靈活的應用數學(xué)技術(shù)

第34卷第1期數學(xué)進(jìn)展Vol 34. No. 1005年2月ADVANCES IN MATHEMATICSFeb.2005靈活的應用數學(xué)技術(shù)楊德莊(中國科學(xué)院研究生院,華羅庚應用數學(xué)與信息科學(xué)研究中心,北京,10039)摘要:E.E.Davd指出“當今被稱(chēng)頌的高技術(shù)實(shí)質(zhì)上是一種數學(xué)技術(shù)",H. Neunzert稱(chēng)《數學(xué)是關(guān)鍵技術(shù)的關(guān)鍵”.這是人類(lèi)對數學(xué)的新認識一數學(xué)既是科學(xué)又是技術(shù),數學(xué)技術(shù)主要是指應用數學(xué)技術(shù).它的高難度突出地體現在以解決實(shí)際問(wèn)題為目標的研究上.這就必須靈活地運用數學(xué)思想和方法,抓住事物內在最本質(zhì)的數學(xué)結構,提煉其特殊的數學(xué)模型,給出精巧的好算法并解決之,本文簡(jiǎn)述了華羅庚應用數學(xué)技術(shù)的特色、近期發(fā)展及其某些思想與新概念等關(guān)鍵詞數學(xué)技術(shù);靈活性;模型算法一體化;更動(dòng)目標約東法;模式元MR(1991)主題分類(lèi):00B25/中圖分類(lèi)號:O129文獻標識碼:A文章編號1000917(2005)01-0001-161數學(xué)技術(shù)—一種新觀(guān)點(diǎn)人類(lèi)對數學(xué)的認識,最初認為是一門(mén)學(xué)科,后來(lái)稱(chēng)其為數學(xué)科學(xué).20世紀下半世紀,隨著(zhù)數學(xué)內部各分支之間相互滲透,尤其是應用數學(xué)在數學(xué)外部世界的蓬勃發(fā)展,數學(xué)的思想、方法嵌入到各種科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中,以及經(jīng)濟、軍事、社會(huì )發(fā)展的各個(gè)方面.人們看到數學(xué)也是一種技術(shù).這是人類(lèi)對數學(xué)的更深層次的認識—數學(xué)既是科學(xué)又是技術(shù).20世紀最后25年,人類(lèi)對數學(xué)的這種新認知加深了. H. Neunzert指出:“數學(xué)是關(guān)鍵技術(shù)的關(guān)鍵”.E.E.Davd的名言是:“當今被如此稱(chēng)頌的高技術(shù)本質(zhì)上是一種數學(xué)技術(shù)”M. Atiyah也將純粹數學(xué)中的一些理論和技巧稱(chēng)為數學(xué)技術(shù).數學(xué)技術(shù)的提法是20世紀最后25年人類(lèi)對數學(xué)認知的新觀(guān)點(diǎn)2觀(guān)點(diǎn)的重要性及其導向作用人類(lèi)對數學(xué)的認識,是在人類(lèi)實(shí)踐活動(dòng)的歷史長(cháng)河中逐步深入的,不同時(shí)期有不同的主流觀(guān)點(diǎn).一種觀(guān)點(diǎn)在某個(gè)歷史時(shí)期形成,它就會(huì )被一些人群接受,引導他們按這種觀(guān)點(diǎn)去思考、去理性地演繹、去處理數據、去觀(guān)察、去創(chuàng )造.這是一個(gè)傳播與發(fā)展的過(guò)程.觀(guān)點(diǎn)的導向作用是很大的,人們往往會(huì )不知不黨地被卷入到某種觀(guān)點(diǎn)所形成的潮流之中.正確的觀(guān)點(diǎn)總是重要的,它會(huì )影響整體數學(xué)的發(fā)展一般說(shuō)來(lái),一種觀(guān)點(diǎn)總有其相對真理部分,它的導向也必有其積極作用的一面,當然也會(huì )有它的負面的影響.比如,1900年 Hilbert提出的“23個(gè)問(wèn)題”,就是他匯總了某些前人的視點(diǎn),加上他本人的感悟,形成的一種對數學(xué)本質(zhì)及其今后發(fā)展的觀(guān)點(diǎn)起初,人們并不怎么理解,慢慢地它被一些人所接受.如 Bourbaki學(xué)派,形成了一種思潮. Hilbert的數學(xué)觀(guān)點(diǎn)影響了20世紀的數學(xué)發(fā)展,特別是20世紀上半世紀的數學(xué)發(fā)展.其積極的促進(jìn)作用,是人們容易看到的.但也有負面影響,這是人們不易覺(jué)察的.20世紀下半世紀,情況發(fā)生了很大變化,主要原因是二戰后,應用數學(xué)的興起和計算機中國煤化工,人們看到核心收稿日期12-20CNMHG基金項目:中國高技術(shù)研究和發(fā)展項目(863項目)3TNet資助(No.2002AA103061);國家自然科學(xué)基金(No.60241006)數學(xué)進(jìn)34卷數學(xué)的發(fā)展之外,應用數學(xué)和計算機技術(shù)得到突飛猛進(jìn)的發(fā)展.今天,我們談起數學(xué),都會(huì )著(zhù)重地提核心數學(xué)、應用數學(xué)和計算機技術(shù)的互動(dòng)作用.20世紀末,數學(xué)整體發(fā)展水平已達到一個(gè)新的境界.且不提過(guò)去一個(gè)世紀中社會(huì )因素對數學(xué)整體發(fā)展的作用,僅就數學(xué)界來(lái)講,諸多數學(xué)家的數學(xué)觀(guān)點(diǎn),以及起主導作用的數學(xué)團隊(他們可能散布在世界各地)的勤奮工作,都對世界整體數學(xué)發(fā)展做出了貢獻,其中不能不提到馮·諾伊曼的貢獻.他不但是一位世界一流的純粹數學(xué)家,也是世界一流的應用數學(xué)家和現代計算技術(shù)的倡導者和奠基人.他可算是20世紀對人類(lèi)社會(huì )、經(jīng)濟、生活影響最大的數學(xué)家.他的數學(xué)觀(guān)點(diǎn),來(lái)自他對純粹數學(xué)、應用數學(xué)和計算機技術(shù)發(fā)展的全面思考,他對應用數學(xué)的推動(dòng)以及他卓有遠見(jiàn)的發(fā)展電子計算機的思想,已結出豐碩果實(shí),還要在本世紀發(fā)揮他的影響力.馮·諾伊曼的數學(xué)觀(guān)點(diǎn),對20世紀的應用數學(xué)和計算技術(shù)的發(fā)展起到積極的導向作用,而應用數學(xué)和計算技術(shù)的發(fā)展自然導致數學(xué)技術(shù)提法的出現3應用數學(xué)技術(shù)數學(xué)既是科學(xué)又是技術(shù),數學(xué)技術(shù)這種提法,本身是一種觀(guān)點(diǎn),這種數學(xué)技術(shù)主要是指應用數學(xué)技術(shù)人們把數學(xué)分為純粹數學(xué)和應用數學(xué),但這只是一種大致的分法,有時(shí)很難把某一分支或某一方向歸屬于純的,還是應用的.事實(shí)上,時(shí)至今日,人們也沒(méi)有說(shuō)清楚什么是數學(xué)?什么是應用數學(xué)?但是數學(xué)工作者總要大體上把握它們,必須有一種觀(guān)點(diǎn)理解它們,認識它們,因為只有這樣,才知道自己該做什么和怎么做什么是應用數學(xué)?在數學(xué)界有許多不同的觀(guān)點(diǎn)a, M. Atiyah在回答“什么是數學(xué)”時(shí)說(shuō)“很困難,一種可能的回答是數學(xué)是解決‘向題的各種思想與智力技巧的集合體”.他強調“問(wèn)題的作用”.