擬線(xiàn)性熱方程的函數分離變量解

2012年4月純粹數學(xué)與應用數學(xué)Apr.2012第28卷第2期Pure and applied mathematicsVol. 28 No. 2擬線(xiàn)性熱方程的函數分離變量解婁丹,謝離麗(西北大學(xué)數學(xué)系,陜西西安710069)摘要:用群狀結構法硏究擬線(xiàn)性熱方程的分離變量解,對于允許和型分離變量解的二階擬線(xiàn)性熱方程給出了一個(gè)完整的分類(lèi).說(shuō)明了一些帶有函數類(lèi)型反應項的方程具有函數分離變量解,推廣了前人的結論,關(guān)鍵詞;函數分離變量解;群狀結構法;擬線(xiàn)性熱方程中圖分類(lèi)號:O175.2文獻標識碼:A文章編號:1008-5513(2012)02-0242051引言本文研究帶有反應項的擬線(xiàn)性熱方程ut=(K(uux)x+A(a)K(u)ux+ D(a)的函數分離變量解,其中K(u),D(l)均為足夠光滑的函數.分離變量法是用來(lái)解決數學(xué)物理中的帶有初邊值條件偏微分方程的有效方法.李點(diǎn)對稱(chēng)的方法在帶有變系數的線(xiàn)性偏微分方程的分離變量解的研究中扮演了十分重要的作用2.對非線(xiàn)性的偏微分方程而言,一個(gè)自然的問(wèn)題就是它們是否存在分離變量解.因此,研究非線(xiàn)性偏微分方程的分離變量解是有意義的例如文獻③對帶有熱源項的非線(xiàn)性反應-擴散方程ut=(D(u)ur)x+b(cQ(u),B2+0的函數分離變量解作了具體的研究對于(mn+1)維非線(xiàn)性偏微分方程:E(t, u, ux, ut, Wrr, Urt, utt, ...)=0這里u=u(x,t),x=x(x1,x2,…)如果方程(2)有形如u=(x)+v(t)的解,稱(chēng)之為和形式的分離變量解;如果方程(2)有形如u=φ(x)v(t)的解,則稱(chēng)之為乘積形式分離變量解如果方程(2)有形如∫(u)=φ(x)+(t)的解,這里f(au)≠u(mài),f(u)≠lt,稱(chēng)之為函數分離變量解.研究表明許多非線(xiàn)性偏微分方程有函數分離變量解.收稿日期:2011-05-20.基金項目:國家自然科學(xué)基金(10671156)作者簡(jiǎn)介:婁丹(1985-),碩士生,研究方向:偏微分方程第2期婁丹等:擬線(xiàn)性熱方程的函數分離變量解243文獻3-5中分別研究了方程ut=(D(u)ux)z+ B(a)Q(u),=(D(u)u)x+B(x)Q(),ut=(A(a)D(u)ux)x+ b(a)Q(a)的函數分離變量解,下面將討論帶有反應項的擬線(xiàn)性熱方程(1)的函數分離變量解2群狀結構法如果方程(2)中的E不顯含t,則設ux=G(x,u),w=F(x,u)運用群狀結構法6,得到如下方程組Fx +GFu= Fgu(3)E(a, u, F, G, Fx, Gx, Fu, Gu,".)=0為了獲得方程(2)的函數分離變量解,令G(x,u)=9(x)h(u),從(3)式第一個(gè)方程可以解出F(x,t),得F(x,)=h()f(m)n0=C“4+-0)=/m(4)從而得到如下形式的函數分離變量解h(sg(y)dy +n(t)3擬線(xiàn)性熱方程的函數分離變量解下面考慮方程(1),根據群狀結構法理論,把G(x,u)=9(x)h(u),F(x,u)=h(u)f(m)代入到方程(1)中得到∫滿(mǎn)足:Df=gxK+g(Kh)u+Agkth這里方程(1)具有(5)式確定的函數分離變量解注意到∫是不依賴(lài)x的函數,于是對(6)式兩邊關(guān)于x進(jìn)行微分,得到n5+90hKn+20(b)+(402+92(Kh)mnh+42hkn+gDn+9Dhn=0.(7)這里考慮h(ω)=1的情況,此時(shí)方程(1)有和型的分離變量解:H(u)=t=/9()dy+m(t)244純粹數學(xué)與應用數學(xué)第28卷方程(7)意味著(zhù):gxrK+3ggxKu+g Kuu+(Ag)K+ AgKu+gDu=0記r代表由g,9,93,(Aq)x,Ag2,9張成的線(xiàn)性空間,dimr=2.根據r的維數,求解方程(8)決定的函數K(x)和D(u)的表達式情形1dimT=2此時(shí)A和g滿(mǎn)足下面的方程組g3=a19+a24g2,(Ag)x=b1g+b24g2其中a1,a2,b1,b2均為實(shí)數.將(9)式代入方程(8)得到函數K(u)和D()滿(mǎn)足下列的ODE系統2+b1K+oa2b1Ku +a1Kuu+Du=0,2+b2)K+3a2b2n+a2m+Kn=0.下面分情況討論方程(10)的解(i)a2=0,b2≠0K(u)=c1e-bzu(u)=(+a2b2c1e-b2+c2,b2其中c1,c2以及以后出現的c3均為積分常數.(i)a2=0,b2=0.K(u)D()=-b2C1+(il2≠0.