),而且與信號的2信號模型頻率有關(guān),那么不同子帶的陣列流型隨頻率的變化而變化,這就造成了寬帶信號各子帶的信號子空間由M個(gè)陣元組成的均勻線(xiàn)陣,各陣元間距為不同,對單獨一個(gè)信號而言,其陣列流型中的第md,為避免相位模糊,d為入射信號最高頻率所對行第k列元素為應波長(cháng)的一半空間中有P個(gè)遠場(chǎng)寬帶信號,占有exp((j(n-1)2dfisin0/c))相同的帶寬,其入射方向分別為a,a…,鼻,則第(4)m個(gè)陣元上接收到的信號可表示為由式(4)可以看到,要保持不同頻率處的陣列流型tn(t)s(t+(m-1) dsin a/c)+m(t)相同,需滿(mǎn)足dfk=C(C為常數2…,M;p=1,2…,P這樣,在不同頻率處可以得到相同的陣列流(1)型式中,s(t)為p方向入射的寬帶信號,ma(t)為加通常我們選用既定的某一參考頻率f及其實(shí)性高斯噪聲,c為波的傳播速度際物理陣元間距d的乘積作為常數C,即若將寬帶信號劃分為K個(gè)子帶,則其f處的dfk= fo do= c頻域表達式則與f頻率對應的陣元間距可以表示為對應頻率tm(ft)的函數S,(fk )exp(j2 Tf(m-1)dsin B/c)+ nm(L)d(fa)=d fo/fs(7)k=1,2…,K1,2……,MP0=f0/f由式(7)可得:為了使得不同的頻率子帶對應則陣列的輸出矩陣形式可表示為相同的信號子空間,當子帶的中心頻率壓縮p倍X(f)=x(f)x(f)…xw(f)時(shí),所對應的陣列間距應擴展p倍A(&S(f)+N(f)對于均勻線(xiàn)陣作Y中國煤化子果排可以將A(f)=[a(f)a(A)…a(n)同1不則,到的一組陣元數據看(f)=(f)s(f)P(f4)作對入射信號進(jìn)行了多次時(shí)域采樣.因此可以應用A(/)是M×P維的方向矩陣,其中元素表示為信號的時(shí)域處理方法處理這組陣列接收數據4期賈巨庫,等:基于FFT的空間重采樣算法的性能分析b)a>1時(shí),D= Round(M/a)+M,對X:()插零個(gè)數為(D-M)×N點(diǎn)其中 Round(·)表示取最接近的整數,4)獲得虛擬陣的采樣輸出a)p≤1時(shí),對插零后的X(f)進(jìn)行D點(diǎn)的逆FFT變換,直接得到虛擬輸出X(f)圖1陣列信號接收示意圖b)p>1時(shí),對插零后的X(f)進(jìn)行D點(diǎn)Fig 1 Schematic of receiving array signal的逆FFT變換,并按照( Round(p)+1)間隔取行數據得到X(f);傅里葉變換性質(zhì):然后,取X(f)的前D行作為虛擬陣的采樣x(d) X(u)(8)輸出X.(f)5)利用虛擬陣列輸出,估計聚焦后的采樣協(xié)信息擴展p倍同樣,也可以通過(guò)變換信號的頻域方差矩陣信息來(lái)實(shí)現其時(shí)域信號采樣率的偽變化R A2X,(F)X,(fi)這里,可將陣元接收的一組快拍數據看作入射信號的短時(shí)序列,傅里葉變換到頻域,在頻域對其6)利用窄帶的 MUSIC算法進(jìn)行DOA估計進(jìn)行補零擴展,傅里葉反變換后,實(shí)現了信號空間4實(shí)驗仿真采樣率的偽變化,即虛擬陣元間距的變化,如圖2所示實(shí)驗一信號入射角度對算法影響實(shí)驗條件:接收陣列是一個(gè)15陣元的均勻線(xiàn)陣,陣元間距為信號最高頻率對應波長(cháng)的一半,人射信號為相干信號,中心頻率為2000Hz,相對帶寬50%,快拍數N=200,劃分子帶21個(gè),空間重采樣算法的參考頻率選擇為信號的最低頻率1500Hz,重復獨立試驗次數為30次,采樣率為40kHz噪聲為高斯白噪聲,信噪比SNR=10dB圖2空間重采樣變換后陣列示意Schematic of array af ter spatial resampling將寬帶信號劃分為K個(gè)互不重疊的子帶,每個(gè)子帶滿(mǎn)足窄帶信號的假設,子帶中心頻率為f(k=1,2…,K),參考頻率為∫m(一般設為信號的最低頻率),為了獲得各個(gè)子帶信號子空間的致需要的陣列輸出個(gè)數D=Mf1/fm(f為信號的最低頻率),對于第k個(gè)子帶,陣列的輸出為X(f)=[X1(f),X2(f)…,X(f),那么利用FFT插值的寬帶信號方位估計步驟如下:-50-40-30-20-10010203040501)對每個(gè)子帶的采樣輸出X(f)做M點(diǎn)的時(shí)角度(°)FFT變換,得到X()中國煤化工2)計算當前頻率與參考頻率的對應關(guān)系:aCNMHG重采樣算法的影響g 3 Incident