拱的結構分析

第23卷第2期安徽工程科技學(xué)院學(xué)報Vol. 23. No.22008年6月Journal of Anhui University of Technology and ScienceJun. .2008文章編號:1672. - 2477(2008)02- 0001-06拱的結構分析干洪',王彥紅2(1.安徽工程科技學(xué)院,安徽蕪湖241000;2. 安徽建筑工業(yè)學(xué)院土木工程學(xué)院,安徽合肥230022)摘要:采用節點(diǎn)柔度矩陣的方法.通過(guò)求逆和剛度平移矩陣最后形成曲桿單元剛度矩陣,采用卡氏第二定理求出單元荷載等效節點(diǎn)力.然后與節點(diǎn)荷載疊加.形成結構荷載.通過(guò)計算對比,精度大大提高.關(guān)鍵詞:拱結構;節 點(diǎn)柔度矩陣;單元剛度矩陣;單元荷載中囝分類(lèi)號:TU311文獻標識碼:A引言在現代結構工程,尤其是橋梁工程中,曲桿結構的應用已經(jīng)相當廣泛.曲桿結構具有獨特的流線(xiàn)型結構,線(xiàn)條流暢、明快,意境生動(dòng),能夠給人以美的感受.拱是工程實(shí)際中最常用的曲桿結構形式,特別是在橋梁工程中得到極為廣泛的應用,例如橋梁上常用的鋼筋混凝土拱橋和石拱橋,在隧道等地下結構中常采用鋼筋混凝土拱圈作襯砌,在房屋建筑中有時(shí)也采用拱形的房屋和門(mén)窗過(guò)梁等.拱結構最重要的特性是在豎向荷載作用下會(huì )產(chǎn)生水平推力.由于水平推力的存在,拱的彎矩要比跨度、荷載相同的梁的彎矩小得多,并且主要是承受壓力.我國可謂拱橋的國度,其中馳名中外的河北趙州橋就是代表之-.曲桿結構在現代建筑中更是比比皆是,但在結構分析特別是大型電算的精度和效率方面還有待進(jìn)一-步發(fā)展.傳統的平面曲桿構件的內力分析,采用矩陣位移法時(shí),大多用直桿單元來(lái)代替曲桿,即用多段折線(xiàn)桿件來(lái)代替曲桿,這樣處理無(wú)疑會(huì )使精度降低其次,折線(xiàn)部分的直桿單元在進(jìn)-步細分時(shí)必然在宏觀(guān)尺寸的比例上相差太多,這也是影響精度的一個(gè)重要因素.本文以平面曲桿單元作為分析單元,通過(guò)求解節點(diǎn)柔度矩陣,進(jìn)而得到節點(diǎn)剛度矩陣,然后通過(guò)建立單元的剛度平移矩陣的方法,最后建立曲桿單元剛度矩陣.文中首次采用卡氏第二定理,通過(guò)求解任意一段平面曲桿的內力,編制公式形成單元荷載的等效節點(diǎn)力,可系統建立曲桿單元荷載的等效節點(diǎn)力列陣.計算表明,本文方法比傳統方法的計算精度有顯蓍提高.1拱的 結構剛度矩陣1.1 直桿單元的節點(diǎn)剛度矩陣.從研究平面剛架單元人手,把平面剛架單元剛度矩陣式按節點(diǎn)i和j劃分為4個(gè)子矩陣，節點(diǎn)坐標分別為(0,0)和(L,0)(1)得)-[;門(mén)1}式中,F’、F,'、o,' o,'為節點(diǎn)力和節點(diǎn)位移,ku'、k,'為節點(diǎn)i和節點(diǎn)rj的剛度矩陣,k,'、k,;'為節點(diǎn)i和節點(diǎn)j的交叉剛度矩陣.圖1所示為一懸臂梁,在自由端作用著(zhù){F'}={Fz' F,’M,'} ，(2)當o;'的分量均為1時(shí):圈1節點(diǎn)位移和節 點(diǎn)力的方向(3)這時(shí)，支座節點(diǎn)i的反力為R,' ,由剛度定義得到:中國煤化工收稿日期:2008-04- 10MYHCNMHG基金項目:安徽省教育廳自然科學(xué)基金資助項目(2006kj082a 2008kj031a)作者簡(jiǎn)介:干洪(1954-).男 .安徽廬江人.教授.報2008年k,'=R;'，(4)如果把F,'平移到支座節點(diǎn)i,得到:F,'= H'F,'= H,'k;'，(5)式中,H。為由j向i平移的變換矩陣10][H,]=(6)L-(y;'-y,') -(x,'-x') 1」列出節點(diǎn)i處的平衡方程:R,'=-Fo’，(7)于是k;'=-Hz'k;'，(8)由于剛度矩陣的對稱(chēng)性k,'=(k,')T=-k,'Hj，(9)類(lèi)似式(8)得到:k;'=-Hgk.' ,[H,]=- [H,]=-[H,]-'，k,'= H,k&'.(10)或將上式轉置k.'= H,'k,'=-H,k,'= H,k,'H，(11)可得:互為kT =k。= (-H,k,')T=-k,TH; = H,k,'H，(12)-H上'轉置-H上.'綜合上列各式,得到各節點(diǎn)剛度矩陣關(guān)系圖，如圖2所示.于是在局部坐標系下知道節點(diǎn)剛度矩陣k,'后,利用上述關(guān)系就可導出單元剛度矩陣:圄2節點(diǎn)剛度矩陣關(guān)系圜[H,k,'H - H,k,'1[k'=[ k,Hh k,"」(13)1.2曲桿單元剛度矩陣的推導直接推導曲桿單元的剛度矩陣比較復雜,但我們可較方便地求出節點(diǎn)柔度矩陣,然后求逆得到節點(diǎn)剛度矩陣,再根據式(9)便可得到單元剛度矩陣.