令△=(2+b2-8a2b(a22+2)=(02h2-2,61=-2+2,b2=-b2(a)當△>0,b2≠0時(shí)K(u)=c1e-01x+c20(u)=-m1e-61-me2e92+c3,其中61+anb2a2b1+a1b2b(b)當△>0,b2=0時(shí)K(u)=a1 a2b)c2emu-b1Ciu第2期婁丹等:擬線(xiàn)性熱方程的函數分離變量解245其中m=-1(c)當△=0時(shí)K(u)=(D(u)=-(mc +nc2e-o1u-mc2ue02u+ C3其中b=b2如-動(dòng)情形2dim=3.此時(shí)A和g滿(mǎn)足下面的方程組99x=a19+a2g°+a3Ag11)(Ag)x=b19+b29+b3A92其中a1,a2,a3,b1,b2,b3均為實(shí)數.將(11)式代入方程(8)得到函數K()和D(u)滿(mǎn)足下列的ODE系統(2a203+a3b3+b)K+(3a3+1)Kn=0,2a2+a3b2 +b2)K+3a2Ku+Kuu=0(2a1a2+a3b1+b1)K+3a1Kn+Da=0.下面分情況討論方程(12)的解.令a2-4(a3+1)b2(i)當△>0時(shí),分以下幾種情況:0,b2≠0K(u)=cie u+C2e-ouD(u)=(Mb1-3a)e2e-0u-(Xb1+3a1)c1e+c3其中a3+1,(a3+1)63+(303+1)b2=0,6(b)a2=0,b2=0Ctua1a2+e12-(2a1a2c2+2b1c3+3a1c1)+e3,其中(c)a2≠0,b2=0K(u)D+nce246純粹數學(xué)與應用數學(xué)第28卷其中(a3+1)(b3-a2)b12(i)當△<0時(shí),K(u)=e(c1 cos(Bu)+C2 sin(Bu))CC2)+C1入2+B1C1cOSx2+B2m+301c2edu sin(u)+其中入B△,a3=-,m=2a1a2+b14結論本文利用群狀結構法討論了擬線(xiàn)性熱方程的函數分離變量解問(wèn)題.結論是對于某些具有函數類(lèi)型反應項的方程,能得到函數分離變量解參考文獻[1 Bluman G W, Kuwei S Symmetries and Differential Equation M. New York: Springer, 1989[2 Miller W. Symmetry and Separation of Variables[M]. Reading: Addison-Wesley, 1977.3 Qu C Z, Zhang S L Group foliation method and functional separation of variables to nonlinear diffusionequation[J. Chin. Phys. Lett., 2005, 22(7): 1563-15664 Qu C Z, Zhang S L. Extended group foliation method and functional separation of variables to nonlinearwave equations[J. Commun. Theor. Phys., 2005, 44: 577-5825 Hu Y, Qu CZ, Yin Hui. Functional separable solutions to nonlinear diffusion equations by group foliationmethodJ. Commun. Theor. Phys., 2007, 47: 193-196左蘇麗.運用群狀結構法求非線(xiàn)性波方程的函數分離變量解門(mén)J.廈門(mén)大學(xué)學(xué)報,2008,47(1):12-157]勾明.擬線(xiàn)性波方程的函數分離變量解J蘭州大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2009,45(1):107-11Functional separable solutions to quasi-linear heat equationLou dan. Xie lili(Department of Mathematics, Northwest University, Xi'an 710069, China)Abstract: In this paper, we considered the separable solutions to the quasi-linear heat equation with the groupfoliation method. A classification was carried out for the second order heat equations which admit additiveseparable solutions. The result is an extension of some known conclusions about the functional separation ofvariable solutionsKey words: functional separable solution, group foliation method, quasi-linear heat equation2010MsC:38Q80