格的微分

第25卷第5期西安航空技術(shù)高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報Vol. 25No. 52007年9月Journal of Xi'an Aerotechnical CollegeSept,2007格的微分李小光(西安航空技術(shù)高等專(zhuān)科學(xué)?；A部陜西西安710077)摘要:在偏序關(guān)系的基礎上給出了格的微分定義,同時(shí)也給出了恒等微介和保序微分的定義。通過(guò)格徽分的弱正則性和正則性,研究格的微分的一些性質(zhì)。關(guān)犍詞:微分;保序;同態(tài);最大元;微分;弱正則中圖分類(lèi)號:O153.1文獻標識碼:A文章編號:10089233(2007)05-0054集合,(L,∧,V)被稱(chēng)為格,如果Vx,y,z∈L,下列條件1基本知識簡(jiǎn)介微分的概念是在連續變量的基礎上提出的。人們自然(冪等律);會(huì )想:能否基于離散變量建立微分結構。國內外數學(xué)工作者(2)xAy=y∧x,xVy=yV(交換律);在這方面做出了可喜的成果。1957年 E. Posner在素環(huán)上研(3)(x∧y)∧z=xA(yAz),(xVy)Vz=xV究了微分。1987年HE.B,L,C. Kappe,G.Mmn,K.(yAz)(結合律);Kaya和 E. Posner研究了環(huán)近似環(huán)及近似域上的微分理論(4)(xAy)Vx=x,(xVy)∧x=x(吸收律)YOUNG Bae J和 XIAO longⅪin給出了BCI-代數上的顯然,用偏序集定義的格和用代數系統定義的格,兩種定義微分。辛小龍教授把微分的概念引人到格這一系統理論中,的實(shí)質(zhì)是一致的。研究了格的微分的若干性質(zhì),得到了一些有價(jià)值的結論。本定義1.4設(L,∧,V)是一格,我們可以在L上定義文是在此基礎上進(jìn)一步來(lái)研究離散變量微分的概念以及相一個(gè)關(guān)系“≤關(guān)的一些性質(zhì)。x≤ y+x A yoI Vy=y定義1.1集S中的一個(gè)關(guān)系p叫做偏序關(guān)系,是指定義1.5設L,M是兩個(gè)格映射6:L→M叫做保序a,b∈S,下述條件成立:的,是指對(1)自反性ax;x,y∈L,x≤pm≤y(2)反對稱(chēng)性a,b→a=b定義1.6設(L,⑧,團和(S,“,+)是兩個(gè)格,如果(3)傳遞性c,b→ap。存在L到S的映射f滿(mǎn)足:定義1.2一個(gè)偏序集L叫做格,是指對Ⅴa,b∈L,存f(xAy)=f(x)*f(y),f(xVy)=f(x)④∫(y)在{a,b的最小上界和最大下界,分別以aVb及a∧b記則稱(chēng)∫是L到S的格同態(tài)映射(簡(jiǎn)稱(chēng)同態(tài))當L到S的同態(tài)映射∫是單射時(shí),則稱(chēng)f是L到S的單另外,格也可以不用偏序關(guān)系而直接用兩元間代數運算格同態(tài)(簡(jiǎn)稱(chēng)單同態(tài));相反地,若∫是滿(mǎn)射時(shí),則稱(chēng)∫是L到來(lái)定義,自然可將A和V看作是集L上的兩種二元合成,從S的滿(mǎn)格同態(tài)(簡(jiǎn)稱(chēng)滿(mǎn)同態(tài));當∫是雙射時(shí),則稱(chēng)是L到S的而可以得到格作為一種代數結構的又一定義。格同構映射(簡(jiǎn)稱(chēng)同構)。定義13設L是具有二元合成運算“∧"、V”的非空定義1.7設是格L的一個(gè)非空子集,如果滿(mǎn)足收稿日期:2007-06-19甚金項目:陜西省自然科學(xué)基金資助項目(2004A11),陜西省教育廳專(zhuān)項科研基金資助項目(03JK058)。作者筒介:李小光(1973-),女,遼寧省鐵嶺市人,西北大學(xué)代數學(xué)專(zhuān)業(yè)碩士硏究生,現為西安航專(zhuān)基礎課部講師,研究方向:代數學(xué)格論。李小光:格的微分55(1)x≤y,y∈I蘊涵x∈I下證(2),(4)。2)x,y∈I蘊涵xVy∈I,證(2)因為d(xAy)=(xAdy)V(yAdx),z∧則稱(chēng)I是格L的理想dy≤d,yAd≤dz,所以d(xAy)≤ dx v dy;又因為d(xAy)≥xAd≥d∧d,故d∧d≤d(x∧y)2格的微分≤ de v dy。定義2.1設d是格L上的映射,若滿(mǎn)足恒等式證(4):任取y∈d則存在x∈I使得y=dx,由(1)知d(x ay)=(x a dy)V(y a dx) V,yE Ly=dx≤x,而I是理想故y∈I,即dIsI則稱(chēng)d是L上的微分命題1設d是格L上的微分則d保序的充要條件是例1如下所示的格L,若在L上定義映射為d(x∧y)=dx∧dy0,1證明:必要性。因為x∧y≤x,xAy≤y且d保序,所以有d(xAy)≤b則顯然d是L上的微分則有d(xAy)≤dx∧dy,例2如圖(1)所示的格L,若在L上定義映射d為:又由性質(zhì)1(2)知d(xAy)≥dxAd于是d(xAy)0,x=0,1,adx∧dy6, x b設x≤y,則x=xAy,d=d(x∧y)=dx∧dy,dx≤d,即d保序。命題2設d是格L上的微分,d是恒等微分的充要條件是d(xVy)=(xVdy)∧(yVdx),Ⅴx,y∈L。證明:必要性因為d是恒等微分,即Vx∈Ldx =i'圖1運算圖所以d(xVy)=(xVy)=(xVy)∧(xVy)=(xV則容易驗證是L上的微分。dy)A(yVdx),x,y∈L充分性。定義22設d是L上的映射,若對于Vx∈L,dx=因為d(xVy)=(xVd)A(yVdx),Vx,y∈L。0,則d是L上的微分,此時(shí)稱(chēng)d是L上的零微分。