快速平衡技術(shù)

系統工程與電子技術(shù)91104日資源系統系統工程與電子技術(shù)，數字化期刊WANFANG DATA ( CHINAINFO)SYST EMS ENGINEERING AND ELECT RONICSDIGI1999 V ol.21No.11P.11-17,22快速平衡技術(shù)熊中楷里奇曼摘要存儲管理是工業(yè)工程的一個(gè)重要研究領(lǐng)域。在國際上首先對單機器生產(chǎn)系統循環(huán)投放的特性進(jìn)行研究,給出快速進(jìn)入最優(yōu)軌線(xiàn)的方法和步驟,以及儲存空間任意一點(diǎn)快速進(jìn)入最優(yōu)軌線(xiàn)時(shí)間的計算公式。主題詞存儲管理最優(yōu)設計系統穩定性Quickly Balance T echnologyXiong ZhongkaiCollege of Business,Chongqing University, 515063LeachmanIndustrial Engineering and Operation Research Department, UC Berkeley, CA 94720,USAAbstract T his paper discusses the characteristic 0 f round- Brobin policy for the single machine, multi-item production system. We find and provea real optimal buffer trajectory (corresponds minimum cost)whic h is independent on initial inventory. We have a formula to caclulate the time f rom any initial point tothe optimal buffer trajectory. .Keywords BallanceStableOptimal trajectory Fac tory automation1引言存貯管理是工業(yè)工程的一個(gè)重要研究領(lǐng)域。存儲控制的運籌模型可以追溯到本世紀初[8],到目前為止發(fā)表的有關(guān)論文已有數千篇,根據美國總統1995年經(jīng)濟報告,美國的存儲總值超過(guò)萬(wàn)億美元[7]。近年來(lái),許多研究人員對從制造系統的穩定性來(lái)研究存儲很有興趣,例如在文獻[1~6]中,特別是Perkins和Kumar [ 4]對幾種策略的特性進(jìn)行了深入的研究(由美國國家科學(xué)基金會(huì )和美國軍方資助) ,給出了-系列可靠的結果。在國際上本文首次對單機器生產(chǎn)系統循環(huán)投放的特性和最優(yōu)軌線(xiàn)進(jìn)行了研究,并給出存儲空間任意- -點(diǎn)到達最優(yōu)軌線(xiàn)的時(shí)間計算公式。粗略地講,對一個(gè)給定單機器多產(chǎn)品生產(chǎn)系統(見(jiàn)圖1所示) ,給定加工零件供給率、生產(chǎn)率,從一個(gè)零件轉換為另-個(gè)零件的轉換時(shí)間、轉換費用及存儲費用,對應于給定的循環(huán)策略可以求出最優(yōu)周期,它對應于最低費用。本文要回答的問(wèn)題是:當最優(yōu)生產(chǎn)周期等于平衡生產(chǎn)周期時(shí),什么是對應最少費用的最優(yōu)存儲水平?對存儲空間的任何一點(diǎn),如何快速控制系統進(jìn)入最優(yōu)軌線(xiàn)?如果-個(gè)干擾出現,如機器故障等使系統偏離最優(yōu)軌線(xiàn),如何快速控制系統?如何使系統穩定地運行于最優(yōu)軌線(xiàn),從而節省費用?