數學(xué)分析測試分析

數學(xué)分析測試分析陸競(杭州師范學(xué)院數學(xué)系，浙江杭州310012)摘要:高校擴大招生后,數學(xué)專(zhuān)業(yè)基礎課的教學(xué)大綱是否要作修改已經(jīng)是業(yè)內人士所關(guān)注的課題。華東師大與杭州師范學(xué)院等高校承擔了教育部高教司(世行貸款21世紀初高等理工科教育教學(xué)改革》項目課題的研究。為此對在校生進(jìn)行了一系列數學(xué)分析課程的測試。本文對其中一次測試結果作了詳細分析,從中可以了解到當前數學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的學(xué)習現狀,對教師的教學(xué)工作有-定的借鑒作用。關(guān)鍵詞:數學(xué)分析;測試中圈分類(lèi)號:C424.74文獻標識碼:A文章編號:1008 - 4894(2005)02 - 0099- 04數學(xué)分析始終是數學(xué)專(zhuān)業(yè)的最重要的基礎課經(jīng)過(guò)精心設計,不涉及一般的運算能力、技巧和模仿程，數學(xué)分析的教學(xué)水平在很大程度上代表了數學(xué)性的證明,只需要思考,辨別和判斷,再加上測試是基礎課程的教學(xué)水平。杭州師范學(xué)院數學(xué)系早在在整個(gè)課程學(xué)完后進(jìn)行的，所有的知識點(diǎn)都應該已1994年即對該課程進(jìn)行重點(diǎn)建設,并于當年在省教經(jīng)被測試對象掌握。測試前也不作任何復習,訓練育廳組織的專(zhuān)家組驗收評估會(huì )上以?xún)?yōu)秀的等次獲得和提示工作?？傊?，是在沒(méi)有任何事先準備的情況通過(guò)。按照課程建設所制定的大綱以及一整套教學(xué)下進(jìn)行的。因此，測試的結果很說(shuō)明學(xué)生掌握的程規范,在以后幾年的教學(xué)實(shí)踐中,取得了預期的較為度。下面對第二次測試的數據統計作簡(jiǎn)單的分析和滿(mǎn)意的效果。近年來(lái),隨著(zhù)招生規模的日益擴大,新說(shuō)明。本套統考題總分100分,有極限理論、微積設專(zhuān)業(yè)的不斷增加,報考數學(xué)專(zhuān)業(yè)考生的基本情況分、級數理論。發(fā)生了一-定的變化,這在各層次的高校數學(xué)專(zhuān)業(yè)的教師,都有較深的感受,教學(xué)中也有明顯的反映。數1試題學(xué)分析的教學(xué)是沿襲原有的教學(xué)大綱和規范,還是針對當前的實(shí)際作適當改革,是我們回避不了的現(1)計算. lim(1+)".(8)實(shí)問(wèn)題,而且這類(lèi)問(wèn)題也已引起了有關(guān)部門(mén)的關(guān)注，(2)設y = arccos√1- x,求y'. (8')由華東師大主持的,有杭州師范學(xué)院等參加的教育(3)求不定積分In xdx. (8')部高教司《21世紀初高等理工科教育教學(xué)改革》項目,將對此作出客觀(guān)的評價(jià)。課題組工作的重要- -(4)求冪級數2 nx"-1的收斂半徑和收斂區域,環(huán),是檢測數學(xué)分析的教學(xué)水平。為此,課題組決并用初等函數表示它的和函數. (8' )定,對整個(gè)數學(xué)分析課程的內容進(jìn)行三次不同側重,(5)設z = arctan(x - y)*,求dz. (8')不同形式的數學(xué)分析水平測試。每次測試在幾個(gè)高校同時(shí)進(jìn)行。杭州師范學(xué)院選擇剛進(jìn)人第五學(xué)期學(xué)(6)求二重積分ffe+, ded ,其中D= |(x.,y)習的數學(xué)專(zhuān)業(yè)85位學(xué)生作為試驗樣本。由于試題≤1}. (8')收稿日期:2004- 12-03xdydz + ydzdx + zdxdy基金項目:教育部高教司《世行貸款21世紀初高等理工科教育.中國煤化工教學(xué)改革》項目課題(No.1282B01011)其中.FYHCNMHG的內側. (8')作者簡(jiǎn)介:陸競(1958-),男 ,浙江杭州人,副教授。(8)下面是某人寫(xiě)的一段證明:99“因為limxn = xo,所以Ve > 0,3N,當n >教學(xué)建議:加強導數運算的訓練,增加求導計N,就有1x-xo1 N時(shí),都有xn= xo.”