λ-格的微分

462010,46(6)Computer Engineering and Applications計算機工程與應用A-格的微分李毅君…2,辛小龍1LI Yi-jun", XIN Xiao-long1西北大學(xué)數學(xué)系,西安7100692西安石油大學(xué)理學(xué)院西安710065Department of Mathematics, Northwest University, Xi'an 710069,China2. College of Science, Xi'an Shiyou University, Xi'an 710065,ChinaE-mail:liyijun2009@126.comLI Yi-jun, XIN Xiao-long Derivation of A-lattice Computer Engineering and Applications, 2010, 46(6): 46-4Abstract: The derivation of A-lattice is introduced and some related properties are discussed. Moreover, some results on this sub-ject are also studied with weak regularity and regularity of derivation.Key words: derivation of A-lattice; weak regularity regularity摘要:在λ-格中定義了微分,討論了相關(guān)性質(zhì)并通過(guò)A-格微分的弱正則性和正則性得到了A-格微分的一些重要結果。關(guān)鍵詞:λ-格微分;弱正則性;正則性DOI:10.3778/in1002-8331.201006013文章編號:1002-8331(2010)06004602文獻標識碼:A中圖分類(lèi)號:0242.11引為A-格如果對任意a,b,c∈P滿(mǎn)足:近年來(lái)由于序與偏序集理論在組合數學(xué)Fuxy數學(xué)、計算(1)a機科學(xué)甚至社會(huì )科學(xué)中得到了廣泛的應用,因而使格論有了(2)ab=b“a,a+b=b+a;較大的發(fā)展。1987年至1989年文獻1-4在環(huán)近似環(huán)近似(3)a·((ab)c)=(ab)c,a+(a+b)+c)=(a+b)+c;域素環(huán)等代數系統中引入微分的概念辛小龍教授于2004年(4)a(a+b)=a,a+(a·b)=a在文獻5中,將微分的概念引入到BCl代數系統中,并討論了例1如圖1所示,P=10,a,b,c,1,由運算表1易驗證(P,相應的性質(zhì)00年在文獻6中又將微分的概念引入到格這…,+)是A-格而非格因為(a+b)+c≠a+(b+c)一系統理論中研究了格微分的若干性質(zhì)得到了一些有價(jià)值的結論,并用微分的概念和性質(zhì)刻畫(huà)了相應代數系統的結構表1例1中的運算表為研究這些代數系統提供了新的方法和途徑。在此基礎上將0 4 bc1+0 bc 1微分的概念引入由Ⅴ Spase定義的A-格中,研究了相關(guān)性質(zhì),00000000abc并通過(guò)λ-格微分的弱正則性和正則性,得到了A-格微分的一a些重要結果。0 6 b1 6l11l12A-格設(P,≤)是一有序集對任意a,b∈P,記圖1例1中的A格L(a,b)={x∈P;x≤a且x≤b定理1設(P,≤,A)是A-偏序集,則具有兩個(gè)二元運算U(a,b)={x∈P;x≥a且x≥b“·”、“+"的誘導代數系(P,,+)是A-格,其中ab=A(a,b)定義1帶有選擇函數A的偏序集(P,≤)稱(chēng)為A-偏序a+b=A(a,b)。集若對任意a,b∈P,L(a,b)≠φ≠U(a,b)且λ滿(mǎn)足:定理2設(P,,+)是A-格,則對任意a,b∈P,有(1)A(L(a, b)=A(L(b, a))HA(U(a, b))=A(U(b, a)):(2)若a≤b,則A(L(a,b)}a且A(U(a,b))=b。定義3設(P,…,+)和(S,*,)是兩個(gè)A-格。如果存在從P以下記Aa,b)=A(L(a,b),A以a,b)=A(U(a,b));到S的映射∫滿(mǎn)足并記ab=A2(a,b),a+b=Aab)。凡ab)=f(a)b),八a+b)=八(a)(b)定義2其有兩個(gè)二元運算”,“+"的代數系(P,,+)稱(chēng)則稱(chēng)是從P到S的A-格同態(tài)映射(簡(jiǎn)稱(chēng)同態(tài))基金項日:陜西省自然科學(xué)基金( (the Natural Science Foundation of Shaanxi Province of China under grant N2007/A19)作者筒介:李毅君(1978-),女講師主要研究方向代數密碼;辛小龍(1955-),教授博導,主要研究方向:代數編碼。收稿日期:200809-18修回口期:200811-25李毅君,辛小龍:A-格的微分2010,46(6)47當∫分別是單射滿(mǎn)射和雙射時(shí)分別稱(chēng)f是A-格的單同證明充分性設x≤y,則x=xy,dr=d(x"y)=dx·d,所以態(tài)、滿(mǎn)同態(tài)和同構映射。