中國煤化工MHCNMH G頭MCINE]--一年fle:/// Vqkx99991104.htom(第1/ 18頁(yè)) 2010-3-23 12:01:49系統工程與電子技術(shù)991104圖1單機器多產(chǎn)品生產(chǎn)系統2符號與主要結論我們定義如下符號:i--零件標號, i∈N={,2... ,n};Cδ ir-在采用循環(huán)策略δ j時(shí)轉換機器,以加工第1種零件所需時(shí)間, i∈Nj∈M={1,2, .. ,m}, .m=n!,Cδ ji=C;;p8 i--采用循環(huán)策略δ j時(shí),第i種零件的生產(chǎn)率, Pδ ji=P;i∈Nj∈M ;Sδ i--采用循環(huán)策略δ時(shí),第i種零件的平均供給率, Sδ ji= S;i∈N,j∈M ;I(G,8 }(t)--采用循環(huán)策略δ ;時(shí),第G周期第i種零件在時(shí)刻的存儲水平10.)(1)= (19092)(1)Iδ i()--采用循環(huán)策略δ j時(shí),第i種零件在時(shí)刻的存儲水平, *()= (p(r)(2(,../(1)”.1，V i∈N .(t)=r'(t);F(G,8 }()--采用循環(huán)策略δ ;時(shí),在第G周期完成零件1到零件i所用的累計時(shí)間,本文假定零件不間斷加工, i∈Nj∈M ;Fδ j-采用循環(huán)策略δ ;時(shí),完成零件1倒零件i所用的累計時(shí)間;T*-最優(yōu)生產(chǎn)時(shí)間;T*S jir采用循環(huán)策略δ ;時(shí),第i種零件的最優(yōu)加工時(shí)間;Bn--n維存儲空間;t*--采用循環(huán)策略j時(shí),對給定的初始存儲狀態(tài)到達最優(yōu)軌線(xiàn)的最快時(shí)間;t--對給定初始存儲狀態(tài)到達最優(yōu)軌線(xiàn)的最快時(shí)間1" = min{t; )h--第i種零件單位時(shí)間的存儲費用;A--轉換加工零件i所需時(shí)間;m:--兩次加工零件i相隔的基本周期數。在給出本文的定理前,我們還給出一些定義。定義1對一 一個(gè)制造系統,如果存在常數，整數m≥0,使得.I:(Ts+mTJ)=I(T),i∈N (1)我們稱(chēng)這個(gè)制造系統是平衡的(從時(shí)刻T起) ,稱(chēng)T是平衡生產(chǎn)周期(如圖2所示)。中國煤化工MHCNM HGfle:/// Vqkxcg9919991104.htm(第2/ 18頁(yè)) 2010-3-23 12:01:49系統工程與電子技術(shù)991104圖2理解平衡生產(chǎn)周期定義定義2如果制造系統是平衡的,并且有最低存儲水平,我們稱(chēng)這個(gè)制造系統處于理想平衡,稱(chēng)點(diǎn)I*∈B^理想存儲點(diǎn)?，F在我們給出本文的一些主要結論。定理1對一個(gè)多產(chǎn)品單機器生產(chǎn)系統,采用循環(huán)策略的理想平衡條件是習異+2骨=1 (2)其中T*=T*,vi∈N,T*=Tc,并且gj∈M,使得1(0)= 1=Ix-[B,+C]S，i∈N(3)其中...=尚)Ti(P-S/)=則.+C/+[/*(0)+(F 1+C;9S9]/(4)(P%- S°),i∈N階=0證明首先 ,我們證明1≥0oT.(P%-S))-=TSp-2c>+ 2r.JS)=[2c+ 2興T.JS, -六S2.t20+2 r]Sy≥0在時(shí)間[0,Tc] , 零件i的總投入量為T(mén)Sδj,i∈N。其中生產(chǎn)時(shí)間為S1m加果機器中國煤化工不饑餓,則產(chǎn)品量應為T(mén)YHCNM HGfle:/// Vqkxcg9919991104.htim(第3/ 18頁(yè)) 2010-3-23 12:01:49系統工程與電子技術(shù)991104(哥T"PI=S!T"這里假設機器不饑餓,并且19(T)=1<0)= Py,i∈N。.在時(shí)刻附，+C/..開(kāi)始加工零件i ,這-時(shí)刻總的零件存儲應該為P:+(P.+C)Si=1m=(尚T:(PI,-S%).Sδi在時(shí)刻刊9.,零件i的總存儲量正好為0 ,如果不生產(chǎn),則零件i總存儲量為|T:s=())T:(Pl,- S%>) +(器)rT:Sp= S;T:因此系統平衡處于最少存儲水平,如圖3所示。(b)圖3理解定理1及其證明由定理1可得如下推論。Sc,(5)1--注:對于循環(huán)策略,理想平衡系統的平均存儲量不依賴(lài)于循環(huán)方式的選擇，因為在時(shí)間區[0,Tc]內,零件i的平均存儲_ 17 T這個(gè)量不依賴(lài)于δ的選擇。