導數在解題中的應用

數理化學(xué)習高中分析:由題設知,點(diǎn)A(cos2a,sin2a)和點(diǎn)CoSof( sinasina)2≥3,問(wèn)題B(c0s2B,in2B)所在的直線(xiàn)方程是就會(huì )不攻自破構造直線(xiàn): cosa+ usIna-1=ax + by00,因為點(diǎn)M(cosa,sina)在直線(xiàn) coSA+ usina而經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程還可以表示為1=0上,而點(diǎn)P(cosa'sin)不在此直線(xiàn)上y-sin2a sin2B- sin2.即xcos(a+B)+所以點(diǎn)p22)到點(diǎn)M(cosa,sina)的距ym(a+)-cos(a-B)=0coso SIna由于(1)、(2)表示同一條直線(xiàn),因而原點(diǎn)離不小于它到此直線(xiàn)的距離3,即到兩直線(xiàn)的距離相等.所以(cosa2coso)+(sina)2≥3成立cos(a-B)IsInacos(a+B)+ sin (a+B)+b2故(c0a-2)2+(sima-2)2≥cos(a-B)=小結:巧妙構造直線(xiàn)證明三角不等式,避小結:數學(xué)題目的特點(diǎn)是形式多變,思路免了繁瑣的運算,這是一種行之有效的解題縱橫,解法繁簡(jiǎn)迥異本題通過(guò)適當構造方程,方法棄繁就簡(jiǎn),找到了解決問(wèn)題的一條捷徑.十、構造方程例15已知α、β為兩相異銳角,且滿(mǎn)足方甘肅省永昌縣第一高級中學(xué)(737200程acs2x+bsin2x=c,求證:cos3(a-B)頂冠煒導數在解題中的應用導數可以說(shuō)是對函數的圖象與性質(zhì)的總性和最值問(wèn)題,一直是高考?？疾凰サ臒狳c(diǎn)內結與拓展,導數是研究函數單調性極佳、最佳容.另一方面,從數學(xué)角度反映實(shí)際問(wèn)題,建立的重要工具,廣泛運用在討論函數圖象的變化數學(xué)模型,轉化為函數的最大值和最小值問(wèn)趨勢及證明不等式等方面.導數是初等數學(xué)與題,再利用導數順利解決,從而進(jìn)一步地解決高等數學(xué)的重要銜接點(diǎn),是高考的熱點(diǎn),高考實(shí)際問(wèn)題對導數的考查定位于作為解決初等數學(xué)問(wèn)題2.利用導數的幾何意義,研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)的工具出現,高考對這部分內容的考查將仍會(huì )斜率也是導數的一個(gè)重要作用,并且也是高考以導數的應用題為主,如利用導數處理函數的考查的重點(diǎn)內容之一函數y=f(x)在x=x極值、最值和單調性問(wèn)題與曲線(xiàn)的問(wèn)題等,考處的導數,表示曲線(xiàn)在點(diǎn)P(x,y0)處的切題不難,側重知識之意線(xiàn)斜中國煤化工高考考查導數應用主要有以下三個(gè)方面YHCNMHG應用,更能夠體1.運用導數的有關(guān)知識研究函數的單調現出導數作為工具在研究初等數學(xué)問(wèn)題方面1012年第1期數理化學(xué)習*K的先進(jìn)性,如在數列、不等式、排列組合等知識Z),曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(2f(2))處的切線(xiàn)方的綜合等.程為y=3近年來(lái),導數的相關(guān)知識在高考中的地位(I)求y=f(x)的解析式;日益突出,本文通過(guò)下面三個(gè)問(wèn)題來(lái)闡述導數(Ⅱ)證明:曲線(xiàn)y=f(x)的圖象是一個(gè)中問(wèn)題及其常規求解方法,希望對同學(xué)們復習備心對稱(chēng)圖形,并求其對稱(chēng)中心考有所幫助和啟示(Ⅲ)證明:曲線(xiàn)y=f(x)上任一點(diǎn)處的切例1已知函數∫(x)=x3+ax2+x+1,線(xiàn)與直線(xiàn)x=1和直線(xiàn)y=x所圍成的三角形面a∈R積為定值,并求出此定值.