angles impact on spatial resampling3)對X:()進(jìn)行插零由圖3可知,沿陣元法線(xiàn)方向入射信號的估計a)p≤1時(shí),D= Round(M/),對x()誤差最小,隨偏離法線(xiàn)程度的增大,計誤差逐漸插零個(gè)數為(D-M)XN點(diǎn)784四川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第50卷變大,當超過(guò)40°時(shí),估計誤差急劇增大,因此此算法的估計角度范圍較窄,對其工程應用范圍產(chǎn)生定限制實(shí)驗二參考頻率對算法的影響實(shí)驗條件:接收陣列是一個(gè)15陣元的均勻線(xiàn)陣,陣元間距為信號最高頻率對應波長(cháng)的一半,入射信號為相干信號,中心頻率為2000Hz,相對帶寬50%,入射角度分別為10°、14°,劃分子帶21個(gè),快拍數N=200,重復獨立試驗次數為30次,采樣率為40kHz,噪聲為高斯白噪聲,信噪比SNR=10dB.空間重采樣算法采用信號最低頻1500170019002100率作為參考頻率參考頻率(Hz)圖4中平均誤差值為同一參考頻率下的三個(gè)圖4參考頻率對空間重采樣算法的影響入射信號估計角度的誤差平均值,由圖4可知,參ig. 4 Reference frequency's impact on spatial考頻率為信號最低頻率1500Hz時(shí),均方誤差只有amp20dB,算法在參考頻率為1700Hz時(shí),估計誤差最小,由第二部分的操作步驟可知,虛擬陣元個(gè)數D= Round(M//f),虛擬陣元D的估計與參考頻率f有關(guān),當f/f為整數時(shí),不存在D的近似估計,所以參考頻率f的選取對于估計的準確性有一定的影響.同時(shí),在不以信號最低頻率作為參考頻率fm時(shí),則p>1,如果入射信號帶寬過(guò)大,且算法不以最低頻率作為參考頻率時(shí),在進(jìn)行操作步驟中的第4步時(shí)就可能出現只能獲取單個(gè)采樣輸出的現象,即只獲取一個(gè)虛擬陣元數據,就無(wú)法進(jìn)行DOA估計,因此選取高頻作為算法的參考頻率時(shí),會(huì )對入射信號的帶寬有一定的要求,0.4應用范圍變窄相對帶寬實(shí)驗三信號帶寬對算法的影響圖5信號帶寬對空間重采樣算法的影響實(shí)驗條件:接收陣列是一個(gè)15陣元的均勻線(xiàn)Fig 5 Signal bandw idths impact on spatial resampling陣,陣元間距為信號最高頻率對應波長(cháng)的一半,入射信號為相干信號,中心頻率為2000Hz,角度分實(shí)驗條件:接收陣列是一個(gè)15陣元的均勻線(xiàn)別為-20°、-10°、14°,快拍數N=200,劃分出的陣,陣元間距為信號最高頻率對應波長(cháng)的一半,入子帶頻率間隔為100Hz,空間重采樣算法的參考射信號為相干信號,中心頻率為2000Hz,相對帶頻率選擇為1500Hz,重復獨立試驗次數為30次,寬50%6,度分別為-20°、-10°、14°,快拍數N采樣率為40kHz,噪聲為高斯白噪聲,信噪比200,重復獨立試驗次數為30次,采樣率為40SNR=IO dBkHz,噪聲為高斯白噪聲,信噪比SNR=10dB.空圖5中,均方誤差值為同一帶寬下3個(gè)信號估間平田位是征頻率作為參考頻率計角度均方誤差的平均值,由圖5可知,在相對帶中國煤化工帶子帶劃分個(gè)數下寬為0.1時(shí),均方誤差只有—30dB左右,相對帶3CNMH的平均值,由圖6可寬為06處,算法取得最佳估計效果,基于FFT空知,相同帶寬條件下,在子帶數為10與50處算法間重采樣算法的估計效果隨著(zhù)帶寬變大而變好,當取得最好估計效果,子帶數為20與30處,效果較相對帶寬超過(guò)一定界限時(shí),估計效果開(kāi)始變差差,由第二部分的操作步驟可知,虛擬陣元個(gè)數Dk實(shí)驗四子帶劃分對算法的影響= Round(Mf/f),從仿真條件可計算得,參考頻4期賈巨庫,等:基于FFT的空間重采樣算法的性能分析率f=1500Hz,頻帶寬度為1000Hz,當子帶數f、fm確定后,陣元個(gè)數M變換導致了估計虛擬為10時(shí),Mf/f計算結果均為整數,即計算虛擬陣元D時(shí)的誤差不同,所以性能存在差別,因此算陣元個(gè)數D時(shí)不存在近似計算問(wèn)題,當子帶個(gè)數法對陣元個(gè)數也有一定的要求,并非陣元個(gè)數越多分別為20、30、40、50時(shí),Mf/f計算所得結果中越好有小數存在,因此需要對其進(jìn)行取整處理,這就造成了D的估計誤差不同,在子帶數為20處取整時(shí)造成誤差較大,最終DOA估計效果較差,而子帶數為50處時(shí)取整造成誤差較小,則所得DOA估計效果也較好.