少體硬球系統的動(dòng)力學(xué)與統計研究

第54卷第6期2005年6月物理學(xué)報1000-3290/2005/5406y25520ACTA PHYSICA SINICA⊙2005Chin.Phys.So.少體硬球系統的動(dòng)力學(xué)與統計研究*付文玉侯錫苗賀麗霞鄭志剛北京師范大學(xué)物理系北京100875)004年8月18日收到2004年11月8日收到修改稿)研究了少數幾個(gè)封閉于箱子中的硬球組成的系統的動(dòng)力學(xué)與統計行為.著(zhù)重研究單粒子位形空間的碰撞分布計算表明硬球的半徑較小時(shí)單粒子統計分布函數在空間主要是均勻分布著(zhù)半徑的增大均勻分布部分逐漸減小,當硬球半徑與箱子尺寸比值超過(guò)臨界值時(shí)單粒子分布函數呈現雙峰形式,還利用少體硬球系統模擬布朗運動(dòng)研究表明當硬球系統作為介質(zhì)時(shí)系統不存在擴散過(guò)程發(fā)現大粒子的平均平方位移與時(shí)間是平方關(guān)系,說(shuō)明大粒子在硬球介質(zhì)中的輸運是彈道輸運過(guò)程關(guān)鍵詞:硬球,動(dòng)力學(xué),布朗運動(dòng),遍歷PACC 0500引言另一方面熱力學(xué)體系非平衡性質(zhì)與微觀(guān)動(dòng)力學(xué)特征之間的關(guān)系研究近年來(lái)成為新的熱點(diǎn).一方面統計力學(xué)的研究對象——熱力學(xué)系統的一個(gè)根人們探討了熱力學(xué)系統的輸運系數的規律以及它們本特點(diǎn)就是熱力學(xué)過(guò)程的不可逆性1]不可逆性在與非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)指數如李雅普諾夫指數KS熵分熱力學(xué)上由第二定律給出而其微觀(guān)動(dòng)力學(xué)根源迄今維等之間的關(guān)系,并已經(jīng)取得了豐富的成果61.另為止一直是統計力學(xué)中一個(gè)古老而重要的問(wèn)題.在牛一方面對非平衡問(wèn)題的研究如小體積的的非平衡頓力學(xué)的框架下系統的幾率分布演化由劉維定理給過(guò)程如熱傳導、擴散、自由膨脹、絕熱壓縮等這些研出了可逆的描述. boltzmann推導出稀薄氣體單體約究中很多問(wèn)題尚不清楚特別是系統遍歷性在其中的化概率分布的演化方程并推導出H定理使我們從作用少體系統的熱力學(xué)定律成立與表現等問(wèn)題.這統計層面上看到了不可逆性.為了從動(dòng)力學(xué)上解釋這些研究有助于從微觀(guān)動(dòng)力學(xué)上理解宏觀(guān)非平衡過(guò)程定理, boltzmann提出了遍歷性假說(shuō)2].遍歷性理的起源值得引起注意論架起了從動(dòng)力學(xué)向統計過(guò)渡的橋梁.二十世紀非線(xiàn)動(dòng)力學(xué)與統計的關(guān)系問(wèn)題研究中一個(gè)非常經(jīng)典性動(dòng)力學(xué)和混沌的硏究使人們對動(dòng)力學(xué)系統的統計且有效的模型是硬球系統η8).本文將研究幾個(gè)封閉特征有了深一步旳理解在此期間遍歷性、混合性、K于箱子中的硬球組成的系統的動(dòng)力學(xué)與統計行為.我流等不同概念提了岀來(lái)3研究表明動(dòng)力學(xué)系統的們首先研究單粒子位形空間的碰撞分布.研究表明全局性混沌是系統統計成立的根本要素.在此意義碰撞分布可以分為幾個(gè)區域.當硬球的半徑較小時(shí),上系統的無(wú)限大自由度已不是決定性的因素.人們單粒子統計分布函數在空間主要是均勻分布隨著(zhù)半已建立了少自由度系統的統計力學(xué)及熱力學(xué)4遍徑的增大均勻分布部分逐漸減小.