純粹數學(xué)中,如費馬大定理、哥德巴赫猜想等等,吸引了許多數學(xué)家對這些問(wèn)題的研究,在他們奮力解決這些問(wèn)題的過(guò)程中,引進(jìn)了許多新的技巧與概念,這些新的技巧與概念滲透到許多數學(xué)分支之中,推動(dòng)了數學(xué)的創(chuàng )新,增強了美學(xué)成分,促進(jìn)了數學(xué)的進(jìn)步.這是來(lái)自數學(xué)內部的問(wèn)題, Hilbert的23個(gè)問(wèn)題正是如此M. Atiyah認為“問(wèn)題”在數學(xué)發(fā)展中起關(guān)鍵作用如果“問(wèn)題”是源于數學(xué)世界的外部,這些外部問(wèn)題對數學(xué)產(chǎn)生刺激,也會(huì )吸引許多數學(xué)家去研究它.有時(shí),這些問(wèn)題可在已有的數學(xué)框架內處理,此時(shí)人們的任務(wù)是找出適用的工具以便求得解.一般說(shuō),這是數學(xué)的應用.它也給數學(xué)帶來(lái)活力.特別地,如果這種“問(wèn)題”的解決具有重大的經(jīng)濟與社會(huì )效益,那將是數學(xué)對人類(lèi)社會(huì )的貢獻,很有意義.然而,經(jīng)常發(fā)生的情況是必須創(chuàng )造一個(gè)新的數學(xué)框架,其中的新概念反映了真實(shí)世界中被研充的現象.這是難度很大的創(chuàng )新研究.這就是應用數學(xué).數學(xué)通過(guò)與“外部問(wèn)題”的作用,在深度與廣度上得到了發(fā)展.這種研究不但具有重大的經(jīng)濟與社會(huì )效益,而且具有很高的學(xué)術(shù)價(jià)值.這是非常有意義的研究P.Lax在論述“應用數學(xué)在美國的蓬勃發(fā)展”時(shí),列出了應用數學(xué)在美國最有成就的幾個(gè)領(lǐng)域:流體力學(xué)、計算流體力學(xué)、數學(xué)物理,以及二次大戰后誕生的一些全新的應用學(xué)科,如對策論、控制論、線(xiàn)性規劃、動(dòng)態(tài)規劃、整數規劃和運籌學(xué)的其他分支,等等,這些學(xué)科總的目的是最優(yōu)化.P.Lax強調純粹數學(xué)與應用數學(xué)的共性和分組成一個(gè)有機的整體數學(xué)的發(fā)展,應該是整體數學(xué)中國煤化工榨數學(xué)的各個(gè)部CAMH數學(xué)的一個(gè)最重要聯(lián)系在于智力方面.PLax還強調應用數學(xué)發(fā)展的環(huán)境的重要性.是什么使得在20世紀美國的應用數學(xué)得到蓬楊德莊:靈活的應用數學(xué)技術(shù)3勃發(fā)展的?也許最重要的因素是戰爭.戰爭需要應用科學(xué)加速發(fā)展,而應用數學(xué)則是應用科學(xué)的核心部分.戰后,經(jīng)濟和社會(huì )發(fā)展又促進(jìn)了應用數學(xué)的發(fā)展他建議“年輕數學(xué)家到應用數學(xué)的某些分支去一試鋒芒.那里是藏著(zhù)許多深奧問(wèn)題的金礦,其解決有待于概念和技術(shù)上的突破.它向你展示各種方面,可以適合各種不同的口味;同時(shí)也為數學(xué)家提供了一個(gè)成為科技大企業(yè)一員的機會(huì )”,這雖然是1988年說(shuō)的,今日聽(tīng)起來(lái)仍很新穎C.C.Lin(林家翹)認為純粹數學(xué)是在某些公理基礎上研究數學(xué)定理.它可以獨立于其他理論科學(xué)的方式發(fā)展.應用數學(xué)是數學(xué)與其他科學(xué)的相互依存的部分.他強調的是數學(xué)與其他科學(xué)領(lǐng)域的關(guān)系.應用數學(xué)的目的在于運用數學(xué)來(lái)闡明科學(xué)概念和描述科學(xué)現象華羅庚提出了應用數學(xué)的分類(lèi)觀(guān)點(diǎn).這種分類(lèi)觀(guān)點(diǎn)不但避免了關(guān)于什么是應用數學(xué)的某些爭論,而且對于每個(gè)在應用數學(xué)領(lǐng)域里耕耘的數學(xué)工作者,更能明確自己的方向和位置.由于在不同方向和不同位置上的工作,有不同的評價(jià)標準,這種分類(lèi)觀(guān)點(diǎn)也減少評價(jià)上的不公正和非議,至少應用數學(xué)工作者自己心中有桿秤,不管他人怎么看,自已的份量自己心中有數這有利于調動(dòng)搞應用數學(xué)人的積極性和各類(lèi)型應用數學(xué)隊伍的形成華羅庚把應用數學(xué)大致分成三類(lèi).一類(lèi)是應用數學(xué)的基礎理論研究,這類(lèi)研究與純粹數學(xué)研究在思想與技巧上沒(méi)有本質(zhì)差別.差別在于問(wèn)題的來(lái)源不同,純粹數學(xué)問(wèn)題多數來(lái)源于數學(xué)內部,而應用數學(xué)問(wèn)題多數來(lái)源于數學(xué)的外部,在研究的動(dòng)力(目的)和美學(xué)觀(guān)點(diǎn)上也有差異.另類(lèi)應用數學(xué)研究是數學(xué)與別的學(xué)科領(lǐng)域的交叉,相互滲透、互相促進(jìn),以揭示該學(xué)科中重要的數學(xué)結構和解決有關(guān)問(wèn)題為目的.第三類(lèi)應用數學(xué)研究是面向國民經(jīng)濟系統、軍事系統和社會(huì )發(fā)展系統,以解決這三大系統中提出的現實(shí)問(wèn)題為目標.他認為這三類(lèi)研究都很重要,都有很好的前景.在當今之中國,這三類(lèi)研究力量最弱的是第三類(lèi),而我國的發(fā)展急需大量的這類(lèi)研究.因此他主張大力發(fā)展第三類(lèi)研究,以形成中國應用數學(xué)的特色.目前在中國,這一方向已形成應用數學(xué)的一個(gè)學(xué)科,中國科學(xué)院華羅庚應用數學(xué)與信息科學(xué)研究中心,正是這個(gè)學(xué)科的一個(gè)重要的工作站華羅庚確定他領(lǐng)導的中國應用數學(xué)的主攻方向是如上所述的第三類(lèi)研究.因為第一、二類(lèi)的研究與純粹數學(xué)研究在思想和方法上比較相近.早在二次世界大戰期間華羅庚就在中國倡導應用數學(xué).在昆明西南聯(lián)合大學(xué)任教期間,他提出了發(fā)展中國數學(xué)的藍圖,其中除純碎數學(xué)外,對于計算數學(xué)和應用數學(xué)的構思,在當時(shí)的國際數學(xué)界的領(lǐng)袖數學(xué)家中,也是不多見(jiàn)的.在華羅庚倡導應用數學(xué)之后,就有一批原來(lái)在純粹數學(xué)領(lǐng)域的數學(xué)工作者轉到這些方向上來(lái).他們中的多數都取得了不錯的成績(jì).第三類(lèi)研究具有特殊的難度,首先,它的“問(wèn)題”來(lái)自數學(xué)外部,是從經(jīng)濟、軍事和社會(huì )發(fā)展三大系統中提出來(lái)的“問(wèn)題”,這種“問(wèn)題”出現在人們面前時(shí)還僅僅是一種自然語(yǔ)言的描述,還遠不是一個(gè)數學(xué)問(wèn)題.把它變成數學(xué)問(wèn)題,需要經(jīng)過(guò)提煉.難度首先就出在這種對“問(wèn)題”的數學(xué)提煉與加工上.數學(xué)修養不同的人,對同一個(gè)“問(wèn)題”的提煉與加工的結果也不同.即使兩者都是“高手”,由于他們可能站在不同角度觀(guān)察同一個(gè)“問(wèn)題”,其結果也不一樣.這種把實(shí)際“問(wèn)題”提煉加工成數學(xué)問(wèn)題,通常稱(chēng)之為數學(xué)建模.這種建模的成功還依賴(lài)于能否找到恰如其分的數學(xué)概念與表達形式,以及隨后能否找出合適的分析與求解的有效技巧.