(3)求不定積分|n xdx. (8')上述證明和結論是否正確,請說(shuō)明理由。(8')測試評估:本題滿(mǎn)分8分,從平均分7.7分看，(9)設函數f(x)在[a,b]上無(wú)界.證明:在[a,情況算是很可以的了。這是使用分部積分求原函數b]中必存在點(diǎn)xo,使f(x)在xo的任意鄰域內都無(wú)的典型例子。說(shuō)明學(xué)生對應該用分部積分求原函數界. (8')的最基本的類(lèi)型掌握得還是比較好的,但遺忘積分(10)設函數f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)上常數的現象還有發(fā)生?？蓪?且f(a) = f(b).證明:若f(x)在[a,b]上不教學(xué)建議:增加求不定積分的習題計算量,應是常數函數,則存在x1,xz∈[a,b],使f(x1) <0,強調不定積分理論,杜絕遺漏積分常數現象.f(x2) > 0. (8')(4)求冪級數2 nx"-1的收斂半徑和收斂區域，(11)設F(x) =| f(t)dt. 請問(wèn),在什么條件并用初等函數表示它的和函數。(8' )下,有F"(x) = f(x)?說(shuō)明理由. (10)測試評估:本題滿(mǎn)分8分,其實(shí)只要在高等數學(xué)(12)試給出一個(gè)在(0,1)上連續有界,但非一中學(xué)過(guò)冪級數的有關(guān)知識,那么求收斂半徑和收斂致連續的函數的例子.要求說(shuō)明理由. (10')區間都是輕而易舉的,因為涉及的極限的計算以及可以看出測試著(zhù)重于了解學(xué)生對基本概念基本在端點(diǎn)處的數項級數的斂散性都是顯而易見(jiàn)的。理論及方法的掌握程度。共有85名學(xué)生參加。這次教學(xué)建議:加強冪級數概念的教學(xué),要求學(xué)生測試反映數學(xué)分析教學(xué)中的不少問(wèn)題,一些學(xué)生基必須掌握冪級數收斂半徑的求法,能利用冪級數逐本功不扎實(shí),既不理解抽象的數學(xué)概念,又不會(huì )做簡(jiǎn)項求導與逐項求積解決部分問(wèn)題。單的計算題。這里有一些客觀(guān)上的原因:有的認為測(5)設z = arctan(x- y)*,求dz. (8') .試與自己切身利益無(wú)關(guān);有的抱怨沒(méi)有給出復習時(shí)測試評估:本題滿(mǎn)分8分,考查多元函數的微間等。對此,必須認真思考仔細分析才能找出原因,分,本質(zhì)是求兩個(gè)偏導數。由于對底與指數均是變量進(jìn)而把數學(xué)分析的教學(xué)工作做好。因而于測試結束的函數的求導本來(lái)就掌握得不盡如人意,現在又是后,對結果進(jìn)行統計和分析,提出了對問(wèn)題產(chǎn)生的看多元,又是復合,又是微分,有些人難免就犯糊涂了。法,給出了教學(xué)建議。教師在多元部分的教學(xué)中,可能對求導會(huì )重視不夠，也應引起主意。2卷面分析教學(xué)建議:加強多元函數的偏導數和全微分的每題得分情況見(jiàn)表1,具體分析如下:教學(xué),增加這方面的作業(yè)量。(1)計算lim(1+ 2)". (8)(6)求二重積分e2++ dxdy,其中D= {(x,y)測試評估:本題滿(mǎn)分8分,考察對重要極限的掌1 x2+ y≤1}. (8')握情況。所有參加測試者都給出了正確結果,說(shuō)明最測試評估:本題滿(mǎn)分8分,考查用極坐標變換求基本的極限還是掌握得可以的。二重積分的最基本的例子。因為所有參加測試的學(xué)(2)設y = arccos√1- x2,求y'. (8')生都給出了正確結果,有理由相信,對這類(lèi)問(wèn)題學(xué)生測試評估:本題滿(mǎn)分8分,考查學(xué)生對復合函數掌握的是較好的。求導的掌握程度。應該說(shuō)函數并不復雜,然而結果卻教學(xué)建議:從結果看,學(xué)生對極坐標變換掌握出乎意料之外。有的連y = arccosu 的導數公式也忘得較好,這與教學(xué)中對這部分內容的正確處理有關(guān)，了,還有些鏈式法則已淡忘。至于結果不加絕對值符應繼續收共百告的戴出中國煤化工號更是不在少數。這么基本的考題都做的不理想,當然會(huì )影響不定積分,多元微分的學(xué)習。