變參數Lorenz系統的動(dòng)力學(xué)特性研究

第14卷第4期南通大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)Vol 14 No 42015年12月Journal of Nantong University(Natural Science Edition)Dec.2015變參數 Lorenz系統的動(dòng)力學(xué)特性研究解霞),黃洪斌2,陳翠萍1(L.南通大學(xué)理學(xué)院,江蘇南通226019;2.東南大學(xué)物理系,江蘇南京210096)摘要:為了研究參數漂移對混沌系統的影響,對 orenz系統的3個(gè)參數a、b和ε分別施加正態(tài)隨機擾動(dòng),數值計算變參數 Lorenz a系統的解和最大 Lyapunov指數,研究系統參數受擾動(dòng)的變參數 Lorenz系統的動(dòng)力學(xué)行為和混沌參數區域,并和定參數 Lorenz系統的混沌參數區城作比較.計算結果表明:對處于亞穩態(tài)、周期態(tài)的 Lorenz系統施加一定的參數擾動(dòng),系統將產(chǎn)生混沌運動(dòng);變參數Lωrenz系統的混沌參數區域比固定參數 Lorenz系統的混沌參數區城更為廣闊,文章提出的系統參數擾動(dòng)法作為混沌反控制的一種新方法,能實(shí)現穩態(tài)系統的混沌化關(guān)鍵詞:變參數 Lorenz系統;動(dòng)力學(xué)特性;混沌; Lyapunov指數中圖分類(lèi)號:0415文獻標志碼:A文章編號:1673-2340(2015)04-0017-06Study on Dynamics of the Varying Parameter Lorenz SystemXIE Xia, HUANG Hongbin, CHEN Cuiping(1. School of Sciences, Nantong University, Nantong 226019, China2. Department of Physics, Southeast University, Nanjing 210096, China)Abstract: In order to study the influence of parameter shift on the chaotic system, normal random disturbance wasapplied to the parameters, and of Lorenz system respectively, and numerical solution and the Maximal Lyapunovexponent of this varying parameter Lorenz system were calculated. The behaviors and the chaotic region of varyingparameter Lorenz system were investigated and the differences between varying parameter Lorenz system and thenormal system with fixed parameters were later demonstrated. The results showed that the disturbance of parameters toLorenz system which is originally in meta-stable or periodic states can generate chaos, and the chaotic region ofvarying parameter Lorenz system is much wider than the fixed parameter system. The system parameter perturbationnethod proposed in this paper is a new way for anti-chaos controlling that achieve chaos control of the stable systemKey words: varying parameter Lorenz system; dynamic characteristics; chaos Lyapunov exponent自從1963年美國氣象學(xué)家 Lorenz在模擬大氣 Lorenz系統具有豐富的動(dòng)力學(xué)特征,其至今仍吸對流建立的 Lorenz模型中發(fā)現混沌吸引子叫以后,引人們作更深入的研究s.