在這種抽象過(guò)程中,簡(jiǎn)單性( simplicity)與中國煤化工重要性還應當著(zhù)重指出,不是所有的實(shí)際問(wèn)題都可以用現有的數學(xué)CNMHG一切“問(wèn)題都是數學(xué)問(wèn)題,但是把一個(gè)活生生的現實(shí)“問(wèn)題”變成數子問(wèn)匙,做匙米個(gè)谷易的,變成比較“好”的數學(xué)問(wèn)題,就更難了數學(xué)進(jìn)展34卷以往在數學(xué)社會(huì )里,人們往往看重純粹數學(xué)問(wèn)題,而輕視從實(shí)際中提取出來(lái)的數學(xué)問(wèn)題;有的認為純粹數學(xué)面對的問(wèn)題需要高智力的勞動(dòng),而應用數學(xué)面對的實(shí)際問(wèn)題的研究則不需要20世紀下半世紀至今的應用數學(xué)的發(fā)展,向人們展示了應用數學(xué)研究的重要性,也向人們展示了它的高深和難度,應用數學(xué)問(wèn)題的解決同樣需要高智力的勞動(dòng).在世界高速發(fā)展之今日,人們更清楚地看到了在自己探索著(zhù)的社會(huì )、經(jīng)濟、科技等領(lǐng)域中,特別是高新技術(shù)領(lǐng)域中,遇到的種種實(shí)際問(wèn)題,都有其數學(xué)結構,對這些實(shí)際問(wèn)題的數學(xué)結構的認知正是解決該問(wèn)題的關(guān)鍵.高技術(shù)實(shí)質(zhì)上是一種數學(xué)技術(shù)4靈活性十洞察力我們常?？吹綄σ粋€(gè)著(zhù)名數學(xué)家的評價(jià),特別對 Fields獎得主的評價(jià):“深刻的洞察力”靈活處理問(wèn)題的技巧”、“令人驚嘆”.這是對搞純粹數學(xué)和應用數學(xué)的理論研究的高度評價(jià)實(shí)際上,對于面向實(shí)際問(wèn)題、以解決實(shí)際問(wèn)題為目標的應用數學(xué)技術(shù)的研究也應當有這種評價(jià)一般說(shuō)來(lái),對某個(gè)問(wèn)題的研究,洞察力是第一位的本節小標題,“靈活性+洞察力”,把“靈活性”放在前頭,表明了我們的一種觀(guān)點(diǎn),說(shuō)明在面向實(shí)際問(wèn)題的應用數學(xué)技術(shù)研究中,靈活性的絕對重要性.這是因為(1)面對活生生的實(shí)際問(wèn)題,人們的洞察力與靈活性是交融在一起的.活生生的實(shí)際問(wèn)題可被人們從多角度靈活觀(guān)察.洞察力寓于靈活性之中(2)用應用數學(xué)技術(shù)解決實(shí)際問(wèn)題,首先是把實(shí)際問(wèn)題變成數學(xué)問(wèn)題,即建模,在建模過(guò)程中是不允許改條件的(這與理論研究不同,改了條件就不是這個(gè)實(shí)際問(wèn)題了.但是,它允許從不同角度,用不同觀(guān)點(diǎn)審視它,可以建立各種不同的模型,而這些模型的求解難易程度不同.靈活性在這時(shí)的體現就是,你可以從諸多角度建立模型的思考中,選擇一種能嵌入簡(jiǎn)單易解算法的模型.這就需要全面地調查研究實(shí)際問(wèn)題的各個(gè)方面,進(jìn)行細致的系統分析,靈活性貫穿這種活動(dòng)的全過(guò)程(3)當選定某個(gè)視角建成模型之后,也還允許不失去本質(zhì)的“更動(dòng)”,一種實(shí)際意義下的“等價(jià)變動(dòng)”.這種小更動(dòng),也許會(huì )帶來(lái)驚人的實(shí)效,嵌入一個(gè)簡(jiǎn)單的算法,這又是靈活性的體現.4)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)過(guò)(2)的靈活建模,或許又經(jīng)過(guò)(3)的“更動(dòng)”思考,可能仍只是建成了個(gè)極難解的數學(xué)模型.此時(shí),“死攻”已建好的模型去求解,是不可取的,靈活、遷回戰術(shù)值得提倡.因為我們的目標是解決實(shí)際問(wèn)題,而不是對已建的模型的求解能力比高低(5)實(shí)際問(wèn)題的解決是有時(shí)間要求的,它不允許象對待純粹數學(xué)中的猜想那樣慢慢地探索,步步地推進(jìn),這個(gè)進(jìn)程可以是幾十年,甚至是一個(gè)世紀或幾個(gè)世紀.實(shí)際問(wèn)題在某個(gè)時(shí)段內得不到解決,問(wèn)題的性質(zhì)就變了.所以,這必須有靈活處理的技巧.(6)在某時(shí)段內,實(shí)際問(wèn)題得到解決,將產(chǎn)生一定的效益(經(jīng)濟的與社會(huì )的).得不到解決,損失也是很大的,因此衡量(評價(jià))這種應用數學(xué)研究的標準是效益+學(xué)術(shù)水平(⑦)任何實(shí)際問(wèn)題的求解過(guò)程,都只是近似逼近,我們只能求得“較好”的或“滿(mǎn)意”的近似解202年 Nevanlinna獎得主 Madhn Sudan的r中國煤化工來(lái)說(shuō),逼近最優(yōu)解和尋找最優(yōu)解一樣困難.這就給靈活處理這些實(shí)際片CNMHG(8)凡技術(shù)就有 Known-How,應用數學(xué)技術(shù)的 Known-How的嚴生要幕對實(shí)際問(wèn)題的敏銳數覺(jué)(數覺(jué)是小平邦彥的提法),靠靈活的觀(guān)察、靈活的思路、靈活的技巧以及形成新的概念1期楊德莊:靈活的應用數學(xué)技術(shù)5靈活的應用數學(xué)技術(shù)的幾個(gè)思想與方法華羅庚40年代倡導應用數學(xué),50年代末開(kāi)始探索應用數學(xué),通過(guò)60-70年代試點(diǎn)普及與推廣應用數學(xué)方法的階段,他逐步明確了自己的應用數學(xué)分類(lèi)觀(guān)點(diǎn).與此同時(shí),他也確定了他的主攻方向一面向實(shí)際問(wèn)題、以解決實(shí)際問(wèn)題為目標的應用數學(xué)技術(shù)研究.由于他在普及推廣應用數學(xué)技術(shù)一“雙法”(統籌方法、優(yōu)選法)上花費了太多時(shí)間(將近20年),在他剛要在這個(gè)方向上開(kāi)展創(chuàng )造性研究的時(shí)候,在“戰場(chǎng)”上倒下了.現在“中國科學(xué)院華羅庚應用數學(xué)與信息科學(xué)研究中心”(簡(jiǎn)稱(chēng)華羅庚中心)正是沿著(zhù)這個(gè)學(xué)科方向開(kāi)展工作的我們總結了華羅庚教授的應用數學(xué)思想、觀(guān)點(diǎn)和方法論特色,以及具體的方法技巧,開(kāi)展了面向實(shí)際問(wèn)題、以解決實(shí)際問(wèn)題為最終目標的深層次應用數學(xué)技術(shù)研究,在經(jīng)濟、軍事、社會(huì )發(fā)展以及信息科學(xué)與技術(shù)等領(lǐng)域取得了一些成果.這些成果的取得都與“靈活的思想與技巧”密切相關(guān)(1)模型算法一體化思想這種思想要求對實(shí)際問(wèn)題有深刻的了解、透徹的分析,靈活地抓住問(wèn)題的特殊性,建立含有特殊算法的特殊模型,“模型寓于算法,算法嵌入模型”.達到這種境界必須有很高的靈活性和創(chuàng )造性.實(shí)例見(jiàn)§6例案1,7(2)更動(dòng)目標、更動(dòng)約束思想這種應用數學(xué)技術(shù)主要是針對最優(yōu)化數學(xué)問(wèn)題的,最優(yōu)化數學(xué)問(wèn)題包含兩大要素:目標函數與約束條件.實(shí)際問(wèn)題往往非常復雜,只有對其了解、分析透徹,才可以走模型算法一體化的途徑,否則,就不能達到這種高度模型既不失真,又要有特殊算法嵌在其中,這非常難!因此一般來(lái)說(shuō),只能按自己認為最好的方式去完成建模.