特別的dx=d(xVx)=(xVdx)A(xVdx)=x定義23設d是L上的恒等映射則d是L上的微分,Vdx,所以dx≥x;此時(shí)稱(chēng)d是L上的恒等微分。又由性質(zhì)1(1)知dx≤x;所以Ⅴx∈L,dx=x,即d是恒定義24設d是L上的微分若x≤y→d≤小,則等微分稱(chēng)d為保序微分。命題3設d是格L上的微分,若y≤x且dx=x,則例3設L是格,a∈L,d是L上的映射,Ⅴx∈L,dxdy yo證明:設y≤x,則y=x∧y,所以顯然,d為L(cháng)上的保序微分。dy=d(x∧y)=(xAdy)v(y∧dx)(x∧y)V定義25設d是L上的微分,若滿(mǎn)足d(xVy)≤dxdy=yVd=yoVdy,則稱(chēng)d是弱正則的。例4如圖(2)所示在L上定義映射d為:定義26設d是L上的微分,若滿(mǎn)足d(xVy)≤dxVdy,則稱(chēng)為d是格L上的a微分,也稱(chēng)d是正則的。3格的微分性質(zhì)性質(zhì)1若d是L上的微分,則(2) dr a dy≤d(x∧y)≤ de v dy(3)若L含極大元1和極小元0,則d0=0,d1≤1(4)若I是L的理想,則dsI稱(chēng)Ⅰ是d的不變量圖2運算圖證明:(1),(3)易證西安航空技術(shù)高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報第25卷x, x=0,c,a證明:dx=d(x∧1)=(dxA1)v(xAd1)=(xdr =a, x b∧d1)推論1設L是含有最大元1的格,d是L上的微分,則因d=a,b≤a,但≠b,與命題3.5矛盾所以d不是(1)若x≥d1,則dx≥d1;格L上的微分。定理2設是弱正則的則下列條件等價(jià)證明:由命題6知,Vx∈L,dx=(xAd1)Vdx,所(1)d是保序微分以d≥(xAd1),(2)d是同態(tài)(1)又因x≥a1,所以xAd1=d1,可得dx≥d1。(3)d(xAy)=dx∧dy;(2)又因x≤d1,所以xAd1=x,可得dx≥x,再由(4)d是格L上的a微分。性質(zhì)1(1)dx≤x,所以dr=x。證明:(1)→(2)因x≤xVy,y≤xVy,所以d≤命題7設L是含有最大元的格,d是L上的微分,則下d(xVy),d≤d(xVy)則dzVd≤d(xVy);又因列條件等價(jià):d是弱正則的,即d(xVy)≤ dx v dy,所以d(xVy)=(1)d是保序微分;le v dy另一方面由命題1可知,d(x∧y)=dx∧d,所(2)dx=x∧d1;以d是同態(tài)(3)d(x∧y)=dx∧dy;(2)→(3)。顯然!(4) dr v dy≤d(xVy)。(3)→(4)因d(xAy)= dx a dy,由命題1知d是保序的在本文的基礎上,還可以繼續研究其它形式的微分。則x≤xVy,y≤xVy,所以d≤d(xVy),d≤d(xVy)。則 dx v dy≤d(xVy);又因d是弱正則的,即d(x參考文獻Vy)≤dxVd,所以d(xVy)= dr v dy[1]盛德成抽象代數[M]北京科學(xué)出版社,200由定義2.6知,d是格L上的a微分。[2]陳莉,劉曉霞離散數學(xué)[M]北京:高等教育出版社,(4)→(1)。設x≥y則有x=xVy,dx=d(xVy)2002dr v dyo[3]中山正(董克誠譯)格論[M].上海:上?？萍汲霭嫔缢詃x≥dy,即d是保序微分。命題5設L是含有最大元1的格,d是L上的微分,則[4]E. Posne, Derivations in prime ring,Poc. Amer. Mathd是恒等微分的充要條件是:d1=1Soc.8(1957):1093-1100證明:充分性。[5 H. E Bell, Grason. On derivation in near-rings and設d1=1,dx=d(1∧x)=(1Adr)V(xAd1)near-fields, North-Holland. Math. studies 137(1987)Vx,所以dx≥又由性質(zhì)1(1)知dx≤x,所以dx=xa[6 Young Bae Jun and Xiao Long Xin, On Derivations of必要性。BCI-algebras. Information Sciences, 159(2004): 167.因d是恒等微分,即Ⅴx∈L,dx=x;又由已知1∈L,176所以d1=1。[7] Xiao Long Xin, Ti Tao Li, and Jing Hua Lu. On Deriva命題6設L是含有最大元1的格,d是L上的微分,則tions of latticesⅤx∈L,dx=(x∧d1)Vdx。[貴任編輯、校對:包安源]Derivation of LatticeLI Xiao-guangDepartment of Basical Courses, Xi' an Aerotechnical College, 710077, Xi'an, Shaanxi, China)Abstract: Derivation of lattices definition have been given based on the partial order, simultaneously, definitionof identical differential coefficient and order preserving differential coefficient were offered. The essay via weakregularity and regularity of derivation to research some characteristics of derivationKey Words: Differential Coefficient; Order Preserving; Maximum Element; Weak Regularity