因此,當陣元個(gè)數以及參考頻率確定時(shí),虛擬陣元D估計誤差的大小與各子帶中心頻率f的選取有關(guān),當劃分子帶個(gè)數合理時(shí),能有效減小甚至消除虛擬陣元D的估計誤差,從而提-100高DOA的估計性能140陣元個(gè)數圖7陣元個(gè)數對空間重采樣算法的影響Fig 7 Number of array eler4結論基于FFT的空間重采樣算法與CSM算法的思想相同,均為利用聚焦思想將各子帶的信號子空0.20.40.6相對帶寬間對齊后疊加,因此此算法保持了解相干的能力,同時(shí)也不需要進(jìn)行角度的預估計.空間重采樣算法圖6子帶劃分個(gè)數對空間重采樣算法的影響的有效估計范圍在-40°~40°之間,估計范圍較Fig 6 Sub-band divisions impact on spatial resampli窄,其工程應用范圍產(chǎn)生一定限制.因為噪聲為獨實(shí)驗五陣元個(gè)數對算法的影響立的,利用時(shí)頻域變換的方法進(jìn)行原始信號的插值實(shí)驗條件:接收陣列為均勻線(xiàn)陣,陣元間距為估計不可避免的出現誤差,同時(shí)由D=信號最高頻率對應波長(cháng)的一半,入射信號為相干信Round(Mf/f)可以看出,插零個(gè)數與陣元個(gè)數、號,中心頻率為200Hz,相對帶寬50%,角度分別參考頻率以及子帶中心頻率有關(guān),且需要近似取整為-20°、-10°快拍數N=20,劃分頻率子帶數,這樣也不可避免的引入誤差因此基于FFT空21個(gè),空間重采樣算法的參考頻率選擇為150間重采樣算法對陣元個(gè)數、參考頻率、子帶劃分個(gè)數等都有一定的要求,在選擇陣元個(gè)數、參考頻率Hz,重復獨立試驗次數為30次,采樣率為40kHz,及子帶劃分數時(shí)盡量保證計算出的虛擬陣元數噪聲為高斯白噪聲,信噪比SNR=10dB圖7中均方誤差值為同一陣元個(gè)數下3個(gè)信M為整數,進(jìn)而減小誤差,在保證以上條件情況號估計角度均方誤差的平均值,由圖7可知,在低下,此算法能取得較好的估計效果陣元個(gè)數時(shí)算法估計效果較差,隨著(zhù)陣元個(gè)數增參中國煤化工加,估計效果逐漸變好,且均方誤差基本保持在CNMHG[1 Doron MA, Doron E. Weiss A J Coherent wide-80dB左右,而在陣元數為16時(shí),估計效果達到最rayJ好從計算虛擬陣元個(gè)數D= Round(Mf/f)可IEEE Trans. Signal Processing, 1993, 41: 414看出,虛擬陣元D的估計不僅與各子帶頻率∫、[2] Krolik j, Swingler d. Focused wide-band array pro-參考頻率∫m有關(guān),也與實(shí)際陣元個(gè)數M有關(guān)cessing by spatial resampling [J]. IEEE Trans AS四川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第50卷SP,1990,38(2):33 Friedlander B, Weiss A J. Direction finding for wide[71 Debasis Kundu Modified M USIC algorithm for estiband signals using an interpolated array [J. IEEEating dOa of signals [J]. IEEE Signal ProcessingTrans Signal Processing, 1993, 41(4): 16181996,48:85[4]朱維杰,孫進(jìn)才.基于快速富式變換插值的寬帶信號[8] Prasad K p, Satyanarayana P. Fast interpolation al-方位估計[J],聲學(xué)學(xué)報,2002,27(6):513orithm using FFT [J. Electronics Letters, 1986[5]田野,趙春暉.兩種實(shí)現寬帶信號空間重采樣測向算法的比較[J]現代電子技術(shù),2008,272(9):1456]趙春暉,黃光亞,李剛.基于FFT變換的空間重采樣[責任編輯:伍少梅]寬帶Root- Music算法].應用科技,2007,32(3):中國煤化工CNMHG