之后,還要進(jìn)一步研究求解的算法.此時(shí)有兩條路子,其一是循規蹈矩的數學(xué)化研究;其二是靈活的數學(xué)變換轉化,也稱(chēng)其為靈活的數學(xué)化研究.它是根據問(wèn)題的特性采用特殊的數學(xué)處理技巧:適當地改變其目標函數或約束條件,既不使改變后的模型失真,又要使改變后的模型具有特殊的算法.其背景是:一個(gè)實(shí)際問(wèn)題可以有很多數學(xué)模型,但這些數學(xué)模型的最優(yōu)解是一樣的.在這很多數學(xué)模型中有一類(lèi)(或一個(gè))是與自己已建立的數學(xué)模型在目標與約束上具有大致相同的形式,只在目標或約束上稍有區別.但正是這種區別,往往給我們解決問(wèn)題帶來(lái)轉機,能夠形成特殊算法.更動(dòng)后的數學(xué)模型達到了模型算法一體化這種更動(dòng)目標函數或約束條件,或兩者同時(shí)更動(dòng)的方法,我們稱(chēng)之更動(dòng)目標約束法.實(shí)踐證明,它是非常有效的.實(shí)例見(jiàn)§6例案2,3,5,7(3)二次建模思想更動(dòng)目標約束法就是一種二次建模的做法.通過(guò)更動(dòng)目標函數或約束條件,或兩者都更動(dòng),去尋找特殊算法,這本身就是通過(guò)修改目標或約束,進(jìn)行了再次建模在許多實(shí)際問(wèn)題的研究中,由于問(wèn)題復雜度很高、難度很大,模型算法一體化的做法不能一下達到,更動(dòng)目標約束法也難以奏效.這時(shí),在普通建模之后,通過(guò)二次建模,抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)及已建模型的特性,靈活處置,使再次建模的模型變得容易求解.這種思想、技巧也具有很高的智力技巧,在我們解決實(shí)際問(wèn)題中也常用,也很有效實(shí)例見(jiàn)§6例案4(4)模式元我們在高技術(shù)領(lǐng)域,經(jīng)濟、軍事、社會(huì )發(fā)展的復雜系HH中國煤化工CNMHG題的研究中采用模式元做變量.提出模式元概念,并用它作為變量,去建模、去求解,收到很好的效果.這數學(xué)進(jìn)展34卷里的模式元概念與模式識別中的模式概念不同,也與純數學(xué)中模理論的模概念不同,它是參數變元的推廣,參數變元是最簡(jiǎn)單的模式元模式元是復雜系統中某個(gè)部分或某子系統的結構形態(tài)(邏輯結構形態(tài)和硬件結構類(lèi)型)和控制其運行的模型、算法及其關(guān)聯(lián)參數整合的有機體;或是復雜事物的某個(gè)部分的結構形態(tài)和它的功能機理以及行為特征整合的有機體.這是一個(gè)宏觀(guān)與微觀(guān)相結合的概念,也是一個(gè)定性+定量+行為特征相結合的概念,是一個(gè)某種意義下整合的概念以往人們研究一個(gè)復雜系統或復雜事物時(shí),引進(jìn)大量的參變量,有的多達上千萬(wàn)個(gè),這些參變量組成維數很高的空間(有時(shí)甚至是無(wú)窮維空間),給問(wèn)題的研究帶來(lái)了難度模式數學(xué)的出現是應對這種挑戰的結果,也是人類(lèi)認知的發(fā)展20世紀下半世紀,人們看到了模式科學(xué)( the science of patterns),而且認識到了“數學(xué)是模式的科學(xué)”,也就是說(shuō)“數學(xué)科學(xué)不再僅僅是對數和空間的研究,它成為一門(mén)模式的科學(xué)”,“數學(xué)家在數中、在空間中、在科學(xué)中、在計算機中以及在想象中尋找模式”(L.A.Sten,也在應用中尋找模式,為了某種目的,尋找最精巧模式就是最深刻的結果.數學(xué)家研究模式、用數學(xué)理論解釋模式間的關(guān)系;函數、映射、算子,將一類(lèi)模式與另一類(lèi)模式聯(lián)系起來(lái),產(chǎn)生一種數學(xué)結構.應用數學(xué)家則是在解決實(shí)際問(wèn)題所產(chǎn)生的數學(xué)結構中洞察新的模式,或把對實(shí)際問(wèn)題的模式洞察力,用于構建數學(xué)模型.因此,“模式可以啟發(fā)新的模式,常常產(chǎn)生模式的模式以上引文提到的模式是籠統而言的,它既可以是模式元,也可以是模式元的函數、映射、算子,或是一種數學(xué)結構.比如,控制論中從純量轉變到矩陣模式;紐結理論中紐點(diǎn)分類(lèi)用的紐結模式,新算子類(lèi)和紐結類(lèi)的特點(diǎn)出現在紐結群上在我們的應用數學(xué)研究方向上,引進(jìn)模式元,目的在于改進(jìn)我們對事物的科學(xué)認知,提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí),模式元可粗可細,可大可小,小至徽觀(guān)宇宙中的粒子模式結構與運行形態(tài),大到星際宇宙中星系的結構模式與運行機理,甚至對經(jīng)濟與社會(huì )問(wèn)題無(wú)窮維描述的處理,都可以按照人們的不同追求目標,選擇適當的模式元,建構模式元的數學(xué)框架.在這種模式元上,可以定義相應的“運算”,形成群.比如,紐結模式上的紐結群.這樣,現代數學(xué)的最重要的基本概念,群及群理論,就可以發(fā)揮作用了.再在模式元上定義適當的映射,比如取值在實(shí)空間的實(shí)值函數,可以描述實(shí)際問(wèn)題的目標函數和性能指標在最優(yōu)化問(wèn)題的研究中,建立在模式元基礎上的數學(xué)技術(shù),能更簡(jiǎn)易靈活地處理復雜的高難度的實(shí)際問(wèn)題.這是因為1)實(shí)際問(wèn)題的優(yōu)化,往往是一個(gè)過(guò)程優(yōu)化.模式元能靈活地描述和處理這種過(guò)程優(yōu)化、靈活地運用最優(yōu)化原則2)實(shí)際問(wèn)題往往是多層面、多目標的,模式元能靈活地描述和處理多層面、多目標的問(wèn)題,靈活地運用疊加原則3)模式元包含定性分析模式、行為分析模式、數學(xué)模型與算法模式,等等,這是參數變元所無(wú)法表達的;參變元只是模式元的最簡(jiǎn)單形式,所以模式元概念擴展了變元的內涵4)我們面向的實(shí)際問(wèn)題,往往是離散型的,是離散組合型問(wèn)題.模式元很適合描述這類(lèi)問(wèn)題,同時(shí)可以用模式元控制這類(lèi)問(wèn)題的大小規模,恒千求解下面用例子說(shuō)明模式元概念以及如何利用模式中國煤化工在一個(gè)寬2個(gè)單位,長(cháng)1000個(gè)單位的矩形中,n人AN一個(gè)單位的相互不重疊的圓?楊德莊:靈活的應用數學(xué)技術(shù)圖1(i)用參數變元描述首先,在矩形所在的平面上建立直角坐標系,如圖1;其次,我們可以一個(gè)一個(gè)地往矩形中放圓,從左至右,第讠個(gè)圓的圓心坐標為(x1,v),如果有兩圓的橫坐標x一樣,順序自上而下數,那么,最優(yōu)化數學(xué)模型為Max i3≤v≤x;≤999,ⅵa,(x1-x)2+(v-3)2≥1,≠j(i〕)用模式元描述:(a)一個(gè)圓的模式(b)兩個(gè)圓的模式(兩圓捆綁式);(c)三個(gè)圓的模式(三圓捆綁式)(d)四個(gè)圓的模式(四圓捆綁式(a)的一個(gè)圓的模式就是以上的參數變元描述,尚沒(méi)有找到有效的解法;(b)的兩個(gè)圓的模式怎么放都不好.