混合整數無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題的連續優(yōu)化方法

第33卷第11期繼電器Vol.33 No. 112005年6月1日RELAYJun.1, 20055混合整數無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題的連續優(yōu)化方法黃偉,劉明波(華南理工大學(xué)電力學(xué)院,廣東廣州510640)摘要:通過(guò)對離散變量進(jìn)行二進(jìn)制編碼,把每個(gè)離散變量表示成若干個(gè)取值在0、1之間的連續變量,從而將一個(gè)含有離散變量的混合整數無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題轉化為一個(gè)等價(jià)的連續優(yōu)化問(wèn)題，再用非線(xiàn)性原對偶內點(diǎn)算法求解。并且,在優(yōu)化過(guò)程中根據二進(jìn)制變量的權重系數逐步確定離散變量的取值,實(shí)現了離散變量在優(yōu)化過(guò)程中的逐次歸整。并以IEEE 118節點(diǎn)作為試驗系統，與常規的離散優(yōu)化算法作比較,驗證了該算法的正確性和有效性。關(guān)鍵詞:無(wú)功優(yōu)化;混合整數規劃; 二進(jìn)制編碼; 非線(xiàn)性?xún)赛c(diǎn)法中圖分類(lèi)號: TM714文獻標識碼: A文章編號: 1034897020000000進(jìn)制編碼的連續化處理，再根據編碼后的權重在優(yōu)0引言化過(guò)程中逐位確定離散變量的值，實(shí)現離散變量在無(wú)功優(yōu)化的基本內容是在滿(mǎn)足各種約束條件下優(yōu)化過(guò)程中的逐次歸整。非線(xiàn)性原對偶內點(diǎn)算法作利用無(wú)功控制手段,如控制發(fā)電機和無(wú)功補償設備為求解連續非線(xiàn)性?xún)?yōu)化問(wèn)題的基本算法。并以的無(wú)功出力及可調變壓器的分接頭等,來(lái)提高電壓IEEE118節點(diǎn)做為試驗系統,驗證該算法的正確性水平,降低系統有功損耗。但是變壓器變比和并聯(lián)電容器組都不能進(jìn)行連續的調節,這使得無(wú)功優(yōu)化1離散優(yōu)化問(wèn)題轉化為非線(xiàn)性連續優(yōu)化問(wèn)問(wèn)題在本質(zhì)上屬于連續變量和離散變量共存的、大規模的非線(xiàn)性混合整數規劃問(wèn)題。如何有效地處理這些離散變量一直是無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題中的一個(gè)難點(diǎn)。典型的電力系統無(wú)功優(yōu)化數學(xué)模型可以表示成目前的算法大多為先將其作為連續變量參與優(yōu)如下形式:化,求得優(yōu)化解后再進(jìn)行簡(jiǎn)單的靠攏式取整,對其余(min f(x,u)s.t. h(x,u)=0的連續變量則用常規的潮流計算或優(yōu)化計算確定。P(1)這不僅會(huì )產(chǎn)生數學(xué)上的近似,而且可能導致某些約束Xmin≤x≤xmx條件違限,無(wú)法獲得可行解。顯然,這是不恰當的。Umin≤u≤umx文獻[1]給出了完整的非線(xiàn)性混合整數無(wú)功優(yōu)式中: f(x,u)為目標函數,在這里表示系統的有功化模型,用常規的分支定界法和決策樹(shù)法求解,其計損耗;h(x,u) =0為節點(diǎn)功率平衡方程;x∈R(°表算量較大。文獻[2]建立了電容器投切的逐次線(xiàn)性示連續的優(yōu)化變量,由發(fā)電機無(wú)功出力、節點(diǎn)電壓幅整數規劃模型,并提出對偶松弛解法和逐次歸整解值和相角構成的列向量;u∈R{9)表示離散優(yōu)化變法。文獻[3]采用二次罰函數的線(xiàn)性近似建立離散量,由可調變壓器變比和無(wú)功補償電容器的無(wú)功出模型,并與牛頓法最優(yōu)潮流求解過(guò)程結合,但必須輔力構成。下標max、min分別表示相應變量的上、下之以一系列規則及一些人工調試的參數,影響了其限?？梢?jiàn),這是一個(gè)混合整數規劃問(wèn)題。實(shí)用性。文獻[4]提出在牛頓法最優(yōu)潮流中用正曲離散變量u的具體表達式又可以寫(xiě)成:率二次罰函數處理離散變量,引人的機制簡(jiǎn)單有效。u,=tStep:+uan (i=1,2.,.-,q)本文提出了一種把電力系統混合整數無(wú)功優(yōu)化式中: 4;表示第i個(gè)離散變量當前的檔位(可調變壓?jiǎn)?wèn)題轉化為-個(gè)等價(jià)的連續優(yōu)化問(wèn)題來(lái)求解的新算器分:器投切的組數);法。