定義3我們稱(chēng)一個(gè)周期為T(mén)的生 產(chǎn)系統是平衡的,當且僅當tP;≥TS.這里t是生產(chǎn)時(shí)間。中國煤化工定理2對于一個(gè)循環(huán)策略,設T是周期MHCNMH G .fle:/// Vqkxcg9919991104.htm(第4/ 18頁(yè)) 2010-3-23 12:01:49系統工程與電子技術(shù)991104Sc+實(shí)(分)r其中a)r.是零件i的加工時(shí)間,則這個(gè)周期為T(mén)的生產(chǎn)系統是平衡的必要條件是T0≥Tc證明由于該生產(chǎn) 系統是平衡的,則有S)TP2T"Sa2元_Tr-2c+名(號)r.=1r-之c，.r°T斗(務(wù))r因此1-2(部定理2的推論:對于循環(huán)策略, T0定義同定理2, a(頭T是零件i的加工時(shí)間,則a≥1。定義4我們稱(chēng)一 一個(gè)點(diǎn)集Q(δ )C B"為一個(gè)理想點(diǎn)集(如圖4所示) ,對給定的循環(huán)策略,任何一個(gè)點(diǎn)Iδ(t)∈∩(δ ) , 存在一個(gè)時(shí)刻O(píng) t,T c2O t≥0,使得Iδ (t+O t)=I*。設Q'= {1∈B*|I≤j9,i∈N}對于n種零件,令m=n!,Q=0; U∪.∪mCBn中國煤化工MHCNM HGfle:/// Vqkxcg9919991104.htm(第5/ 18頁(yè)) 2010-3-23 12:01:49系統工程與電子技術(shù)991104圖4理想點(diǎn)集定義3低速方法(低速技術(shù))如果存在δ j∈M ,使得*<0)≤79.ie N.(R,= o)即是說(shuō)每種零件初始存儲不大于理想存儲量,則從前一種零件生產(chǎn)結束時(shí)刻起,轉換生產(chǎn)這種產(chǎn)品,加工完這批零件的時(shí)間將不大于理想的累記結束時(shí)間，即附+C/+19<0)+(附:+C)SY刷，門(mén)-Si∈N在時(shí)間區[P2:+C>+1,/+ (FiL +C%)S%,F門(mén)Pis-Sp使生產(chǎn)率正好等于需求率Sδ j(Sδ j●Fm_ -0,)-1= min {F. -0e,)-1 | 19 (0)∈02.j∈”。中國煤化工定理6.2<24Q的充分必要條件是Fn 402+<2cx習號)<2in)a-2號)事實(shí)上I,(F,)= 1,<0)-1P.+ (,)S,+ SC,)S,1(0)- 10) -n+,>+2o<公部2=4-ra-2升>+如果F.-2+ 2c>".Z>r.- Eccr.- SC)(1-2)根據r-8c+乙r<0(1-部>20公部因此2<24P中國煤化工假設MHCNM HGfle:// Vqkxcg9919991104.htm(第7/ 18頁(yè)) 2010-3-23 12:01:49系統工程與電子技術(shù)9911042印<2P即201- 2>>Q02舟由于Sc1-公頭于是Sc.2><- -5公為=1-2興因此2+ Ec>T.推論2 1.(F2> 214.0)的充分必要條件是Fn T.表示存儲量太多 ，需要更 多生產(chǎn)時(shí)間,從而在 周期結束時(shí),待加工零件存儲減少。定義5我們把滿(mǎn)足下式的點(diǎn)集稱(chēng)為循環(huán)策略δ的理想軌跡Iraj'(l)|eco.對= (I"(1)| T!(1)[7?(0) + tS{， 1∈[0,F1十C;]m- (P- S)(-M1-C9)(6)1∈[NLI +C9,F9] .(-那)S9， 1∈[R9,F%]中國煤化工MYHCNMH G我們稱(chēng)上述公式中1(t)le 1o,巧為循環(huán)策略零件i的理想軌跡;稱(chēng)IBo*()=(1' l0≤1≤T9≤i(0<(7))(0).i∈N}1(0(8,))(0) +iS/.I∈[O,F-.(Qr(0))+C]Tej0u2(l)le., sw,= {7 (<8)0)1(<0<(8,)(1)(1i(0<(8))<0) + (F-(0(8)) + C%)S%- (P%- S$)(- P-.