再考察(c)的三個(gè)圓模式,最優(yōu)結構一定是捆綁式,而且是三個(gè)圓兩兩相切的一體化整合型問(wèn)題簡(jiǎn)易了,靈活了,關(guān)聯(lián)參變元也簡(jiǎn)單,容易驗證,用這種模式最好的放法能放進(jìn)2000+11個(gè),實(shí)例見(jiàn)56例案1,65)研究工作方式的兩種合力前面提到面向實(shí)際問(wèn)題的應用數學(xué)研究與純粹數學(xué)研究有幾個(gè)不同的特點(diǎn),比如,這種應用數學(xué)研究的問(wèn)題多數來(lái)自數學(xué)的外部,它有與純粹數學(xué)研究不同的研究目的和美學(xué)觀(guān)點(diǎn)等等這種應用數學(xué)研究與純粹數學(xué)研究的另一個(gè)不同點(diǎn)是:這種應用數學(xué)研究強調群體力量、團隊精神;強調多學(xué)科的交叉與綜合.這是兩種合力:團隊的群體合力和多學(xué)科的交叉綜合之合力靈活性依靠研究者個(gè)人的悟性,靈活性也依靠團隊合力和交叉綜合之合力6)十二論總而言之,我們把華羅庚應用數學(xué)的思想與方法點(diǎn)、創(chuàng )新觀(guān)點(diǎn)、模型論、算法論、方法論、辨思論、劉H中國煤化工類(lèi)觀(guān)點(diǎn)、探索觀(guān)CNMHG論、后勁論、動(dòng)力論.詳見(jiàn)《華羅庚的數學(xué)生涯》(科學(xué)出版社,2000數學(xué)進(jìn)展34卷十二論以探索、創(chuàng )新精神為精髓,以靈活的模型論和算法論為主題,它的導向作用,引發(fā)了特殊的數學(xué)技術(shù)的新思想與技巧.如模型、算法一體化思想、更動(dòng)目標約束思想、再次建模思想以及模式元概念,等等,其間靈活性起著(zhù)重要作用強調靈活性,體現在十二論主要論點(diǎn)的方方面面,即使是分類(lèi)觀(guān)點(diǎn),它不僅是對應用數學(xué)總體提出分類(lèi)研究的觀(guān)點(diǎn),而且對于研究對象也要先進(jìn)行靈活分類(lèi),然后再分類(lèi)加以研究,因為不同類(lèi)的事物有不同的特殊性質(zhì)通過(guò)靈活、科學(xué)分類(lèi),具體問(wèn)題具體分析,具體處理,才能有效地解決之.對研究對象的具體研究過(guò)程,要有靈活的、辨證思維能力(整體的思維方式、交叉綜合的思維方式,以及邏輯思維與形象思維相結合的方式)以達到模型與算法的真實(shí),簡(jiǎn)單,易行,有效6幾個(gè)實(shí)際案例應用數學(xué)和純粹數學(xué)一樣,它們的原理、原則、思想、概念往往比定理更重要,這是人們的認知基礎,比如加法原則、乘法原則、抽屜原則、歸納法思想、反證法思想、最優(yōu)化原理和分支定界思想,等等新的思想和新的概念的提出,對純粹數學(xué)和應用數學(xué)也是同樣地重要.M. Atiyah認為:“新的概念是數學(xué)進(jìn)步的基本要素,……,從長(cháng)遠來(lái)看,它們與解決困難問(wèn)題或發(fā)展新技巧具有完全同等的重要性”我相信例子更有說(shuō)服力下面我們通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題的幾個(gè)例子介紹華羅庚應用數學(xué)的模型算法一體化思想、更動(dòng)目標約束思想和方法,以及模式元概念的應用,以此說(shuō)明靈活處理實(shí)際問(wèn)題的重要性(1)新型路由器的優(yōu)化設計攻關(guān)研究1)問(wèn)題的來(lái)源及背景(1)問(wèn)題來(lái)自數學(xué)的外部,來(lái)自通信高新技術(shù)領(lǐng)域的產(chǎn)業(yè)界(i)美國IDG公司謀求研制世界最大吞吐量(640Gbps)的高速骨干網(wǎng)上核心路由器.他們已經(jīng)做了大量的調研分析和有關(guān)技術(shù)準備.他們清楚地知道問(wèn)題在于關(guān)鍵技術(shù)-數學(xué)技術(shù)的突破,因此,必須尋找一個(gè)應用數學(xué)團隊.他們找到“華羅庚中心”進(jìn)行合作研究談判,一周后簽約,合作攻關(guān)研究立即啟動(dòng)i)高速通信網(wǎng)絡(luò )的核心路由器是融合數學(xué)技術(shù)、計算機技術(shù)、網(wǎng)絡(luò )技術(shù)、微電子技術(shù)、大規模集成電路技術(shù)、光電子技術(shù)及通信技術(shù)的尖端高科技產(chǎn)品,它的研發(fā)水平是衡量一個(gè)國家科技水平的重要標志2)研制過(guò)程及成果華羅庚中心抽調核心團隊中的7名成員組成攻關(guān)小組從零開(kāi)始(此前他們都未見(jiàn)過(guò)路由器)首先進(jìn)行學(xué)習與溝通(向IDG派來(lái)的人員學(xué)習,同時(shí)研究有關(guān)論文、資料),然后共同研討,經(jīng)過(guò)不到一年的攻關(guān),他們運用華羅庚應用數學(xué)思想和技巧,釆用結構、模型、算法一體化的設計模式(尤其是引進(jìn)模式元概念及其靈活運用),設計出高速骨干網(wǎng)上核心路由器的模型+算法+程序MAP= Model Algorithm + Program最后定型為50版本.吞吐量達到64Gb,時(shí)延、抖『V中國煤化工能指標都超過(guò)世界著(zhù)名電信公司 Cisco,IBM, Juniper等的設計水平CNMHG3)數學(xué)技術(shù)楊德莊:靈活的應用數學(xué)技術(shù)路由器是一種工業(yè)裝置,它的功能是交換與傳輸經(jīng)過(guò)它的信息流.它的重要性能指標包括吞吐量、丟包率、時(shí)延、抖動(dòng)以及公平性等,還要求功耗小,造價(jià)低.這種裝置是融合多種技術(shù)特別是數學(xué)技術(shù)的復雜系統如何運用數學(xué)技術(shù)實(shí)現優(yōu)化設計呢?)首先,我們從兩個(gè)枧角入手:一個(gè)是視之為一個(gè)特殊的排隊網(wǎng)絡(luò )系統(般文獻大都如此;第二個(gè)視角,視之為一個(gè)特殊的多目標、多約束、多階段、多層次的組合優(yōu)化過(guò)程(i).用通常的參數變量建模的途徑,由于影響各指標的參數繁多,各種參數之間的關(guān)系錯綜復雜,模型的描述也非常復雜,不易抓住關(guān)鍵點(diǎn)之所在,不便在參變元上直接運用模型算法體化思想.為此(i)我們對該復雜系統定義了一系列的模式元,并靈活運用模式元構建這個(gè)復雜系統的整體數學(xué)模型.這里的模式元有的是硬件結構形態(tài)、有的是信息流的排隊、排序模式,有的是數據包運行的機理、有的是網(wǎng)絡(luò )結構形式,還有的是公平性的機制和參變元等等.同時(shí)對一些類(lèi)型的模式元定義一種乘法(加法)運算,構成群(一般是非交換群).這樣群的理論與技術(shù)我們就可以利用了.在模式元上,再定義適當的映射(我們取與實(shí)際問(wèn)題相符的實(shí)值函數).這樣我們就可以描述這個(gè)復雜系統了,一般說(shuō)來(lái),由這些模式元描述的復雜系統的全體構成森林.森林中的每棵樹(shù)表示一種設計模式(這就是模式元之模式).對每棵模式樹(shù)所反映的多目標、多約束、多階段、多層次的過(guò)程優(yōu)化問(wèn)題都得到很好的描述,即它的性能指標及其他目標都通過(guò)模式元運算和定義在模式元上的實(shí)值函數及其運算得到了表達這樣,我們構建了一系列全新的數學(xué)模型,它是結構、模型、算法一體化的,多目標、多階段、多層次的優(yōu)化模型,其間嵌入了特殊的組合優(yōu)化的求解技術(shù)算法).它們包括:路由器各級高效率的排隊、排序模型與算法、高效率的優(yōu)先權和公平性處理的模型與算法、高速和高匹配率的中心調度特殊模型與算法、各級緩沖庫容量的優(yōu)化配置模型與箅法,內存優(yōu)化管理模型與算法,以及系統仿真模型、信號源構造模型、全局時(shí)延的馬爾柯夫鏈的分析模型和網(wǎng)絡(luò )分析模型以上所有模型的建立和求解的快速算法及高效實(shí)現,對研究者來(lái)說(shuō)是一種挑戰.