當硬球半徑與箱歷性理論也不僅僅是數學(xué)家們的研究對象,它也為物子尺寸比值超過(guò)臨界值時(shí)單粒子分布函數呈現雙峰理學(xué)家理解熱力學(xué)系統中的許多問(wèn)題如相變玻璃形式田八砸琙玄統模擬了大粒子在小態(tài)等提供了新的啟示561硬球中國煤化工發(fā)現硬球系統不存在擴散CNMH應子平均國家重點(diǎn)基礎研究規劃973項目批準號x2000077304),全國優(yōu)秀博士論文作者專(zhuān)項基金批準號200120),教育部青年教師獎專(zhuān)項基金項目(批準號209)高校博士點(diǎn)基金批準號027011)霍英東教育基金會(huì )(批準號81006)北師大本科生研究基金資助的課題Emai7方數揭 bnu. edu. cn6期付文玉等少體硬球系統的動(dòng)力學(xué)與統計研究2553平方位移與時(shí)間是平方關(guān)系說(shuō)明大球在小球碰撞下是典型的彈道輸運過(guò)程3.空間碰撞分布2.硬球模型硬球系統動(dòng)力學(xué)硏究中最重要旳就是碰撞過(guò)程我們關(guān)注硬球碰撞時(shí)的空間位置分布.以x分量為硬球系統由局限在一個(gè)長(cháng)度為L(cháng)的箱子中的N例我們研究其中一個(gè)硬球的空間碰撞位置分布P。個(gè)相互彈性碰撞、半徑為R的硬球組成如圖1所(α)以前我們研究過(guò)硬球的空間位置分布并且對示.系統的哈密頓可以寫(xiě)為于N=2的情形可以給出相應的解析表達式9對碰/2撞分布碰撞時(shí)的兩球的質(zhì)心位置需滿(mǎn)足條件|r|=2R因此一球的分布要取決于與其碰撞的另一球的這里m;代表第i個(gè)硬球的質(zhì)量;為其速度我們假位置另外在器壁附近球的位置分布也必然與器壁定硬球之間、硬球與器壁之間的碰撞都是完全彈性有關(guān)系.這樣解析的求解是較為困難的但不難數值的所以對球一壁碰撞我們有→-ⅵ其中α代上進(jìn)行統計實(shí)際上雖然我們無(wú)法解析求解但基本表垂直于器壁的方向對球-球碰撞碰撞前后的總上可以把單粒子碰撞位置分布分成以下幾個(gè)區域動(dòng)能和總動(dòng)量守恒.讠,j球碰撞后的速度為(1)自由區批此區中一球的位置分布并不明顯依賴(lài)于另外與其碰撞的球故分布為均勻的,P(x)P0.這個(gè)區通常在容器中央區域且當球比容器尺寸)產(chǎn)(2)小很多時(shí)存在(2)禁飛區在非?？拷鞅诘牡胤疆斠粋€(gè)球其中M=2mmKm;+m)為約化質(zhì)量r=r/r為單位矢量這里r=r1-r為兩個(gè)硬球質(zhì)心間的方在的時(shí)候另外一個(gè)球就不能從靠近器壁的區域通向矢量.硬球系統看起來(lái)很簡(jiǎn)單動(dòng)力學(xué)上卻是非常過(guò)此時(shí)的分布為Px)=03)關(guān)聯(lián)區迕在離開(kāi)器壁相對較遠但兩個(gè)球仍然復雜的研究已經(jīng)表明在二維和三維空間中運動(dòng)的相互影響很大的區域分布可能為較復雜的形式硬球系統只要N≥2就是遍歷的K系統并滿(mǎn)足全圖2給出了當N=2,L=10,m1=m2情況下不局混沌9.在此基礎上我們可以建立少體系統的統同半徑硬球系統的空間碰撞分布.我們假定容器的區計力學(xué)和熱力學(xué)我們曾詳細研究了硬球系統的速域為xyκ)([0,L][0,L][0,L])可以清楚度、空間位置平衡態(tài)的統計分布并用少體的玻爾茲曼熵研究了向由非平衡態(tài)平衡態(tài)的演化9我們還看到上面所提到的三個(gè)區域禁飛區滿(mǎn)足x∈[0,R或L-R,L]自由區位于x∈[3R,L-3R]R越研究了少體硬球的熱力學(xué)第二定律0.最近幾年硬小自由區越大這從圖xa)(d)可以清楚觀(guān)察到球系統還被用來(lái)研究熱傳導問(wèn)題1.下面我們以空當3R≥L-3R即R≥R2=L/6時(shí)自由區將消失間三維硬球系統為例進(jìn)行討論對于我們的參數,R。=5/3≈1.666…在位于[RL3R吸其L-3R,-R的區域分布為直線(xiàn),為關(guān)聯(lián)區.在x=R或L一R處分布不連續隨著(zhù)靠近中央區域分布概率線(xiàn)性增加說(shuō)明碰撞發(fā)生于中部的機會(huì )更大.這是比較容易理解的.當自由區消失后從圖xf河看出在中央區域出現了一個(gè)低谷在此處的碰撞機會(huì )相對較小分布岀現雙峰結構.