系統的混沌運動(dòng)是對初Lo系統便成為一個(gè)經(jīng)典混沌系統.半個(gè)世紀以始條件極端敏感導致的長(cháng)期不可預測的運動(dòng).通過(guò)來(lái),國內外學(xué)者對 Lorenz方程作了廣泛研究,發(fā)現計算 Lyapunov指數間、功率譜η等方法可以判斷系統收稿日期:2015-05-08基金項目:國家自然科學(xué)青年基金項目(1104151);江蘇省高等教育教改研究立項課H中國煤化工CNMHG作者簡(jiǎn)介:解霞(1981—),女,講師,主要研究方向為非線(xiàn)性光學(xué)混沌E-mai:xiexia@mtu.edu.cn18南通大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版015年是否為混沌運動(dòng).對于 Lorenz系統的混沌運動(dòng),陳R ,=Arandom (i=a, b, c)(2)關(guān)榮等人已給出明確的參數范圍式中,A1表示擾動(dòng)強度, random是標準偏差為1的從20世紀80年代以來(lái),混沌控制的研究實(shí)正態(tài)分布隨機數把式(1)所描述的系統稱(chēng)為變參現了從混沌態(tài)到穩定平衡態(tài)的控制田在90年代,數 T系統研究者發(fā)現混沌運動(dòng)并不是百害無(wú)益,在很多場(chǎng)1.1未受擾動(dòng) L系統的基本動(dòng)力學(xué)特性合混沌運動(dòng)是有用甚至是必需的,如保密通信嗎令A,=0(i=a,b,c),式(1)即為熟悉的生物神經(jīng)活動(dòng)叫、化學(xué)反應和機械系統等,動(dòng)力系統的混沌化作為一個(gè)全新的問(wèn)題被提出來(lái).混沌化Lorenz系統考慮未受擾系統的平衡點(diǎn),令x=y=又稱(chēng)混沌反控制,它實(shí)現了系統由穩定態(tài)向混沌z=0,顯然,若co>1,則系統存在3個(gè)平衡點(diǎn):S態(tài)的轉化對動(dòng)力系統施加延遲反饋可使穩定系統(0,0,0),S=(±Vb0(c0-1),±Vbo(o-1,混沌化1目前對混沌系統動(dòng)力學(xué)行為的研究和混沌控-1.當a=10,b。=8時(shí),隨參數c的增大,制與反控制的研究大多是基于參數固定的系統,系統由亞穩態(tài)區經(jīng)過(guò)周期混沌共存區、混沌區、倍而在很多實(shí)際過(guò)程中會(huì )出現系統的參數隨時(shí)間發(fā)周期窗口區到達周期態(tài)區域,其中混沌區域為247<生改變的情況,例如激光系統或電路系統在長(cháng)時(shí)co<1459(如圖la所示).當取經(jīng)典參數a=10,運轉后的參數漂移,化學(xué)反應中環(huán)境溫度的不穩bo-3,c0=28時(shí),系統具有一個(gè)典型的混沌吸引定對系統的影響等.因此,討論系統參數受到擾動(dòng)的變參數系統的動(dòng)力學(xué)行為是非常有必要的,子,其最大 Lyapunov指數(以下簡(jiǎn)稱(chēng)MLE)為10861本文對 Lorenz系統的參數施加擾動(dòng),主要研究系統2個(gè)非零不穩定平衡點(diǎn)為(±84853,±84853,27)參數受正態(tài)隨機擾動(dòng)時(shí) Lorena系統的動(dòng)力學(xué)行為,1.2參數c受擾時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性我們把參數受擾的 Lorenz系統稱(chēng)為變參數 Lorenz系統(1)取參數a=10,b=3,且A.=A,=系統固定3個(gè)參數中的2個(gè)參數,分別對系統參0.考慮動(dòng)力系統演化的時(shí)間尺度,本文中數值模擬數ab或c施加擾動(dòng),研究系統狀態(tài)的變化,通過(guò)計算步長(cháng)取0.015,系統參數每隔001s受擾動(dòng)一計算最大 Lyapunov指數間,判斷受擾系統是否處于次.圖1b是系統參數受到強度為5的隨機擾動(dòng)下混沌態(tài)數值計算的結果表明:系統參數受擾會(huì )增的MLE圖該系統的混沌區域為17<0<290,比加混沌出現的可能性,使混沌參數區域增大;對參定參數系統的混沌參數區域大很多.