該算法先將無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題中的離散變量進(jìn)行二Step:中國煤化工長(cháng)。我們可以把.4;寫(xiě)TMYHCNMHG基金項目:國家自然科學(xué)基金項目(50277013);廣東省自然t;=ya2° +yn2' +..++.2*(i1,2,..,q (3)科學(xué)基金項目(011648)其中: s,=(log_umm) +1,y=0或1,i=1,2,",q，6繼電器j=1,.-,S。<0. 5時(shí),它會(huì )向yk =0的方向收斂;而當ya >0.5這樣就把離散變量u;轉換成了僅取0或1的時(shí),ya就會(huì )向yu=1的方向收斂。因此幾次迭代之變量y,的組成形式,而每-一個(gè) yu可以用一個(gè)等式約后離散變量u;的取值便被固定下來(lái)。這樣的優(yōu)化束y(y-1)=0限制其取值。把所有的u(i=1，結果往往是陷入了 局部最優(yōu),效果并不令人滿(mǎn)意。2,,q)進(jìn)行這樣的二進(jìn)制編碼后,就會(huì )得到因此,我們提出了逐位確定二進(jìn)制編碼的方法之(S; + 1)個(gè)這樣的等式約束。把它們綜合起來(lái)就來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。從式(7)可知,u;被分解成yo,'s,共S.+1個(gè)0/1變量,而2° ,2' ,，2分別表示每一一個(gè)對應的y的權重?？梢?jiàn),權重最大的y。是一個(gè)新的等式方程之r,(y-1) = 0。最后原對u;的影響也最大,而權重最小的yx對u;的影響模型P就可以轉換為:就相對小很多。因此我們把整個(gè)優(yōu)化過(guò)程分步完(min f(x,y)成。先用內點(diǎn)法優(yōu)化一遍后確定最高位ys,的值;然s. t.h(x,y) =0后把它固定,對其余的變量重新優(yōu)化一次，確定次高位ysS-11的值;依次類(lèi)推,最后確定yxo的值。此時(shí)，P2{2r(y,-1) =0(4)臺向整個(gè)優(yōu)化過(guò)程結束。Xmin≤x≤xmax采用此方法后,把離散變量的取值分成了S; +1Umin≤u≤Uimx i = 1,2,"",q步來(lái)確定,每一步都是用內點(diǎn)法求得的嚴格最優(yōu)解。其中，和傳統對離散變量簡(jiǎn)單的一-次性四舍五人就近歸整y=[yry,",y,J"(5)相比,可以有效地求得更優(yōu)的解,而且可以避免節點(diǎn)y-=~yvn."y,.J', (i=1,.",9)(6)電壓越限等不可行情況的出現。完整的計算步驟如u:=(yo2° +ya2' +... +y.,2*)Step, +Umin (7)下因為最終的y,是僅取0或1的變量,為了加快1)把離散變量進(jìn)行二進(jìn)制編碼。2)對編碼后的模型P,用非線(xiàn)性原對偶內點(diǎn)法算法的收斂性,不妨再引人以下的約束條件:求解。0≤yy≤l3)若計算收斂則繼續下一步,否則轉到第7)最終得到的優(yōu)化模型如下: .步。4)記錄優(yōu)化結果及各個(gè)優(yōu)化變量的值。s.t. h(x,y) =05)確定每一個(gè)離散變量u;二進(jìn)制編碼后的最xmin≤x≤xmxUmin≤u;≤U:mx i = 1,2..,q(9)高位變量yis,o令S:=S;-1,把s作為常數(i=1,2,.,q)。之Eyo(r,-1)=06)若q個(gè)s;中存在非負數,則轉到第2)步,繼續計算。0≤yq≤17)優(yōu)化結果輸出。在模型P,中，所有優(yōu)化變量x,y都是連續變量,可以用任何一種連續優(yōu)化方法求解此模型。本3算例文采用具有二階收斂性的直接非線(xiàn)性原對偶內點(diǎn)算選擇IEE118節點(diǎn)系統作為試驗系統。該系法求解該模型,具體的求解步驟和方法可見(jiàn)文獻統包括10個(gè)無(wú)功補償點(diǎn)和8臺可調變壓器,共18[7,8]。組離散變量。系統基本數據如表1所示。2二進(jìn) 制編碼的逐位優(yōu)化采用非線(xiàn)性?xún)赛c(diǎn)法求解優(yōu)化模型P3時(shí),各數據均用標幺值表示;基準功率取100 MVA;收斂判據從上述的討論可知,每個(gè)離散變量u;都被分解為:補:中國煤化工偏差小于10~; .成了S;+1個(gè)0/1變量ya,整個(gè)方程變量的數目增.各變量E值和最小值之和加了。若干個(gè)yu的取值共同決定了1個(gè)離散變量的一半TYHCNMHG'u;的值，這在理論上會(huì )影響算法的收斂效果。