這是因為硬球很大時(shí)球基太上被后限于一個(gè)角落很難越過(guò)去所中國煤化工碰撞的機會(huì )較小CNMHG不同對空間碰撞位置圖1硬球模型示意圖的影響.圖3給出了不同質(zhì)量比時(shí)的碰撞分布左邊2554物理學(xué)報54卷是質(zhì)量大的球右邊是質(zhì)量小的球.當球的半徑較小有影響這是因為小球碰撞后會(huì )具有很大的運動(dòng)速時(shí)如圖3(a),(b)可以看到質(zhì)量比的大小對分布沒(méi)度因而在一段時(shí)間內可以很快達到遍歷分布洏而大有明顯的影響而當球的半徑較大時(shí)大的質(zhì)量比對球則每次與小球碰撞得到較小的速度改變運動(dòng)緩大球的碰撞位置分布就較大而對小球分布基本上沒(méi)慢因而分布遠未達到遍歷分布0.00100.00050.000u0.0010R=1.01.5s0.00050.00000.0010R=1.7R=2.0圖2等質(zhì)量硬球碰撞空間分布0.00100.0005R=1.70.00000.00100s00075R2.0(c0.00050圖3不同質(zhì)量比下大球和小球的碰撞位置分布4.用少體硬球模擬布朗運動(dòng)這里我們用硬球來(lái)進(jìn)行類(lèi)似的模擬研究系統的輸運過(guò)程.我們關(guān)心用少量硬球能否模擬隨機噪聲的布朗運動(dòng)描述了大顆粒在液體中的無(wú)規則運動(dòng).影響.設所有硬球具有同樣的半徑但有一個(gè)硬球具液體分子對大顆粒物質(zhì)的頻繁碰撞產(chǎn)生隨機力使得有非中國煤化工球產(chǎn)生對大球的頻繁大顆粒產(chǎn)生擴散性的運動(dòng).考慮一個(gè)質(zhì)量為m的大碰撞CNMHG子的角色,提供隨機顆粒在隨機力下的運動(dòng)力)為了方便我們使用周期邊界條件即假定大球m+5(t)3)遇到容器邊界就進(jìn)入一個(gè)新的完全一樣的容器而在這里η為阻尼系數,(t)為強度為kBT的白噪聲.每個(gè)箱子中有數目固定且相同的小球這樣球的密度布朗運動(dòng)的搜趣系數D滿(mǎn)足愛(ài)因斯坦關(guān)系:D=是固定的為了考察擴散性我們可以計算大球的平6期付文玉等少體硬球系統的動(dòng)力學(xué)與統計研究2555均平方位移〈△r(t)隨時(shí)間是平方的關(guān)系即a≈2這一結果說(shuō)〈Δr(t)》〓〈r(t)-r(θ)≡2D,(4)眀少體硬球系統不能很好模擬布朗運動(dòng)大球的輸運過(guò)程不是擴散過(guò)程,而是彈道輸運.圖4的小圖給10°-0一R=0.1出了系數D隨球半徑R的變化關(guān)系.可以看到當球0一R=0.3△-R=0.5半徑較小時(shí)大球的彈道輸運系數基本不變;當球半R=0.6徑變大時(shí)系數D在R>0.6時(shí)迅速變小.大球在小sR=0.70球系統中的彈道輸運說(shuō)明少體硬球系統雖然可以具有很強的混沌性,但還無(wú)法很好模擬完全隨機的噪聲要實(shí)現擴散型的輸運我們還需要更多的硬球數0.030目a4a。5.小結0200本文研究封閉區域中的少體硬球組成的系統的圖4大球平均平方位移隨時(shí)間的變化小圖為D與球半徑的動(dòng)力學(xué)與統計行為對單粒子位形空間碰撞分布的研關(guān)系究表明碰撞分布可以分為幾個(gè)區域這些區域隨硬球半徑的增加而發(fā)生變化或消失.當硬球半徑較小時(shí)單粒子統計分布在位形空間大部分是均勻分布其中上面是系綜平均即對于大量隨機初始條件進(jìn)行隨著(zhù)硬球半徑的增大這些均勻分布部分逐漸減小平均.0≤α≤2是標度指數.當α=1時(shí),系統輸運是擴散性的,D為擴散系數當α=2時(shí)系統輸運是彈直到硬球半徑與箱子尺寸比值超過(guò)臨界值時(shí)單粒子分布函數會(huì )呈現雙峰形式.還我們用少體硬球系統道性的D與彈道運動(dòng)速度成正比模擬了大粒子在小硬球體系當中的無(wú)規運動(dòng).計算發(fā)在圖4中我們計算了大球與小球質(zhì)量比為100現硬球系統不能很好模擬布朗運動(dòng)不存在擴散過(guò)1容器長(cháng)度L=5每個(gè)容器有3個(gè)小球時(shí)大球的平均平方位移.