廣義導數及其應用

第18卷第3期廣西右江民族師專(zhuān)學(xué)報2005年6月JOURNAL OF YOUJIANG TEACHERS COLLEGE FOR NATIONALITIES GUANGXI廣義導數及其應用劉孝書(shū)(河南商丘師范學(xué)院數學(xué)系,河南商丘476000[摘要]文章提岀了一種廣義導數的概念,得到了廣義導數的運算法則,以及連續函數的中值定理關(guān)鍵詞]廣義導數;中值定理;函數;連續;梯度分類(lèi)號]O172.1[文獻標識碼]A[文章編號]1008-8113(2005)03-0011-05Generalized Derivatives and Its applicationLⅠ U Xiao=sht(Department of Mathematics, Shangqiu TeachersAbstract: In this paper, we introduce a new concept of generalized derivative, and derive its opeational rules and the mean value theorem of continuous functionsKey words: generalized derivative; mean value theorem; function; continuation; gradient引言與廣義導數的概念20世紀70年代相繼出現了各種廣義導數的概念,其中較著(zhù)名、較有應用價(jià)值的是加拿大的 Clarke.F.H的局部 Lipschitz函數的廣義梯度,但這個(gè)概念也有許多局限之處:首先是對局部 Lipschitz函數才能定義廣義梯度,對一般的連續函數無(wú)法定義;其次是在函數F(x)的可微點(diǎn)x的廣義梯度?F(xa)不一定和普通導數致。本文利用上、下極限的概念提岀的廣義導數的概念克服了這兩個(gè)缺點(diǎn),且和廣義梯度一樣具有許多良好的性質(zhì)。同時(shí),由于利用了上、下極限,使廣義導數的運算及證明都比較簡(jiǎn)單,本文只討論一維的情況。定義1設函數y=f(x)在點(diǎn)x。的某個(gè)鄰域內有定義,記lim f(f(x)-f(x0)(a,B可為士∞);當a、B為有限數時(shí),稱(chēng)閉區間a,為函數y=f(x)在點(diǎn)xo的廣義導數,記作Df(x0)=[a,B,這時(shí)廣義導數為有界集合;當a、B中至少有一個(gè)為土∞時(shí),也稱(chēng)區間(a,B)為f(x)在x的廣義導數記f(x)在x。處的廣義導數為Df(x0)=(a,B),但這時(shí)f(x)在x0處的廣義導數為無(wú)界集合。f(x)在x。的廣義導數在某種意義下也體現了f(x)在點(diǎn)x。處的變化率的變化范圍。由于上、下極限一定存在且唯一,故f(x)在x。點(diǎn)的廣義導數一定存在且唯又因為limf(x)存在的充分必要條件是lim f(x)= lim f(H中國煤化工CNMHG[收稿日期]2005-03-14[作者簡(jiǎn)介]劉孝書(shū)(1957~),男,河南商丘人,河南商丘師范學(xué)院數學(xué)系副教授,主要從事函數論的教學(xué)與研究《廣西右江民族師專(zhuān)學(xué)報》2005年第3期故當∫(x)于點(diǎn)x處在普通意義下可導時(shí),f(x)的廣義導數就和導數相等,這時(shí)閉區間退縮為一點(diǎn)。而 Clarke的廣義梯度沒(méi)有這個(gè)性質(zhì)。當∫(x)在點(diǎn)x。有連續的導數時(shí), Clarke的廣義梯度、本文的廣義導數和普通意義下的導數三者都相等例1函數F(x)=x|在x=0不可微。 Clarke意義下的廣義梯度為OF(0)=c{-1,1}=[-1,1由于1mF(x)-F(0)=-1,m2)-F(0)=1故F(x)在x=0的廣義導數為DF(0)=[-1,1],和 Clarke的廣義梯度重合。c sIx≠0例21函數F(x)=00在x=0是可微的,且F(0)=0容易求出F(x)在x=0的廣義導數DF(0)=0,則可求出F(x)在x=0的廣義梯度F(0)=[-1,1例32函數F(x)在x=0不可微。容易求出F(x)在x=0的廣義導數DF(0)=[-1,1]但F(x)在x=0的任一鄰域都不滿(mǎn)足 Lipschitz條件。故在x=0不存在廣義梯度。我們知道,f(x)在x?？蓪У谋匾獥l件是f(x)在x。連續。有趣的是,廣義導數也有類(lèi)似的性質(zhì)定理1.1若函數f(x)在點(diǎn)x。的廣義導數為有限區間,則f(x)在x。連續證明用反證法假設f(x)在點(diǎn)x。處不連續,則存在某個(gè)E>0,無(wú)論正數δ多么小,總存在x,0s當8→0時(shí),→∞,這和limf(x)-(xn),mf(x)=1(x)均為有限數矛盾這就證明了f(x)在點(diǎn)x。連續。2廣義導數的性質(zhì)利用上、下極限的性質(zhì),可得到廣義導數的運算法則。這些法則和普通導數的法則極為類(lèi)似。關(guān)于上、下極限的性質(zhì)可參看文獻[4]。定理2.1設u(x),v(x)是x的兩個(gè)函數,C為常數。u(x),v(x)都定義在x的某鄰域內,且u(x),v(x)的廣義導數都為有限區間1.若Dn(x0)=[a1,b],Dv(x0)=[a2,b2]則D[(x0)±v(x)]cDn(x0)±Dv(x0)其中閉區間的加、減運算規定為D(x0)+D(x)=[a1,b1]+[a2,b2]=[a1+a1,b1+b2],[a2,b2]=[-b2[a1,b1]-[a2,b2]=[a1,b1]+(-[a2,b2])=[a1,b]+[-b2,-a2]=[a1-b2,b1-a2其中常數c與閉區間的乘法規定為.,ca-do. H中國煤化工CNMHG式中a=min{ca1,cb},b=max{ca1,cb1}3.D(uu)(x0)cD(x0)·v(x0)+u(x。)