為便于比較分析,我們采用了三種優(yōu)化方法:從仿真試驗的過(guò)程中也發(fā)現,當二進(jìn)制變量了a① 把離散變量作為連續變量進(jìn)行優(yōu)化的連續優(yōu)化黃偉,等混合整數無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題的連續優(yōu)化方法7方法;②在方法一求得的優(yōu)化結果基礎上,將離散從表2列出的結果可以看出,三種方法的離散變量的優(yōu)化值就近歸整,再做一次潮流計算的傳統變量均在約束范圍之內。但是,方法一由于是連續離散優(yōu)化方法;③本文提出的方法。表2列出了用優(yōu)化的方法,離散變量都沒(méi)有歸整;而方法二和方法這三種方法求解IEE18節點(diǎn)系統的離散變量?jì)?yōu)三中離散變量的歸整 效果都非常好?？梢?jiàn),用本文化結果。提出的方法能有效處理無(wú)功優(yōu)化中離散變量歸整的表1試驗系統的基本數據問(wèn)題。Tab.1 Basic data of the test system對于連續變量,限于篇幅,這里僅列出部分發(fā)電系統名稱(chēng)IEEE1I8節點(diǎn)系統機無(wú)功出力和節點(diǎn)電壓的優(yōu)化結果，如表3所示。節點(diǎn)數18可以看出,由于方法二的簡(jiǎn)單靠攏式歸整造成支路數93了部分發(fā)電機無(wú)功出力的越限，如表3中的Qas ;而可調變壓器數且部分節點(diǎn)的電壓也出現了越界的現象,如表3中.并聯(lián)補償電容器數10發(fā)電機數36的Vor和Vpg8。這顯然是不可行的。這一現象在大負荷數118規模的系統中顯得尤為明顯。因為系統規模越大，離散變量的數目也越多,此時(shí)用方法二求解也就越表2離散變量?jì)?yōu)化后的值容易出現不等式越限的情況。而方法三的所有節點(diǎn)Tab.2 Optimum values of discrete variables電壓和發(fā)電機無(wú)功出力都在約束的范圍之內。設備及運行限制優(yōu)化結果.變量下限上限步長(cháng)方法一方法二方法三另外,還對上述三種方法求得的目標函數,也就Ts-8 0.901.10 0.025 1.0058 10000 1.0125是有功網(wǎng)損，作-一個(gè)比較,如表4所示。Tn7_30 0.90 1.10 0.025 1.0115 10000 1.0125表4采用三種方法的網(wǎng)損比較T2s-26 0.901.100.0251.0146 1.0250 1.0125Tab.4 Comparison of active power lossT37-38 0.901.10 0.025 0.9954 1.0000 1.0125by three methodsTs9-63 0.90I.100.025 1.0105 1. 00001.025方法一方法二 方法三T61-64 0.901.10 0.025 0.9987 1.0000 1.0125網(wǎng)損1.1673 1. 15831.1714Tes.66 0.901.10 0.025 1.0381 1.0500 1.0625T8-810.901.10 0.025 1.0949 1. 1000 1.0625可見(jiàn),方法一由于是連續優(yōu)化方法,求得的網(wǎng)損Qc19 0.00 5.00 0.050 0.378 0.400 0. 400相對比較小，只有1. 1673。而考慮了變量的離散特:Qao 0.00 5.000.050 0.020 0.000 0.050性之后,網(wǎng)損必然會(huì )有所增大。用方法三求得的網(wǎng)Qa1 0.00 5.00 0.050 0.123 0. 1000. 150損為1.1714,比連續優(yōu)化的結果大了0. 0041。另0.050 0.0920.100 0.050外,方法二求得的網(wǎng)損甚至比方法- -的結果還要小，Qcu 0.00 5.000.050 0.004 0.000 0.000那是因為此時(shí)已有某些變量越限,這是一個(gè)不可行5.000.100 0.000360.00 5.000.050 0.048 0.050 0.000的結果。Qcn 0.00 5.000.050 0.674 0.650 0. 800從以上的分析可見(jiàn),本文提出的方法能夠正確、Qca 0.00 5.00 .0.050 0.055 0.050 0.000有效地處理含有離散變量的混合整數無(wú)功優(yōu)化問(wèn)_Qa6 0.00 5.000.050 0.6701 0.650 0. 800題。表3部分連續變量?jì)?yōu)化的值4結論Tab. 3 Optimum values of the selected continuous variables連續二運行限制二針對電力系統無(wú)功優(yōu)化中離散變量和連續變量變量下限上限方法方法二_ 方法三共存的問(wèn)題,本文提出了一種求解混合整數規劃的Qcu -0.50 1. 