Cantor集的結構及應用

Cantor集的結構及應用阮世華(莆田學(xué)院數學(xué)學(xué)院,福建莆田351100摘要] Cantor集是實(shí)函數論中一類(lèi)重要的集合本文從 Cantor集的構造過(guò)程以及構造拓展中得到相關(guān)的應用.目的是幫助初學(xué)者對 Cantor集有一個(gè)較全面的認識關(guān)鍵詞] Cantor集;結構;完備集[中圖分類(lèi)號]0174.1[文獻標志碼]A[文章編號]1671-5330(2015)05-0141-02Cantor三分集是 Cantor在解三角級數問(wèn)題時(shí)1/p2的同心開(kāi)區間;第三步,在留存的四個(gè)閉區間做出來(lái)的,它具有若干重要特征,常是我們構造重中再移去長(cháng)度為1/p的同心開(kāi)區間繼續要特例的基礎此過(guò)程,可得一列移去的開(kāi)區間,記其并集為Cantor三分集G(開(kāi)集),則G的總長(cháng)度為8我們稱(chēng)Cn=[0將閉區間[0,1]三等分,去掉中間的開(kāi)區間1]VG為類(lèi) Cantor集(當p=3時(shí),C就是 Cantor1.2,剩下兩個(gè)閉區間0,12.1.又把這分集)C也是非空完備集,且沒(méi)有內點(diǎn)更一般的,已有文獻對[0,1做相關(guān)的構兩個(gè)閉區間各三等分,去掉中間的兩個(gè)開(kāi)區間,即造,所得到的點(diǎn)集也具有 Cantor三分集完全相同1278般地,當進(jìn)行到第n次時(shí)的奇特性質(zhì),這里我們就不詳述3 Cantor集構造拓展后的應用共去掉2個(gè)開(kāi)區間,剩下2個(gè)長(cháng)度是3的互(0,1)中的每個(gè)實(shí)數都可以唯一地表示為p相隔離的閉區間,而在第n+1次時(shí),再將這2個(gè)進(jìn)位正規表示“,其中p是任意的大于1的正整閉區間各三等分,并去掉中間的一個(gè)開(kāi)區間,如此數Canr三分集與三進(jìn)位中用不著(zhù)數字1的小繼續下去,就從[0,1]去掉了可數個(gè)互不相交的數集之間有對應關(guān)系.將[0,1]中的實(shí)數按三進(jìn)開(kāi)區間,剩下的集稱(chēng)為康托爾三分集P.眾所周位小數展開(kāi),則 Cantor集中點(diǎn)x與下述三進(jìn)位小知,由此構造的 Cantor三分集是測度為0的疏朗完備集,而且具有連續基數它的這一巧妙構思也數集的元x=∑a3,a=0,2一對應那么,為解決一些問(wèn)題提供啟示根據 Cantor集構造的拓廣這個(gè)特點(diǎn),我們可證2 Cantor集構造法的拓展明:用十進(jìn)制小數表示[0,1]中的數時(shí),其用不著(zhù)在[0,1]中做出總長(cháng)度為8(0<8<1是任數字7的一切數成一完備集意給定的數)的稠密開(kāi)集.為此,取p=(1中國煤化小數表示[0,1]中的2δ)/δ,并采用類(lèi)似于 Cantor集的構造過(guò)程:第的一切數也是完備集CNMH步,我們移去長(cháng)度為1/p的同心開(kāi)區間;第二步疋世小效與[0,1]中任一數表成在留存的兩個(gè)閉區間的每一個(gè)中,又移去長(cháng)度為0.a1a2…an…,其中an(n=1,2…)是0,1,…9中收稿日期]2015-03-10[作者簡(jiǎn)介]阮世華(1977-),女,福建莆田人,講師,主要從事研究方向為多復變函數研究142安陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報2015年的一個(gè)數,把[0,1]十等分,去掉第七個(gè)左開(kāi)右閉例321設區間6.7及第八個(gè)左閉右開(kāi)區間7.8,即10’1010’10E={x∈[0,1去掉其中的開(kāi)區間5.8,于是表示式中a1=6an=2或7},我們有八個(gè)區間的每一個(gè)再進(jìn)行十等分,去掉各自的第E是閉集;2E=c;③E在[0,1]中不稠或7的小數全部去掉6=0.59,然后把余下的七個(gè)左開(kāi)右閉區間以及第八個(gè)左閉右開(kāi)區間,即證:①若有{xm}CE:xm→x(m→∞),則又去掉一個(gè)大的開(kāi)區間。