我們采用引進(jìn)模式元概念的靈活分析和處理的辦法以及華羅庚應用數學(xué)結構、模型與算法一體化的思想和技巧,進(jìn)行攻關(guān)研究,獲得了成功4)研究成果具有很高的學(xué)術(shù)價(jià)值和重大的經(jīng)濟、社會(huì )效益5)進(jìn)入863項目繼續攻關(guān)研究本項研究得到國內外有關(guān)部門(mén)的好評,華羅庚中心面對實(shí)際問(wèn)題以解決實(shí)際問(wèn)題為目標的研究方向得到肯定,解決實(shí)際問(wèn)題的探索精神、創(chuàng )新意識和華羅庚應用數學(xué)技術(shù)的方法論特色以及華羅庚中心核心團隊的合作攻關(guān)精神和方式都得到認可在本項攻關(guān)研究成果基礎上,我們進(jìn)入了國家科技部863項目-T比特級路由器的關(guān)鍵技術(shù)攻關(guān)研究.目前已申請了兩項專(zhuān)利(2)移動(dòng)通信無(wú)線(xiàn)網(wǎng)絡(luò )優(yōu)化研究1)問(wèn)題的來(lái)源及背景問(wèn)題來(lái)自數學(xué)外部、來(lái)自福建省移動(dòng)通信總公司省市移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò )發(fā)展十分迅速,在網(wǎng)絡(luò )規劃和建設時(shí),一般都沒(méi)有能力做好優(yōu)化設計工中國煤化工可題需要在網(wǎng)絡(luò )運行時(shí)進(jìn)行調優(yōu),即使在規劃和建設過(guò)程盡力進(jìn)行了優(yōu)CNMHG通信的預測模型(如話(huà)務(wù)量預測、無(wú)線(xiàn)電傳播預測模型等)的不準確性,加上通信環(huán)境、地形地物及話(huà)務(wù)量等因素數學(xué)進(jìn)展34卷的不斷變化,需要不斷地對網(wǎng)絡(luò )的各種參數設置和規劃指標進(jìn)行優(yōu)化調整這就要求經(jīng)常性地對網(wǎng)絡(luò )進(jìn)行優(yōu)化,使其保持最佳運行狀態(tài),滿(mǎn)足廣大顧客的需求,同時(shí),使網(wǎng)絡(luò )運營(yíng)商獲得最大的效益福建省移動(dòng)通信運營(yíng)部門(mén),認識到移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò )出現的接通率問(wèn)題、掉話(huà)問(wèn)題、話(huà)音質(zhì)量問(wèn)題等等,嚴重地影響了移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò )的服務(wù)質(zhì)量和效益.解決這些問(wèn)題,一靠大量增加設備;另一個(gè)靠數學(xué)技術(shù),從全局的、系統的觀(guān)點(diǎn)、運用數學(xué)、運籌學(xué)、系統工程等優(yōu)化理論和方法,對問(wèn)題進(jìn)行整體描述,建立相應的數學(xué)模型,提出好的算法程序,實(shí)時(shí)地對網(wǎng)絡(luò )進(jìn)行整體優(yōu)化調整.在此基礎上再適當調配設備,使網(wǎng)絡(luò )處于良好狀態(tài).華羅庚中心與福建移動(dòng)通信總公司,確立“移動(dòng)通信無(wú)線(xiàn)網(wǎng)絡(luò )優(yōu)化”課題進(jìn)行攻關(guān)研究2)研充過(guò)程及成果華羅庚中心的研究隊伍從問(wèn)題的調査研究、系統分析開(kāi)始,弄清移動(dòng)通信系統的物理結構,運行機理,與系統有關(guān)的主要參數、常規設計思路以及傳統的工程優(yōu)化調整的方法在此基礎上,確定了用數學(xué)技術(shù)進(jìn)行優(yōu)化的思路,全局解決問(wèn)題的邏輯結構與方法論,以及網(wǎng)絡(luò )優(yōu)化的目標經(jīng)過(guò)一年的攻關(guān)研究,我們運用華羅庚應用數學(xué)思想和技巧,采用模型算法一體化和更動(dòng)目標的思想與方法,分別建立了三種優(yōu)化數學(xué)模型和算法,“達到國內領(lǐng)先水平,填補了國內在該領(lǐng)域的空白”(鑒定意見(jiàn)).我們還運用統計數學(xué)技術(shù),對系統采集的樣本數據進(jìn)行科學(xué)的分析和處理,并對系統的性能指標進(jìn)行診斷“診斷方法科學(xué),對系統的診斷結果具有很強的說(shuō)服力”(鑒定意見(jiàn)),與美國ADC公司在全球60多個(gè)國家150多個(gè)地區推行的軟件系統“ Metrica網(wǎng)絡(luò )性能分析系統”相比,該項研究的特色是在系統主要性能指標分析的基礎上,用數學(xué)技術(shù)建立全局的優(yōu)化數學(xué)模型進(jìn)行整體優(yōu)化,而 Metrica僅有詳盡的性能分析,沒(méi)有優(yōu)化模型和優(yōu)化功能3)數學(xué)技術(shù)移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò )系統是一個(gè)復雜的大系統,它的優(yōu)化設計或優(yōu)化改造問(wèn)題是該領(lǐng)域的前沿熱點(diǎn)。其難度不僅在于系統參數繁多,關(guān)系復雜,還在于系統的隨機性大(比如話(huà)務(wù)量分布的隨機變化大).為使系統能正常運行,一般都采用忙時(shí)分析法(以話(huà)務(wù)高峰期的話(huà)務(wù)量為準),以系統投資運營(yíng)綜合效益為目標函數.這是一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題,它的一般模型為:MaxFl(a)-F2 (a)-F3(a)h91(x)≥a1,g2(x)≥a2,9n(x)≥am,其中x=(x1,x2,…,xn)是系統的參變量,F1(a)是系統總收費,F2(x)是系統的投資建設費,F3(x)是維護系統的運營(yíng)費設S(x)為第讠基站第j小區的話(huà)務(wù)量,對于中國煤化工,P2(),f3(a)基本上是確定的,因此用 min max si(a)更替原HCNMHG為min max Si(a)楊德莊:靈活的應用數學(xué)技術(shù)g1(x)≥st.()gm(x)≥am,與原模型在“實(shí)際意義上”是等價(jià)的看來(lái)問(wèn)題更復雜了,理論上求解 min max S(x)非常困難!但是,我們根據該實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn),在這個(gè)更動(dòng)模型中嵌入一個(gè)很好的算法.它是一個(gè)層上層,套中套的疊加優(yōu)化迭代算法首先通過(guò)伸縮基站小區管轄半徑參數變元的迭代算法,再變換覆蓋模式元及切換模式元,以求更深層次的優(yōu)化.數學(xué)技術(shù)的應用還反映在統計數學(xué)技術(shù)對網(wǎng)絡(luò )系統的性能指標的樣本數據的處理分析上,科學(xué)的統計數學(xué)分析,給出了系統性能的科學(xué)診斷4)研究成果具有很高的學(xué)術(shù)價(jià)值和重大的經(jīng)濟、社會(huì )效益(1)學(xué)術(shù)價(jià)值(與美國ADC公司 Metrica相比)(i)經(jīng)濟與社會(huì )效益5)獲得國家自然科學(xué)基金委員會(huì )學(xué)部主任基金特別支持費,繼續攻關(guān)研究本項研充經(jīng)鑒定認為屬?lài)鴥阮I(lǐng)先水平.