(I)討論函數f(x)的單調區間說(shuō)明:本題主要考查導數的簡(jiǎn)單應用,運(Ⅱ)設函數fx)在區間(-3,-3)內用導數的幾何意義來(lái)解決函數與解析幾何的綜合問(wèn)題是減函數,求a的取值范圍說(shuō)明:本小題主要考查導數計算,應用導解:(I)f'(x)=a于是數研究函數的單調性,考查分類(lèi)討論的數學(xué)思想2+b解:(I)因為f(x)=x3+ax2+x+1,所解得以f'(x)=3x2+2ax+1(2+b)20當a2≤3時(shí),△≤0,f'(x)≥0,f(x)在R9當a2>3時(shí)f(x)=0,由3x2+2ax+11b=9因a,b∈Z,故(x)=x+上單調遞增;=0,得兩根為x12=可得(Ⅱ)證明:已知函數y1=x,y2=都是f(x)在(-∞,)上單調遞增,在奇函數/n2所以函數g(x)=x+1也是奇函數,其圖)上單調遞象是以原點(diǎn)為中心的中心對稱(chēng)圖形減,在(-a+ va-3,+∞)上單調遞增而f(x)=x-1+(Ⅱ)根據題意,由(1)得可知,函數g(x)的圖象按向量a=(1,1)-a-√a2-32平移,即得到函數f(x)的圖象,故函數f(x)的,且a2>3,解得a圖象是以點(diǎn)(1,1)為中心的中心對稱(chēng)圖形(Ⅲ)證明:在曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)十所以實(shí)數a的取值范圍是[,+∞由中國煤化工,過(guò)此點(diǎn)的切CNMHG例2設函數f(x)=ax+-(a線(xiàn)方程為y2012年第期數理化學(xué)習高中fm in (x)a"所以1f(x1)-f(x2)≤1Jm(x)-fmn(x)令x=1,得y=x0+1,切線(xiàn)與直線(xiàn)x=11≤2-(-2)=4(Ⅲf(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)交點(diǎn)為(1因為曲線(xiàn)方程為y=x3-3x,所以點(diǎn)A(1,m)不令y=x得y=2x0-1,切線(xiàn)與直線(xiàn)y=x在曲線(xiàn)上設切點(diǎn)為M(x0,y),則點(diǎn)M的坐標滿(mǎn)足交點(diǎn)為(2x-1,2x0-1)直線(xiàn)x=1與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)為(1,1)1,x0+1因f(x)=3(x-1),故切線(xiàn)的斜率為從而所圍三角形的面積為l|12xx3-33(x2-1)2「2x0-2|=2整理得2x3-3x+m+3=0所以,所圍三角形的面積為定值2因為過(guò)點(diǎn)A(1,m)可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn),例3已知函數∫(x)=ax3+bx2-3x在所以關(guān)于x0方程2x-3x2+m+3=0有x=±1處取得極值.三個(gè)實(shí)根,(I)求函數∫(x)的解析式;設g(x0)=2x0-3x2+m+3,則g(x0)=(Ⅱ)求證:對于區間[-1,1]上任意兩個(gè)6自變量的值x1,x2,都有1f(x1)-f(x2)|≤4由g'(x0)=0,得x=0或x0=1.Ⅲ)若過(guò)點(diǎn)A(1,m)(m≠-2)可作曲線(xiàn)所以函數g(x0)=2x-3x+m+3的極y=∫(x)的三條切線(xiàn),求實(shí)數m的取值范圍.值點(diǎn)為x0=0,x0=1的極值,利用導數為工具解決函數與不等式的三個(gè)實(shí)根的充要條件是6(1(0)(2NO說(shuō)明:本小題主要考查應用導數研究函數所以關(guān)于x0方程2x0-3x2+m+3=0有有關(guān)綜合問(wèn)題,運用導數的幾何意義來(lái)解決函即(m+3)(m+2)<0,解得-3