打好基礎的重THCNMHGJ|xdydz + ydzdx +要性由此可見(jiàn)一班。zdxdy,其中s為球面x2+ y2+ z2= 1的內側. (8')100●測試評估:本題滿(mǎn)分8分,只要還記得高斯公生干脆空著(zhù)。其實(shí)只要把幾何直觀(guān)與中值定理結合式,同時(shí)注意到側的概念,那么拿到8分沒(méi)有問(wèn)題。起來(lái)就不難得到結果。得分如此之低的原因與其說(shuō)之所以有差不多- - 半的學(xué)生為0分,當然是因為他是Lagrange中值定理掌握得不夠深人,倒不如說(shuō)是們已經(jīng)不知道高斯公式為何物了?，F在的學(xué)生已習導數的幾何意義沒(méi)有真正掌握。教學(xué)建議:加強微分中值定理和判別函數單調慣于考前聽(tīng)有關(guān)的復習課，而按要求,本次測試之前不復習,不劃范圍,所以出現這種情況也是情理之性法則的教學(xué)。中的。(11)設F(x)= [f(t)du. 請問(wèn),在什么條件教學(xué)建議:加深第二類(lèi)曲面積分的教學(xué)和用高下,有F"(x) = f(x)?說(shuō)明理由。(10)斯公式計算第二類(lèi)曲面積分的訓練,強調第二類(lèi)曲測試評估:本題滿(mǎn)分10分，微積分基本定理說(shuō)，面積分與曲面所選的側向有關(guān)。(8)下面是某人寫(xiě)的一段證明:f(x)連續,則F'(x)= f(x)。既然是基本定理,應該“因為limx.= xo,所以Vε > 0,3N,當n >很好掌握,現實(shí)情況卻不容樂(lè )觀(guān),得5分的學(xué)生是因為沒(méi)有說(shuō)明理由?？磥?lái)教學(xué)中對最基本的理論問(wèn)題N,就有1x。-xo1<ε,由ε的任意性,可得x= xo.還要加強。因此,當n > N時(shí),都有xn= xo.”"教學(xué)建議:加強微積分基本定理的教學(xué),教學(xué)上述證明和結論是否正確,請說(shuō)明理由。(8')中要求學(xué)生重視積分與求導互為逆運算的條件。測試評估:本題滿(mǎn)分8分,利用e的任意性說(shuō)明(12)試給出一個(gè)在(0,1)上連續有界,但非一某些量是無(wú)窮小量或者是0,在數學(xué)分析中是經(jīng)常致連續的函數的例子.要求說(shuō)明理由。(10)見(jiàn)到的。得4分的學(xué)生或者知道這個(gè)說(shuō)法是錯誤的，測試評估: 本題滿(mǎn)分10分,只有少數幾個(gè)學(xué)生.但就是不能正確地表述，或者只能舉一個(gè)反例說(shuō)明給出了正確的例子并進(jìn)行證明..對-部分學(xué)生而之。這反映了學(xué)生學(xué)習中有不求甚解的作風(fēng),這是學(xué)言,一致連續本就比較難懂,非一致連續并且有界就習的大忌。更頭疼了。象這類(lèi)比較體現學(xué)生程度的考題,大致上教學(xué)建議:加強極限的ε - N和e - 8理解的準就是這個(gè)水準,我們應該有一個(gè)切合實(shí)際的估計,在確性教學(xué)。(9)設函數f(x)在[a,b]上無(wú)界。證明:在[a，教學(xué)中才能把好尺度,不至于對學(xué)生作出出乎他們能力之外的要求。b]中必存在點(diǎn)xo,使f(x)在知的任意鄰域內都無(wú)教學(xué)建議:加強函數的一致連續性的教學(xué),著(zhù)界。(8')測試評估:本題滿(mǎn)分8分,可以說(shuō)是全軍覆沒(méi)。重講透函數一致連續的實(shí)質(zhì)。 由于函數的一致連續性是數學(xué)分析教學(xué)難點(diǎn)之一,建議采用電子教學(xué)等實(shí)數理論本就是學(xué)生們的軟肋,他們可以熟練背誦輔助方法,加深學(xué)生的直觀(guān)認識。W eierstrass聚,點(diǎn)原理和Borel有限覆蓋定理。但很少能在具體問(wèn)題中成功使用.這種現象不是孤立的,其總體評價(jià)實(shí)質(zhì)還是沒(méi)有真正鉆進(jìn)去再走出來(lái)。較好掌握基本概念和方法并能以之解題的學(xué)生教學(xué)建議:加強函數有界性與有限覆蓋定理的可以說(shuō)少之又少,只能說(shuō)教學(xué)要求基本能達到,但效教學(xué)強度。