同時(shí)由于移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò )優(yōu)化難度很大,各先進(jìn)國家,特別國際大通信公司都在組織攻關(guān)隊伍數學(xué)技術(shù)對解決這個(gè)問(wèn)題居重要地位,我們得到國家自然科學(xué)基金委領(lǐng)導的重視,并獲得國家自然科學(xué)基金部主任基金的特別支持,今后將努力在原有基礎上繼續攻關(guān)(3)電力變壓器優(yōu)化設計這是一項28年前(1975年)完成的工業(yè)產(chǎn)品優(yōu)化設計工作.由于它是第一次實(shí)踐了更動(dòng)目標的思想與方法,也由于這次無(wú)奈中更動(dòng)目標函數,并獲得成功,事后受華羅庚教授的評點(diǎn)的啟發(fā),才引發(fā)出“更動(dòng)”思想的,而且,這是更動(dòng)目標函數的最好例子,因此,在這里列舉一下需要說(shuō)明的是,1975年我國電力變壓器行業(yè)對電力變壓器的設計還處在手工計算設計的階段,當時(shí),我國電子計算機也只有第一代電子管計算機(在中國科學(xué)院計算所,稱(chēng)109乙機),用電子計算機代替手工計算進(jìn)行設計,本身就是難事,更不要說(shuō)優(yōu)化設計了.當時(shí),運籌學(xué)工作者和應用數學(xué)工作者也沒(méi)有成熟的通過(guò)數學(xué)建模、再給出算法、真正解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗.為了真正解決實(shí)際問(wèn)題,必須按照當時(shí)的材料性能、工廠(chǎng)工藝過(guò)程的操作水平,以及變壓器各種指標的計算公式,進(jìn)行數學(xué)建模,然后再研究解法.因此,當時(shí)建立的數學(xué)模型十分復雜,有連續變量,也有離散變量,表達式多數是非線(xiàn)性的.所建模型是一個(gè)非線(xiàn)性混合型整數規劃問(wèn)題.表達式中套表達式(函數之函數)共有近80個(gè)式子,目標函數表達式更為冗長(cháng).整數規劃的割平面法無(wú)計可施,分支定界法也無(wú)從下手.無(wú)奈中,發(fā)現從物理意義上考慮的另一個(gè)目標函數|u(x)-o+|p(x)-po,其中x是n維變量.如果用它替代原來(lái)的目標函數,加上我們發(fā)現的u(x)與p(x)的函數特性.分支定界法的威力一下就發(fā)揮出來(lái)了.這就是在平面矩形對角線(xiàn)交點(diǎn)(中心),做一次數值計算就可以去掉矩形的一半子矩形的所有點(diǎn),這樣,一種特殊的算法提出來(lái),有效地解決了這個(gè)問(wèn)題事后,華羅庚教授評點(diǎn)該項研究時(shí)說(shuō):在當時(shí)進(jìn)行這項研充有以下幾個(gè)不容易:(1)建立數學(xué)模型,不容易;(2)利用計算機,不容易;(3)中國煤中的目標函數思想的提出,不容易;(4)根據目標函數特性給出平面對分,更動(dòng)目標的思想就提出來(lái)了,找一個(gè)實(shí)際上等價(jià)的目標函數(它不是奴⊥1對度時(shí)等,用它替代原來(lái)的目標函數,這種替代不影響原問(wèn)題的本質(zhì).可是由于用它的替代后形成的新問(wèn)題,在算法研究上發(fā)數學(xué)進(jìn)展港卷生了質(zhì)的變化,問(wèn)題一下就變得容易求解了.在實(shí)踐中,此法常用,不但用在更動(dòng)目標函數上,而且也用在更動(dòng)約束條件上,每一次都很成功.這種思想對于解決面向實(shí)際問(wèn)題的應用數學(xué)研究是行之有效的,我們稱(chēng)這種技巧為更動(dòng)目標法或更動(dòng)約束法.這種技巧與華羅庚教授提倡的模型算法一體化思想相配合,是應用數學(xué)創(chuàng )造型研究的有力武器.靈活性體現在“更動(dòng)”上從嚴格數學(xué)意義上說(shuō),更動(dòng)目標函數和更動(dòng)約束條件是有許多“靈活的”、“更動(dòng)”空間的.請看2維線(xiàn)性規劃問(wèn)題的圖解法圖2左圖說(shuō)明,更動(dòng)目標函數,可以不改變最優(yōu)解(過(guò)最優(yōu)解的目標函數可以有無(wú)窮多個(gè);右圖說(shuō)明,更動(dòng)約束條件,也可以不改變最優(yōu)解(這種更動(dòng)約束集方式也可能有無(wú)窮多個(gè))還需要說(shuō)明的是,更動(dòng)目標約束方法與靈敏度分析的意義不同,靈敏度分析是優(yōu)后分析,是分析目標函數若有一些變化對最優(yōu)解的影響;更動(dòng)目標約束方法是優(yōu)前分析,它給出了求最優(yōu)解的一種新思想目前,我們正與國內某大型變壓器廠(chǎng)一起攻關(guān)研究,進(jìn)行新型變壓器的優(yōu)化設計(4)準格爾露天煤礦優(yōu)化設計(大型露天煤礦的優(yōu)化設計)1)問(wèn)題來(lái)源及背景問(wèn)題來(lái)自國務(wù)院和內蒙古自治區政府.準格爾煤礦是我國最大的露天煤礦.國務(wù)院決定開(kāi)發(fā)它,是因為它在我國能源格局中占重要地位.這個(gè)問(wèn)題的矛盾首先出現在各有關(guān)部委(煤炭部、鐵道部、電力部、城建部……)的研究院和設計院的開(kāi)發(fā)盤(pán)子總和大大超過(guò)國務(wù)院的開(kāi)發(fā)盤(pán)子中國科協(xié)組織12個(gè)學(xué)科的專(zhuān)家顧問(wèn)團(帶頭學(xué)科是數學(xué),華羅庚教授為總顧問(wèn))對該項目開(kāi)發(fā)進(jìn)行咨詢(xún)研究.2)露天煤礦優(yōu)化設計涉及以下一些課題研究(i)露天煤礦的礦體模型;(i)露天煤礦的最優(yōu)開(kāi)采境界;(i)露天煤礦礦區城市布局規劃(iv)運煤輸電問(wèn)題的決策;(v)露天煤礦礦區優(yōu)化設計;(v)能源輸送的優(yōu)化設計,等等我們只就第(v)個(gè)問(wèn)題加以說(shuō)明,因為它是二次埭塏的個(gè)Al中國煤化能源開(kāi)發(fā)包括一次能源開(kāi)發(fā)(煤媒、石油等)和二次電)在某個(gè)區域(比如華北與東北地區),我們考慮增加煤礦引起的輸煤CNMHG乜廠(chǎng)引起的輸電網(wǎng)絡(luò )的擴建及最優(yōu)輸送規劃.這是兩個(gè)層次網(wǎng)絡(luò )的疊加,能源的轉換發(fā)生在發(fā)電廠(chǎng),用代數式子表1期楊德莊:靈活的應用數學(xué)技術(shù)達的方程是目標函數:f(X,x,M)=∑f(x,x,M);i=1D的投資費用:f(xx,M=∑∑(,ED I=tijg2網(wǎng)絡(luò )的運行費用f(Xxx,M)=∑∑,)∈9l=19網(wǎng)絡(luò )的維修費用:(xM∑∑a∑∑故網(wǎng)絡(luò )的補償費用X.XM(i,j)∈Ωl=1發(fā)電廠(chǎng)的投資經(jīng)費:(xxMO=∑∑∑∑aH+il=1k=l-)(m1)發(fā)電廠(chǎng)的維修費用:f6xx,M)=∑∑∑D的投資經(jīng)費f(xX,M)=∑(1+r)(,)∈Dl=i網(wǎng)絡(luò )的運行費用:(xx,M=∑∑(1+r)}網(wǎng)絡(luò )的維修費用:中國煤化工CNMHGf9(X, X, M)。