(0r(8))- C%)，t∈[(F_ :(Or(6,)) + C%,F(r(8))](- F(Q(.))S/， I∈[(F.(Ol(8)),F.(0r(8,))]Box/(1) = (1(0(,))()|0≤1,(0r(8)>(1)≤i,(0(8,))(1),i∈N),0≤1≤F,(Or(8,))萬(wàn)(a8,)Boxa()=° U Box8}(l)1=0定義0)￥.0,則有I(Fn)≠I(mǎi)*。證明假設I*=I(Tc+O t),由于I*:=( Fn~ pi)S;=(Tc p;Si;I(Tc+O t)=(Fn-Fj)S;=(Tc+O t-F)>S;i∈N ,有F;=F;+O ti∈N。另一方面,在時(shí)刻pn-1+O t+Cn,開(kāi)始生產(chǎn)零件n ,這時(shí),存儲應有In(0)+( Fn-1+O t+Cn)Sn, 因此F.=F。:+O +C.+4.60)+-.+4+C25>F.+r+P。- S.OiS.P.- S.T。+Ot從而有I(Fn)≠I(mǎi)*。根據定理9得到如下定理。定理10 (1) Iδ j(0)∈Box0 tδ })(0)的充分必要條件是max[1(0)-動(dòng)|≤0r(δ)≤了- 1%0) .1-2,-1SP- Sp(2)如果12(0)-12| 12(0)- T允,則選擇.k-2,-四S2Or°(8,)乃- 1P(0) .PSt;=T。了- 1(0)P-S(3)如果, 1門(mén)(0)-19112(0)-7元, 則選擇中國煤化工0-2,四MHCNM HGxcg9919991104.htim(第11/ 18頁(yè)) 2010-3-23 12:01:50系統工程與電子技術(shù)991104Ar°(8) =. max片一7(0)4- 2-由P”- Sp1 ,(0)-，_max[1(0)-衛S2,R-.2-Spi= 01.2...k(8,)k(6) = max{k。9，0)- P。SpL11(0)-衛V 0≤L≤ko}1-21-1j = min{F,e(8j) 1-. max1'(0) -4- 2.-了一1/(0)，Ti-所-了證明(1) 如果/'(0)∈B<0.>(0)，則r/(0>≤i(0 (?))=?- (75(>(>/(/(0>/<(())=72++S8 rjO t(δ j).(k-2...n). ,則有( 1/(0)-。了- 1/(0)S2 |≤Sr(δ)≤P-S2(r'<0>-1 )9-1/(0)另-方面,如果’S2」≤Qu(δ)≤P-S!?書(shū)(0)≤i,(O())=1}-(P/- S?)O(8)，(0)>≤i(0(;))=7:+S:/0r(8).k=2,... ,n有I8 i(O) ∈Box o )(0)。(2)如果上(0)-1，11(0)-1k- -2,-5SSy則對任何0t(δ,)∈[, max.(B(0)-公\了- 1/:(0)-}P-S:零件n到達乃時(shí)刻為T(mén)cO [WTBX 8 ),因此t=Tc “-?0}。中國煤化工MYHCNMH G注:(1)如果Iδ ;(0)=jδjyi∈N ,則0 (δ )=0,反之不成立,即如O (δ )=0則不能推x99991104.htom(第12/ 18頁(yè)) 2010-3-23 12:01:50系統工程與電子技術(shù)91104出19<0)= I9Vi∈N°(2)如果1(0)= i,(Qr())V i∈N.0r(6)=Q(8)= 19=7(0r(8,)) Vi∈N.定理11如果Iδ j(0)∈Box0 tδ })(0)C Box ,那么采用低速技術(shù),達到理想軌線(xiàn)的時(shí)間是(1)如果gjo∈M,使得Iδ io(0)=.jδ a,則t*;=0,t*=0。(2)如果Iδ j(0)∈Qδ y,但gio∈N滿(mǎn)足Iδ io(0)* pδ ij,假如IS ni(0)=j; n-1mi=0,1,2, ... ,k(δ j) ,這里k(δ j)=max{ko[S n-L(0)= δ n-Li, v 0≤L≤kg},則有t)=min{Tc-- 1,<0),F._ xe)-1}.1* = min{t;' }。P-S(3)如果1I°。(0)∈Jscig，,進(jìn)一步假定1°0(0)=1(Nt (8,),則:;=F(0(8,))。(4如果r"'。