30-0.054-0.054 -0. 2204連續優(yōu)化方法。通過(guò)對離散變量進(jìn)行二進(jìn)制編碼,las -0.50 1.30 ，-0.05-0.8718 -0.4796把每個(gè)離散變量表示成若干個(gè)在0、1之間取值的連Qc2 -0.50 1.30 1. 02841.2795-0.5000VDr7 0.95 1.05 1.04291.05271.0432續變中國煤化工功優(yōu)化模型來(lái)求解。變量的權重系數Vos 0.951.05 1. 05001.0511.0500THCNMHGVom 0.90 1.10 1. 0536I .0536 1.0534逐步確疋離取文重時(shí)取值,大現」離散變量在優(yōu)化Voo 0.951.05 1.0404 ..0404過(guò)程中的逐次歸整。Vos1 0.951.05 1. 02051. 0204 1. 0189通過(guò)對IEEE118節點(diǎn)系統的計算分析,該算法8繼電器相對傳統的離散無(wú)功規劃模型,能夠更為有效和準數規劃非線(xiàn)性罰函數方法[J].控制與決策，2002, 17確地求解大規?；旌险麛禑o(wú)功優(yōu)化問(wèn)題。且當采用(3) :310-314.非線(xiàn)性原對偶內點(diǎn)法求解該模型時(shí),其計算精度及MENG Zhi-qing, HU Qi-ying, YANG Xiao-qi. 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Automation of劉明波(1964-),男,教授,博士生導師,主要研究方向Eletric Power Systems, 199 ,23(23): 37-40.[5]孟志青 ,胡奇英,楊曉琪.一種求解整數規劃與混合整為電力系統優(yōu)化計算與穩定性分析及電力市場(chǎng)。A continuous optimization algorithm for mixed integer reactive-power optimizationHUANG Wei, LIU Ming-bo( Electric Power College , South China University of Technology , Guangzhou 510640 ,China)Abstract: This paper converts all discrete variables into combination of several continuous variables between0 and1 by means of bi-nary encoding technology , and hence the mixed integer reactive-power optimization problem with discrete variables is transformed into aequivalent continuous optimization problem, which can be efectively solved by nonlinear primal-dual iteror-point algorithm. Accordingto weight coffcient of binary variable,discrete variables can be gradually detemined in optimizaion process , and their discreizationcan be realized during iteration sccessively. Furthermore , the numerical example of IEEE 118-bus system is employed to validate cor-rectness and efectiveness of the proposed algorithm , and the result based on this algorithm is compared with that based on conventionaldiscretization algorithm.This prjet is spprted by National Natural Science Founation of Chinal中國煤化工r See Foundetion of Guangdong Province (No. 011648).Key words: reactive power optimization; mixed integer programming;fHCNMHG_point algorithm