20++22a+m數學(xué)進(jìn)展34卷2網(wǎng)絡(luò )的補償費用fro(X, X,M)=∑∑(i)∈百l=1滿(mǎn)足約束(a)9網(wǎng)絡(luò )源點(diǎn)的限制:對Vl=1,2,…,m,vj∈J1,ai(b)9網(wǎng)絡(luò )節點(diǎn)平衡條件:Vl=1,2,v∈J2ijl其中D:運輸網(wǎng)絡(luò )新加弧的集合;2:運輸網(wǎng)絡(luò )所有弧的集合;D:輸電網(wǎng)絡(luò )新加弧的集合32:輸電網(wǎng)絡(luò )所有弧的集合;S示:運輸網(wǎng)絡(luò )中弧(i,八)的建設時(shí)間S:輸電網(wǎng)絡(luò )中弧(j的建設時(shí)間min{1x1>0,(,j)∈Dmin{>0,(,j)∈D}oo for all Tiil=0;P:第l階段對(a,j)的投資經(jīng)費,(j)∈D;Pg:第l階段對(,j)的投資經(jīng)費,(i,j)∈D;u1:(,j)單位長(cháng)的維修費,(,j)∈9;分:(,j)單位長(cháng)的維修費,(,j)∈忑rx:(j)的損失率,(,j)∈;Fxy:(,)的損失率,(,j)∈5;gt:第l階段第j發(fā)電廠(chǎng)第t類(lèi)機組,每臺投資費;λ(mul):第l階段,t類(lèi)機組在j發(fā)電廠(chǎng)的安裝時(shí)間;6(x):卡路里為x的每單位煤的價(jià)格;中國煤化工Uyt:j發(fā)電廠(chǎng)t類(lèi)機組每臺維修費;CNMHGBt:每階段t類(lèi)機組每臺耗煤量Dt:第j階段t類(lèi)機組發(fā)電量,j∈J6;1期楊德莊:靈活的應用數學(xué)技術(shù)記由xn分量組成的向量為X,由xy分量組成的向量為x,由mt分量組成的向量為直接求解這兩層次網(wǎng)絡(luò )非線(xiàn)性混合型整數規劃問(wèn)題是很困難的.又沒(méi)有發(fā)現可以更動(dòng)的目標或約束.所以,我們走二次建模的路子,把它變成一個(gè)特殊的n階段網(wǎng)絡(luò )圖的最短線(xiàn)路問(wèn)題,然后用動(dòng)態(tài)規劃的最優(yōu)化原理求解.靈活性體現在思路的靈活轉換,靈活性又體現在二次建模的構思上.其技巧在于構造n階段網(wǎng)絡(luò )圖上AA22頂點(diǎn):發(fā)電廠(chǎng)的裝機容量組成的m維向量.每階段的頂點(diǎn)是前一階段裝機容量擴建后的向弧長(cháng):從前一階段某頂點(diǎn)到這階段某頂點(diǎn)之間的弧長(cháng),定義為對于前一階段某頂點(diǎn)而言,由這階段某頂點(diǎn)所引起的前層網(wǎng)(鐵道網(wǎng))的擴建費+維護費+運營(yíng)費,以及后層網(wǎng)(電網(wǎng))的擴建費+維護費+運營(yíng)費之和這些費用的確定要求解若干小的優(yōu)化問(wèn)題,用軟件包形式支持(5)軍事領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題來(lái)自軍事領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題,有更嚴格的要求和約定,但是靈活性仍然是非常有效的,由于某些原因,我們不能敘述有關(guān)問(wèn)題的背景,僅從靈活的數學(xué)技術(shù)的運用上舉一個(gè)例子.我們曾面對一個(gè)實(shí)際軍事問(wèn)題,建立了一個(gè)非線(xiàn)性整數規劃問(wèn)題,它有6000多個(gè)0-1變量,2000多個(gè)不等式約束,目標函數是決策變量的線(xiàn)性函數.為了靈活地解決這一特殊問(wèn)題,我們引進(jìn)了新的概念,定義了矩陣函數f(x),1≤i≤m,1≤j≤l,目標更動(dòng)為 mine max,;f(x),給出一個(gè)非常有意義,有效的算法(6)社會(huì )發(fā)展與科技進(jìn)步方面的實(shí)際問(wèn)題來(lái)自社會(huì )發(fā)展與科技進(jìn)步方面的實(shí)際問(wèn)題,多數是政策性很強、理論基礎比較薄弱的問(wèn)題,經(jīng)常要求我們建立一套理論,隨之研究政策和相關(guān)方法技術(shù).這里需要做大量的分析,不僅包括定性分析、定量分析,還要做行為分析.數學(xué)技術(shù)的靈活運用有著(zhù)極大的意義.我們以“國家科技進(jìn)步獎的理論,政策與方法研究”項目為例.我國國家科技進(jìn)步獎設立幾年后,由于某種原因,對該獎是否繼續設立,若設立,怎樣保證該獎的權威性、公正性等問(wèn)題產(chǎn)生了激烈的爭論科學(xué)地回答這個(gè)問(wèn)題必須有理論依據,數學(xué)技術(shù)為理論建立提供了框架結構、分析技巧,模式元構造人群各種模式,統計數學(xué)技術(shù)對采集的數據進(jìn)行分析、處理,數據、推演、觀(guān)察的綜合法(或稱(chēng)牛頓綜合法)在這里是有用的牛頓時(shí)代的研究對象是天體或運動(dòng)物,現在的研究對象是人類(lèi)的部分群體.為了科學(xué)地評審科技成果,靈活地運用數學(xué)技術(shù),我們提出了一種科學(xué)稱(chēng)量的方法系統稱(chēng)量法,給出了如何準確稱(chēng)量的方法和測不準的V凵中國煤化工7)模型算法一體化和更動(dòng)目標約束思想和方法,CNMHG方面也很有效比如,我們應用這些思想和方法,對一般的線(xiàn)性規劃數學(xué)模型的求解,給出了兩個(gè)新算法.一個(gè)發(fā)表在《中國科學(xué)》(198)上,這是一個(gè)模型算法一體化的新算法;另一個(gè)發(fā)表在《中國科學(xué)數學(xué)進(jìn)展34卷院研究生院學(xué)報》(2000)上,這是一個(gè)更動(dòng)目標約束的新橢球算法參考文獻[1] Atiyah M F. 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This is a very important new view for mathematics in the 20th centuryThe new idea leads to the fowering of applied Mathematics technologies in the world. appliedMathematics technologies are the most important part in the mathematics technologies, as wellas, are very difficult. It is because the resolving any real problem coming from practice lies in adeep understanding of them and the concerted efforts of the team- researchers in multi-disciplineHua Loo-Keng applied mathematics technologies emphasize on establishing particular modelsand finding their particular algorithms; emphasize on the idea of fexibility for resolving anyeal problem; emphasize on the idea of integrating the establishment of the model with thealgorithm of resolving the model; emphasize on idea中國煤化工e- constraint andnew conceptsCNMHGKey word: mathematics technology; fexibility; pattern variable; integrating establish-ment model with its algorithm; change-object or change-constraint method