·Dv(xa)區間的運算規定同1、2,從而劉孝書(shū)廣義導數及其應用Dn(x0)·v(x0)+u(x)D(x)=[a1,b1](x0)+(x0)[a2,b2]=[a,b]其中{a1v(x)+u(x)a2,a1v(x)+u(x。)b2,b1v(x0)+(x0)a2,b1v(x0)+u(xo)b2}中最小者為a,最大者為b。4.設(x0)≠0,則Dn(x0)·v(x0)-(x0)D(x0)]其中區間的運算規定同1、2注:區間運算的規定可使廣義導數運算法則和導數相似,但并不影響我們論證的正確性證明1、2、3、4的證明方法相同都是利用上、下極限的性質(zhì),現只證3,其余略去。(xo+△x)v(xo+△x)-u(x0)v(x0)u(x0+△x)v(x0+△x)-v(x0)]+v(xo)[u(xa+△x)-u(x0)]+v(x0)應用上、下極限的性質(zhì)及極限存在時(shí)上、下極限就等于其極限值,又由u(x)在x的連續性(定理1.1),令x→0,取下極限得lim A(uo)(xo)> min( u(xoa, +u(r)au(o)a +u()bi. u(ro)b, +u(ro),. u(rob, +u(xo) a y對上極限也有類(lèi)似結果,故得證定理2.2(反函數的廣義導數)設g(y)在點(diǎn)y的某鄰域內連續,嚴格單調且D(y)=[a,b不含原點(diǎn)O,則其反函數y=f(x)在對應的點(diǎn)x0(x0=g(y))的廣義導數為Df(xn)其中規定證明由y=1x及上、下極限的性質(zhì)得△lim△ylir故Df(xn)=r11定理2.3(復合函數的廣義導數)設函數y=f(u)與u=g(x)可以復合成函數y=f(g(x))。若Dy(x0)[c,d,Df(a)=[a,b(其中u0=g(x0)),則復合函數y=f(g(的廣義導數為Df(g(x0))cDf(u)·Dy(x0)=[a,b]·[c,d其中閉區間[a,b]與[c,d]的乘法規定為其中a= minas,ad,bk,bl),P=max{a,adl,bk,bkl〉。證明由上、下極限的定義知:>0,當△a充分小時(shí)有a-≤A/≤b+,當△>0時(shí),a△e△u≤△f≤b△u+e△u(當△u=0時(shí),這個(gè)不等式也正確中國煤化工當△x>0時(shí),,一≤A/≤bA+CNMHG令△x→0及ε的任意性,得im Af《廣西右江民族師專(zhuān)學(xué)報》2005年第3對△a△x的其他情況(如△u≤0,△>0等)也可得m會(huì )≤m(,m,k,類(lèi)似地可得1imA≥min(ac,a,k,l}。3中值定理本節把微分學(xué)的基本定理—中值定理進(jìn)行推廣定理3.1( Fermat引理)設函數f(x)在x。的某鄰域內有定義,且在點(diǎn)x取得局部極值,則0∈Df(x。)證明不妨設f(x)在點(diǎn)x。取得極大值故當x0(8<0)則f(x)在(a,b)內嚴格遞增(遞減)證明首先由定理1.1可知∫(x)在(a,b)內連續,任取).r,0則g0≥lim≌Fim+im(-K.會(huì ))=im一Km會(huì )E=a1-KP2→K考慮其他情況(如K<0,b2<0,取上極限等)也可得K≥min(1,2,B,B},Kmaxa1 BI B1即K=f(b)=(a)∈Df(注當f(x),g(x)在(a,b)上可導時(shí),Df(),Dg()都縮為一點(diǎn),定理3.4就是 Cauchy中值定理我們知道,在微積分中有這樣的結論:若函數f(x)在區間I上的導函數f(x)有界,則f(x)在Ⅰ上是Lipschitz函數.但反之不真然而,利用廣義導數我們有定理3.5函數f(x)在區間Ⅰ上的廣義導數Df(x)為有界集合的充分必要條件是f(x)是區間I上的Lipschitz函數證明必要性:任取x1,x2∈I,x1≠x2由定理3.2知彐k>0,使≤k,即f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x故f(x)在I上滿(mǎn)足 Lipschitz條件充分性:由f(x)是區間Ⅰ上的 Lipschitz函數,即存在k>0,使對Ⅴx1,x2∈I都有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,即可得到Df(x)C[一k,k],x∈I,證畢。nx≠0例證明函數F(x)=在x=0的任一鄰域都不滿(mǎn)足 Lipschitz條件。證明注意到當導數存在時(shí),廣義導數和導數重合,當x≠0時(shí),DF(x)=F(x)=50xco在x=0的附近無(wú)界,故由定理3.5知,f(x)在x=0的任一鄰域都不是 Lipschitz函數利用廣義導數,還可得到相應的隱函數存在定理,限于篇幅這里不再討論[參考文獻[1 Clarke, F. H. Generalized gradient and applications[J. Transactions of the American Math Society, 1975.20(5): 247-262[2] Clarke. F. H. On the inverse function the orem[J]. Pacific Journal of3]陳文源,范先令.隱函數定理[M].蘭州:蘭州大學(xué)出版社,1986.[4]沈燮昌.數學(xué)分析M].北京:高等教育出版社,1986THa中國煤化工CNMHG【責任編輯:鄧崇亮】