(0)∈ Duce ,但3io∈N ,滿(mǎn)足戶(hù)(0)≠1, (or(o,),12(0)-12max(2(0)-12},則SStg- I*(0)9-1*<0)。1:<0)-1..1(0)-2;則選.我們選擇Ar<(8;)=-,t; =T。,如= maxP-SS一2.*.擇△l°(8;) =. max = max|中(0)-2\-2...n - ..S，假定1,(0)- 1,m. (1(0)-2i = 0,1,2,.,k(8,)k(8;)= max{k([(0)-。。S2。=max12(0) - I$}V 0≤L≤ko}2≤k≤n則有tj; = F_k(0,>-1一max上(0)一型2≤4≤m4快速控制軌線(xiàn)于最優(yōu)軌道的控制步驟中國煤化工MYHCNM HG設δ下的低速生產(chǎn)的時(shí)間和為T(mén)LT(δ ) ,現給出快速控制軌線(xiàn)于最優(yōu)軌道的控制步驟如下:第1步用公式(5)計算平衡生產(chǎn)周期 ;fe// vqkx有的x99991104.htom(第13/ 18頁(yè)) 2010-3-23 12:01:50系統工程與電子技術(shù)91104第2步用公式(3)和(4)計算 ;第3步對給定策略δ ,用公式(6)計算理想軌線(xiàn) Itraj;(t)le∈0.,8j,令G:=1第4步對于I(G,6 )(0)∈Bn ,如果gj∈M滿(mǎn)足FG,8 n≤Tc,轉第5步;否則,即F(G,8 in>Tc,,vj∈M ,轉第6步;第5步如果I(G.B)(0)∈ Box(0j)(0)CBox ,進(jìn)一步有(1)如果gjo∈M,滿(mǎn)足p.eg (0)= i%。. ,則。=O,TLT(δ j)=0,t=0,δ j。是最佳策略,停止;否則，即Vj∈M,I<0)≠ig。, 假定INC-9%'(0)= , , i=0,1,2k(δ，這里k(0,)= max(<0122)(0)=12un,V 0≤L≤k)'則t.=min{戶(hù)1u)-. ,t.-.1%o- 19io(0)假定i* =min{; )。假定t*=minj{苛j}P°o-S°oi90- 1%0(0)=min{; }=%●ti=T.--P1fo- Sa則對h-=....n,在區間[T21 -Po- T960) +n+P所一SPo1%- 1%o(0)%(0) + (F2:-pnS+ C2S%0P°0o- S%o那一-”-1%0(02- .P%-S%o1go- 1I%o(0) + (的一島)S%o低速生產(chǎn)零件h。有P°io一S%o”停止。TLT(8,) =P%- S%o如:= F_ko, ,-，那么,對h=1,2, ... ,n-k(δ j,)-1在區間[臨+ C%。+5o60)+(PstG)-S.]低速生產(chǎn)零件h , 低速生產(chǎn)時(shí)間為P-S1-t(6; )-90-1%(0) , 停止;否則i.e VjEM,I(G.6 j2{0)0), ,轉第3步;- Po-Sfo-S%中國煤化工(3)如果r19.*%'(0)∈Qwe, ,進(jìn)一-步10.%'(0)= 1<0(8,MHCNMHGCNMHS),TLT(δ i)=0,xcg9919991104.htm(第14/ 18頁(yè)) 2010-3- 2312:01:50系統工程與電子技術(shù)91104t*=minj{t]},停止;否則,即vj∈M,IG,8 })(0)≠j(O t(δ ),則轉第4步;(4)如果19.30 (0)∈2asa,但gio∈N ,滿(mǎn)足0)=i(0<1,)),如1%(0)-19%-< max2(0)-12，則選SS%o擇Ot*(8,)l;= T。%- 1%(0)P%o-So1%6(0)-7%0-. 少(0)-%、如-=max .k-2...mS2io5(0)-0，則選擇Q*(8;)=, max (廣為一2.**.月S20假定1s,(0)- Ts,= maxI20(0) -k一2,*,用S2oi= 0,,2,.,k(0,)k(0,) = max{ko|2(0)- sL, 1p%0(0)- p。、F-2,"刀S2foW 0≤L≤ko}則i = min{F. -0,)-1- max[出(0)-五，。-2.*.*SoT. -- 19%6(0)},l° = min{1; }_Pe Sio中國煤化工MHCNM HGxcg9919991104.htm(第15/ 18頁(yè)) 2010-3-23 12:01:50系統工程與電子技術(shù)91104假定!