于是表示式中a2=6或r=∑b,10(b,=0,1,2,…,9)類(lèi)似于7的小數全部去掉(對分點(diǎn)的小數仍規定以9為循如果|xm-x1<10",那么在xm∈E時(shí)環(huán)節)繼續這一過(guò)程,去掉的這些開(kāi)區間有可數2或7(n=1,2,…,P-1),從而E是閉集多個(gè),且彼此不相交,又無(wú)公共端點(diǎn),與[0,1]也②如同0和1組成的數列類(lèi)似,E=c無(wú)公共端點(diǎn),所以[0,1]中用不著(zhù)數字6和7的③由于E∩(0.28,0.7)=b,故E在[0,1切數成一完備集中不稠密.例2證明:用十進(jìn)制小數表示[0,1]中的例421試作一個(gè)由無(wú)理數構成的完備集數時(shí),其用不著(zhù)數字5和7的一切數成一完備集證:用十進(jìn)位小數可將[0,1]中任一數表成證:由于有理數集是可數集,所以可設[2,0.aa…an…,其中an(n=1,2…)是0,1,…9中3]中的有理數全體為{rn},n=1,2,…類(lèi)似于的一個(gè)數字,把[0,1]十等分,去掉第六個(gè)開(kāi)區間Cantor集的做法:第一步舍去含有r的端點(diǎn)為無(wú)理數的中央開(kāi)區間,第二步再在余下的閉區間里5.6及第八個(gè)開(kāi)區間,8,于是表示式中以同樣的步驟操作,并依次將rn}挖去,…[2,a1=5或7的小數全部去掉3]VG即是1o=0.49,10=069·然后把余下的八個(gè)區[參考文獻]間的每一個(gè)再進(jìn)行十等分,去掉各自的第六個(gè)開(kāi)1]程其襄,張奠宙,魏國強,等,實(shí)變函數與泛函分析基區間以及第八個(gè)開(kāi)區間。于是表示式中a2=5或礎[M].3版.北京:高等教育出版社,20107的小數全部去掉(對分點(diǎn)的小數仍規定以9為循[2]周民強實(shí)變函數論[M].2版.北京:北京大學(xué)出版環(huán)節)。繼續這一過(guò)程,去掉的這些開(kāi)區間有可數多個(gè),且彼此不相交,又無(wú)公共端點(diǎn),與[0,1]也[3]董大校. Cantor集的性質(zhì)及其構造推廣[J. Journal of無(wú)公共端點(diǎn),所以[0,1]中用不著(zhù)數字5和7的Yunnan Finance &Economics University, 2008, 23(5)切數成一完備集一般的,用十進(jìn)制小數表示(0,1)中的數時(shí),[4]江澤堅,吳智泉,紀友清實(shí)變函數論[M].3版北京高等教育出版社,2007其用不著(zhù)數字a1和a2的一切數成一完備集,其中a1,a2是1,2…9中的數字The Structure and Applications of Cantor SetRUAN Shi-huaDepartment of Mathematics, Putian Univer中國煤化工, China)Abstract Cantor set is an important set in real functions thCNMHGhe applications throughthe construction process and generalized structure of cantor set. The aim of this paper is to help the beginnersKey words: Cantor set; structure; complete set[責任編輯:Z