數a、b和c的擾動(dòng)都能使亞穩態(tài)、穩態(tài)系統混沌圖2a給出當c=28時(shí),擾動(dòng)強度A從0增化,具有一定的實(shí)際意義大到60的MLE圖結果表明若未受擾系統處在混1變參數 Lorenz系統動(dòng)力學(xué)特性沌態(tài),對系統參數施加較大的擾動(dòng),MIE增大,系系統參數受擾動(dòng)的 Lorenz系統可由下列方程統仍保持混沌運動(dòng)圖2b給出當0=160時(shí),擾動(dòng)描述:強度A從0增大到10的ME圖.當A。=0時(shí),MLE為0.0863,系統對應倍周期窗口的二倍周期x =a-x)態(tài)(見(jiàn)圖3a);而當A增大到5時(shí),MLE=21261,y=cx-y-z(1)系統進(jìn)入混沌運動(dòng),混沌吸引子的2個(gè)焦點(diǎn)與定參數系統二倍周期軌道的焦點(diǎn)一致(見(jiàn)圖3b).因此其中,a=馬+R2,b=b+R,c=+R本文對處在周期山中國煤化工數c稍加擾動(dòng)主要考慮擾動(dòng)為雙邊正態(tài)分布的隨機函數情況,且就會(huì )使系統CNMHG擾系統處于何強度可控.擾動(dòng)項表示為種狀態(tài),當擾動(dòng)強度A增大時(shí)MLE隨之增大解霞,等:變參數 Lorenz系統的動(dòng)力學(xué)特性研究050100150200250300350050100150200250300350A=0圖1MEc曲線(xiàn)圖(a=10,b8,A。=A=0)2.0圖2MLE-A曲線(xiàn)圖20bA= 5x-y平面相圖(co=160)13參數a、b受擾時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性當cn=28時(shí)山中國煤化工,圖4給出系統(1)取參數42=1,0=號,且A,=0CNMHG=0時(shí)擾動(dòng)從U增大到10時(shí),系統對應南通大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)2015年的MLE;圖4b給出A。=0時(shí)擾動(dòng)強度A4從0增大參數a、b分別受到擾動(dòng)的MLE.結果表明,對處于到4對應的MLE.可見(jiàn),MLE隨擾動(dòng)強度A或A,倍周期窗的系統,若對系統參數a或b稍加擾動(dòng),的增加有一定的增大,但變化幅度不大,系統的混其MLE迅速增加,穩定的倍周期運動(dòng)轉變?yōu)榛煦玢邕\動(dòng)狀態(tài)依然保持圖5給出c0=160時(shí),系統運動(dòng),運動(dòng)軌跡與圖3b的混沌吸引子相似1.61.60.60.51.01.52.0253.03.54.0aMLE-A曲線(xiàn)bMLE-A4曲線(xiàn)圖4MLE曲線(xiàn)圖(co=28)的3.02.5E2.0aMLE-A曲線(xiàn)bMLE-A曲線(xiàn)圖5MLE曲線(xiàn)圖(co=160)14系統參數受擾引起的混沌化的大小有關(guān)變參數 Lorenz系統的MLE比對應的定參數變參數系統定參數系統Lorenz系統的MLE大對處在亞穩態(tài)、倍周期分岔窗口、周期態(tài)運轉的系統施加系統參數擾動(dòng),能使制米州穩態(tài)、亞穩態(tài)運轉的系統形成混沌運動(dòng),我們把這種現象稱(chēng)為系統參數受擾引起的混沌化.圖6的虛線(xiàn)表示參數為a2=10,b0-3,0=12的未受擾亞穩態(tài)系統的x-t序列圖,兩對稱(chēng)穩定點(diǎn)的x坐標為x,=±5416;實(shí)線(xiàn)表示參數受擾系統的混沌運實(shí)線(xiàn)為系統在動(dòng)度為1=2A-05A.=10時(shí)的混沌中國煤化工動(dòng),計算混沌運動(dòng)的MLE=04719.需要指出的序列虛線(xiàn)為anCNMHG憂(yōu)系統的序列圖是,系統混沌化所需的擾動(dòng)強度大小與a0,b。和co圖6x-t序列圖解霞,等:變參數 Lorenz系統的動(dòng)力學(xué)特性研究參數受雙邊正弦擾動(dòng),令R=A·in(ot),圖Thb2其他類(lèi)型的擾動(dòng)給出A=5,叫=5時(shí)的MLE=c0關(guān)系曲線(xiàn),系統的以上討論的參數擾動(dòng)都是雙邊的正態(tài)隨機擾混池區域為25