=min(t;}=tj，如1%6(0)-1%+(mon,- B-Tr(0+C%5t%際-0(0)-對h=2,3,... ,在區間%一節(0)+ C%+P/o-S%P-S%P%-S%]低速生[路一 P-st1%o- 1%6(0) +出-%(0).)S%o產(chǎn)零件h。且有TLT(8, )=P%s-S%。停止。h-2P21o一S%o如果(0)-1.......高(0)-0、 且，.r.- 1-19%(0) ,那么,對1于h1.2.. ,nk(8 小maxS%ok-2**.mP%o-S2%01o- 1p%(0)1.在區間[P21-19o-. 19o(0)+C%0+.<0>+(gn--P9o-Si%2 +C%6)S%一196<0)-P%o-SpoPi-SYoP0-S%”-10j)-1 go- 1%o(0)+一19%o(O).-)S%低速生產(chǎn)零件h,且有Pin- S°%o,停止。TLT(8,)=P2io- S%0o如果1o(0)- i,則對于1h-1,2.... ,n-k(δ :)-1低速生產(chǎn) 零件h的區間為ti=F。_ 16..>-1- max .S20[ir,-. max西(0)-型,FC%o+I%0(0) + (一max_1%0(0)- P%o,+ C%o)S%o著(zhù)一2.**.P°2o - S,opo-. max,1%(0)- %k- 2,.四520且有η-k(@ig)-1To- 1%o<0) + ( maxI%(0)S%。| 中國煤化工TYHCNM HGP%io- Spoxcg9919991104.htm(第16/ 18頁(yè)) 2010-3- 23 12:01:50系統工程與電子技術(shù)91104停止。否則,即1C)(0)東Box*(<8,>(0),V j∈M ,Vj∈M ,轉第6步;第6步選擇最快到達理 想軌線(xiàn)的策略δ i,并 計算G+ 1周期零件K的生產(chǎn)結束時(shí)刻的存儲量I9c+1.3g)(F%o) =[(i=k(F(C+1.。)' - F:(C+1.4.)S;/。k> i(1(+1.02 + F(C+1.4,S。k< i對i∈N,k∈N ,檢查如有ko∈N ,并且，j(ko) ∈M滿(mǎn)足1](6+1.0%})(F%)=]J(G+13so2>(0)∈BoxMeiuo,)(0)則G :=G+1轉第5步;否則,即V k∈N,V j(k)∈M,19+16) (F% = ]c+.3jxe)<0)氏BoxWijxe>(0),G:=G+ 1轉第6步。5結論和進(jìn)一步的研究，本文對多產(chǎn)品單機器生產(chǎn)系統的循環(huán)策略的特性進(jìn)行初步研究,給出快速進(jìn)入最優(yōu)軌線(xiàn)的方法和步驟。以及儲存空間任意-點(diǎn)快速進(jìn)入最優(yōu)軌線(xiàn)時(shí)間的計算公式。當然這只是我們一系列結論之一,是考慮最優(yōu)生產(chǎn)周期正好等于平衡生產(chǎn)周期情況下得到的，通常的情況是最優(yōu)生產(chǎn)周期大于平衡生產(chǎn)周期,我們將陸續發(fā)表有關(guān)結果。致謝中國國家 自然科學(xué)基金會(huì );美國加州大學(xué)伯克利分校,美國加州政府MICRO項目;美國著(zhù)名電子公司Intel Corporation, H arris C orporation, Advanced Micro Devices InC., Cypress Semiconductor DigitalEquipment C orporation, IBM, NC R Semiconductor, SGS- Thomson, Microelectronics提供部分資助?；痦椖?國家自然科學(xué)基金資助課題( 79670104)作者單位:熊中楷(重慶大學(xué)工商管理學(xué)院，400044 )里奇曼(美國加州大學(xué)伯克利分校I業(yè)I程與運籌學(xué)系，94720)參考文獻[ 1 ] Leachman R C, Park K. 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