時(shí)滯反饋Liu系統的動(dòng)力學(xué)行為

第5卷第3期2007年9動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報Vol. 5 No. 316726553/200705(3)2244JOURNAL OF DYNAMICS AND CONTROspe.2007時(shí)滯反饋Li系統的動(dòng)力學(xué)行為王琳倪樵黃玉盈(華中科技大學(xué)力學(xué)系,武漢430074)摘要研究了具有時(shí)滯反饋?lái)椬饔玫?系統.文中針對兩種典型的時(shí)滯反饋情形,著(zhù)重分析了時(shí)滯參數對系統動(dòng)力學(xué)行為的影響研究結果表明,當Liu系統存有時(shí)滯反饋時(shí),其動(dòng)力學(xué)行為將變得異常豐富;時(shí)滯參數的改變可引起系統復雜的動(dòng)力學(xué)演化此外,數值計算還發(fā)現了時(shí)滯Liu系統的蟲(chóng)洞吸引子關(guān)鍵詞時(shí)滯反饋,Liu系統,混沌,吸引子統將處于混沌狀態(tài),其混沌吸引子如圖1所示.引言自上個(gè)世紀60年代以來(lái),人們對非線(xiàn)性系統的分岔與混沌動(dòng)力學(xué)作了大量的研究,并陸續發(fā)現些重要的現象和機理.多種類(lèi)型的三維混沌系統受到國內外學(xué)者的廣泛關(guān)注Sma在他的一篇論文中曾指出,二十一世紀將有18類(lèi)極具挑戰性的數學(xué)。0°問(wèn)題,其中的14類(lèi)問(wèn)題與 Lorenz吸引子相關(guān),故對圖1iu混池系統Lorenz系統和類(lèi) Lorenz系統的研究工作具有良好的應用前景和深遠的學(xué)術(shù)意義.近二卜年來(lái),國內外學(xué)者發(fā)現∫一系列類(lèi) Lorenz系統針對這些非線(xiàn)性系本文采用線(xiàn)性DFC來(lái)研究時(shí)滯反饋對Ii系統,主要研究了其分岔與混沌現象、混沌吸引子的拓統的影響此方法源于 Pyragas的理論為此,引入樸結構、混沌同步和混沌控制等2最近,L等個(gè)線(xiàn)性的負反饋F()表示如下人提出一種新的類(lèi) Lorenz系統Iju系統,該F(t)=-K[u(t-r)-u(t)]系統具有三維二次型的自治常微分方程組形式其中,7>0為時(shí)滯;K=[K1,K2,K3]>0是可調節本文針對Li系統,試圖分析時(shí)滯反饋對該系的反饋增益向量:;a(4)為包含[x,y,2]的控制向統動(dòng)力學(xué)行為的影響由于時(shí)滯的引入,L系統的量若將時(shí)滯反饋F(2)添加到iu系統的方程右微分方程將改寫(xiě)成含有時(shí)滯項的形式本文將通過(guò)端,就得到一個(gè)新的時(shí)滯反饋系統其方程如下數值方法研究這一時(shí)滯反饋系統,并展示時(shí)滯Iiua(y-x)系統的復雜動(dòng)力學(xué)行為=lbx-kxz5-KTu(t-T)-u(t)], 24o(3)-cz +hx2含時(shí)滯反饋的Ii系統其中為初始時(shí)間.上式的時(shí)滯系統叮由一個(gè)初Li混沌系統由以下二維常微分力程組描述)始參量中(口)定解,4(1)滿(mǎn)足的關(guān)系為u(t=p(O, tE [to-T, to(1)若取x(L其中,a,b,c,h,h均為系統參數.已有的研究表明,中國煤化工(5)當參數a=10,b=40,c=2.5,k=1,h=4時(shí),I系CNMHG2006-11-30收到第1稿,20070420收到修改稿第3期王琳等:時(shí)滯反饋Lu系統的動(dòng)力學(xué)行為225則有系統處于典型的周期1運動(dòng)若繼續增大τ的取值,系統將由混沌運動(dòng)重新回到周期1狀態(tài)當r=0.53時(shí),n(t-7)={y(t-r(6)系統出現了復雜的多周期形態(tài)(圖3(e)).值得指出的是若進(jìn)一步增大r的取值,系統出現了一種新的奇故式(3)也可寫(xiě)成如下的形式怪吸引子這一奇怪吸引子還可以通過(guò)相軌線(xiàn)圖來(lái)展x=a(y-x)-k,(x(t-T)-x(t))示,其典型結果如圖3(所示從相軌線(xiàn)可以看到這y=bx-kxz-K,(y(t-T)-y(t))(7)奇懌吸引子與“蟲(chóng)洞”的形狀非常相似若分櫪它的z=-cz+hx'-K(z(L-T)-(t))功率譜圖(圖4(d),可以觀(guān)察到它的概周期特征2數值分析為了展示時(shí)滯反饋?lái)棇u系統動(dòng)力學(xué)行為的影響,本文采用四階龍格-庫塔法對方程(7)進(jìn)行數值計算,并固定積分步長(cháng)為0.0025.數值仿真時(shí),系統(7)的所有參數都是固定的:a=10,b40,c=2.5,k=1和h=4,但時(shí)滯τ和反饋增益K12d04”一可根據需要發(fā)生改變.此外,系統初始值取為T(mén)