有限覆蓋定理的教學(xué)是數學(xué)分析的難點(diǎn)果不能令人滿(mǎn)意。出現這樣的現象，-是部分學(xué)生數之一,力求使盡可能多的學(xué)生能用它解決比較簡(jiǎn)單學(xué)分析的知識本就掌握得不夠扎實(shí)，加之隨著(zhù)時(shí)間的有關(guān)問(wèn)題。的推移,數學(xué)分析的許多概念已逐漸淡忘。再因為考(10)設函數f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)上前不劃范圍,不組織復習,對于巳習慣于考前突擊的可導,且f(a)= f(b).證明:若f(x)在[a,b]上不學(xué)生,更加感到不適應。這樣的學(xué)習方法肯定是不對是常數函數,則存在劃1xz∈[a,b],使f(x) <0，頭的。 至少學(xué)習不是為了應付考試,應付考試的學(xué)習f(x2) >0. (8')不會(huì )中國煤化工到底有一個(gè)學(xué)風(fēng)問(wèn)測試評估:本題滿(mǎn)分8分,只是Lagrange中值定題,學(xué)YHCNMHG概念理論方法是理的簡(jiǎn)單應用.盡管有相當的學(xué)生從感覺(jué)出發(fā),使用不成問(wèn)題的。.了Lagange中值定理。然而都不得要領(lǐng),還有很多學(xué)101●表1得分統計表題號分值分布及人數平均得分(1)得分88’人數8:(2)62’5.5'30216(3)8'7.7'8C(4)6’5'3'-2' .0’32121746.1'(5)3'-2'2801:4.2'(6)85(7)0'3.9'384((8)104.8'(9)0.1'(10)(11)14433.3'(12)731.3'70-7960- 6950- 5940- 4930- 39總評261353.0土10.8百分率2.3%34 .9%30.2%16.3%Analyzing on the results of testing on mathematical analysisLu Jing( Deparment of Mathematics，Hangzhou Teachers College, Hangzhou, hejiang310012, China)Abstract: Since the number of recruiting students of higher education expended, whether it is necessary to modify the teaching syllabus of thebasic mathematical courses or not has been the topic of the specialists on mathematical teaching . The East China Teacher' s University and theHangzhou Teacher' s College now are undertaking the tasks set by the National Education Bureau to carry out a study on the project named as"The 21 century teaching reform on elementary and higher science and engineering subject education founded by the World Bank" . In doingso, we have been taking a series of tests in the mathematical analysis course on the university and college students. In this paper we just ana-lyze one testing results in detail B0 that we can know the real studying situation about the university and college students, which may be usefulto the university and college teachers in their teaching practice.中國煤化工Key words: mathematical analysis; testing .YHCNMHG