可以看到K△r(t)》隨時(shí)間的長(cháng)時(shí)間程大粒子的平均平方位移與時(shí)間呈現平方關(guān)系,說(shuō)明大球在小球碰撞下是典型的彈道輸運過(guò)程變化并不是線(xiàn)性的.我們仔細研究發(fā)現,[ 1] Reichl L E 1980 A Modern Course in Statistical PhysicsCaiani L, Casetti L, Clementi C and Pettini M 1997 Phys( Austin Univ. 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Lett物理學(xué)報54卷Dynamics and statistics in few-body hard-ball systemsFu Wen-Yu Hou Xi-Miao He Li- Xia Zheng Zhi-cReceived 18 August 2004 revised manuscript received 8 November 2004)e dynamic and statistical properties of several hard balls restricted in a box are studied. The collision distribution inconfiguration space is main object of the research. Numerical simulations indicate that the distribution function is uniformhorizontal line)when the radius of balls is very small. This uniform part decreases with increasing size of the balls and adouble-peak distribution is found when the radius exceeds a critical value. Brownian motion is simulated by using hard-ballsystems. It can be found that the mean square displacement is proportional to the square of time i e. the transport processdominated by ballistic transporan aa diffusion behasaviorKeywords: hard balls dynamics, Brownian motion ergodicityPACC 0500Project supported in part by the Special Foundation for State Major Basic ReseatH中國煤化工CNMHG2000077304),the NationalFoundation for the Author of Excellent Doctoral Dissertation of China( Grant NO. 200120, the I'RAPOY'I in Higher Education Institutions ofMOE Grant No. 209), the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China( grant No. 20020027011), theFok-Ying-Tong Education Funds for Excellent Young Teachers( Grant No. 81006),and the Fund for Undergraduate Students of BNUAuthor of Correspondence. E-mail zgzheng bnu.edu.cn