dx≤dy,即d保序義4A-格(P,,+)的一個(gè)非空子集/稱(chēng)為P的理想必要性因為xy≤x,x"y≤y而d保序所以d(x"y)≤dr,d(xy)≤dy,即d(x"y)≤dxd;由命題1(2)知d(xy)≥d)∈l,a∈P蘊涵ia∈P;dy,于是d(x"y)=dxdy(2)j∈l蘊涵∈l定理4設d是A-格P上的微分,d是恒等微分的充要條例2如圖2所示P=10,a,b,c,d,1,e·d=a,a+b=d,由運算件是d(x+y)=(x+dy)·(y+dx)表2易驗證(P,,+)是A-格,l=10,a,b,d是P的理想,而l2=證明充分性,取x=y,d(x+x)=(x+dx)·(x+dr)=x+dx,則10,ae,6}不是P的理想,因為a+bgh2odx≥x;由命題1(1)知dx≤x,所以dx=x,即d是恒等微分。必要性因為d是恒等微分,d(x+y)=x+y=(x+y)…(x+y)=表2例2中的運算表(x+dy)·(y+dx)。0 abc d1+0 abcd定義6設d是λ-格P上的微分,若滿(mǎn)足d(xy)≤d+y,000000000abcd則稱(chēng)d是弱正則微分。0定義7設d是A-格P上的微分,若滿(mǎn)足d(x+y)=dx6 6006bbbc 0a bc ac ce則稱(chēng)d是正則微分。Noabdddd i d命題2恒等微分是正則微分。圖2例2中的A格-10·bc111111證明設d是入-格P上的恒等微分,則d(x+y)=x+y=dx+dy命題3正則微分是保序微分。3A-格的微分證明設d是λ-格P上的正則微分,設x≤y,則d=(x+y定義5設(P,,+)是入-格,d是從P到P自身的一個(gè)映dx+dy≥d,即d保序。射若滿(mǎn)足恒等式定理5設d是A-格P上的弱正則微分,則下列條件等價(jià)x y)=(x dy)+(ydx).P(1)d保序則稱(chēng)d是A-格P上的微分(2)d是同態(tài);例3如圖1所示,在含有最小元0和最大元1的A-格(3)d是A-格P上的正則微分。(P,,+)上定義映射d為:證明(1)→(2),因為x≥x,x+≥y,而d保序則dx+)≥dx+dy;又因d是弱正則的,即d(x+y)≤dx+dy,所以d(x+y)另一方面由命題2知d(xy)=dxdy,所以d是同態(tài)容易驗證d是A-格P上的微分(2)→(3),因為d是同態(tài)則d(x+y)=dx+dy,由定義7知d例4設d是含有最小元0的A-格P上的映射若對任意是A-格P上的正則x∈P,dx=0,則d是P的微分此時(shí)稱(chēng)d是P上的常量微分。(3)→(1),由命題3得證例5設d是A-格P上的恒等映射,則d是P上的微分此時(shí)稱(chēng)d是P上的恒等微分5結束語(yǔ)例6設d是A-格P上的微分,對任意x,y∈P若x≤y→在A(yíng)-格上引入了微分,并研究了相關(guān)的性質(zhì)。如何以微分d≤y,則稱(chēng)d是P上的保序微分簡(jiǎn)稱(chēng)d保序為工具來(lái)研究格與A-格之間的關(guān)系是值得繼續研究的一個(gè)問(wèn)題4A-格微分的性質(zhì)命題1若d是A-格P上的微分,則參考文獻:(1)dx≤x;[1] Bell H E, Kappe L C Rings in which derivations satisfy certain(2)(dx)·(dy)≤d(xy)≤ dx+dy;algebraic conditions[J.Acta Math Hungar, 1989,53: 339-346.(3)若P含有最小元0和最大元1,則d0=0d1≤1;[2] Bell H E, Mason G On derivations in ring, near-rings and near(4)若l是P的理想,則dl。dies,1987,137:31-35.證明(1)因為d(x·((xy):x)d(xy)…x)=d(xy)= [1 Kaya K Prime rings with a derivation( J Bull Mater Sci Eng,1987-(x*dy)+(ydx),則dx=d(x"x)=xdr+xdx=x:dx,所以dr≤x1988,1617:63-71.(2)因為d(x"y)=(x4y)+(y·dx),x*d≤d,y·d≤d,所 Posner E Derivations in prime rings[] Proc America Math Soc,957,8:1093-1100以d(x"y)≤dx+dy;又因為dx"y)≥xdy≥dxd,故(ax)(dy)≤[5] Jun Y B Xin X LOn derivations of BCI-algebras [J]. Informationd(x"y)≤ dx+dySciences,2004,159:167-176(3)設0,1∈P由(1)知d1≤1,40≤0易知d0=0(6) Xin Xio-long, Li Ti-yao, Lu Jing-hua On derivations of lattices](4)任取y∈d,則存在x∈l使得y=dx,由(1)知y=d≤x,Information Science, 2008, 178(2): 307-316.而I是理想故xy=y∈l,即dIslSnasel V Moravec P Relatively complemented A-lattices([J].Acta定理3設d是A-格P上的微分,則d保序的充要條件是Univ M Belli Math, 2005. 12: 79-83d x,y8]魯靜華格及超格若干專(zhuān)題研究D」西安:西北大學(xué)2006