下面以圓弧桿為例，詳細推導曲桿單元剛度矩陣.Y。圖3所示為-平面剛架曲線(xiàn)單元i,其形狀為一圓弧,圓心在0點(diǎn).曲線(xiàn)單元在xOY平面內，假定截面特性沿弧長(cháng)不變.i端為固定端,而j端為自由端.經(jīng)推導可得:圈3曲桿單元局部坐標系下j點(diǎn)的柔度矩陣為:[r(3φ-4sinφ+ sin qpcosp) - -2(2- 2cos qpsin2' φ)一 2r(p- sinp)][d;]= 3ET.- -2(2- 2cosφ一sin2 φ)廣 (φ - sin ocos φ)2r(1 - cos φ)(14)一2r(φ- sin p)2r(1 - cos p)2φA=行(3φ- - 4sinφ+ sinpcosq) ,B=- 河(2- 2cosφ-sin2 φ)，C=河(φ- sinqcosφ)，D=- 可(φ一sinp) ,E=F=年,G=ld,'|=ACF+2BDE-CD2-AE.中國煤化工將上式求逆可以得到局部坐標系下j點(diǎn)的剛度矩陣:YHCNMHG第2期干洪,等:拱的結構分析「CF一EDE- BF BE- CD1\r"[k,']=[d,]-=DE-BF AF-D° BD- AE(15)可LBE-CD BD-AE AC- B2X-X,如圖4,可得到y,一y:=r(1-cosφ) =-H ,(16)x;一x, = rsinφ= I ,于是,力系由j點(diǎn)向i點(diǎn)平移的變換矩陣圖4曲桿單元的幾何尺寸[Hj]=010(17)rsinp把式(15)、(17)代入(13),即可得出局部坐標系下的單元剛度矩陣pK’' Kx2' Ks' Ku' Ks' K2o'Kz1’ K2’Kz3’ Kz' Kzs' K26'[k'] =(18)Ks1’Ksz' Ks3’ Ksi' Ks' Kss'Ko' Ks2' Ko3' Ke' Kss' K6o'」其中，Kn'= (CF- E)/G,Kn'= Kz'= (DE - BF)/G,K;3'= Ksl'= (CFH- EH+ DEI- BF1+ BE - CD)/G,K'= Ka'= (E一CD)/G,Kis'= Ks' = (BF - DE)/G,Ku6'= Ks'= (CD - BE)/G,Kz2' = (AF- D)/G, .Kz3'= Kz2' = (DEH- BFH- AFI-D*1+ BD一AE)/G,Kx'= Ka2'= (BF- DE)/G, .Kzs'= K2'= (D°- AF)/G,Kz'= Ko2' = (AE - BD)/G,Ks' = (CFH'- E H + 2DEIH -2BFIH + 2BEH - 2CDH +AFI'- D°I2 + 2BDI - 2AEI)/G,Ks.' = Ks'= (-CFH+EH- DEI + BFI- BE + CD)/G,Ks'= K<3'= (一DEH + BFH-AFI + D*1- BD + AE)/G,Kso'= K3' =(- BEH +CDH- BDI + AEI - AC+ B*)/G,K.'= (CF- E)/G,Ks'= Ks' = (DE - BF)/G,Ke'= Ko' = (BE - CD)/G,Ks'= (AF- D*)/G,Ks'= Ks'= (BD - AE)/G,K66' = (AC-B2)/G .(19)1.3 整體坐標系下單元剛度矩陣中國煤化工整體的轉換，對結構進(jìn)行分析時(shí),需要整體坐標系下的單元剛度矩.MYHCNMHG[k] = [T][k][TJ"，(20)式中,[kJ]、[k']為整體、局部坐標系下的單元剛度矩陣3,[r]為坐標變換矩陣.安.徼工程科技學(xué)院學(xué)報2008年cosasina 00sina cosa 00|[] =，(21)cos axR0(1」圖5單元的坐標變換. a即a,(見(jiàn)圖5),根據幾何關(guān)系有:a;=a一罷 ，式中中為圓弧所對的圓心角,a為i、j點(diǎn)連線(xiàn)與X軸夾角.cosa, = cos(a-景)= cosacos罷+sinasin景,sina, = sin(a-置)= sinacos貴- cosasin墨，(22)令J=cosa,L=sina,則可求出整體坐標系下的單元剛度矩陣為:Ku Kx2 K:s Kxs K:s Kis~Ka K22 Kzs Kzs Kzs KzsKaKszKsKsKssKs[k]=KaKx Ks Kus Ks Kse(23)Ksi Ks2 Kss Kss Kss KseK61 Ke2 Ka3 Ko4 Kes KesJ其中，K: = Jku'- -2JLkz'+L2kz',K1z = Kz1 = JLk'+(J°+L')kIz'- JLkr',Kis= KsI = Jks'- Lkzs'，Ku = Ka = J"kui'- JLkz'- JLks'+ L'k2s'，K1s = Ksi = JLk'-L"kx' +J'kis'- JLkzs',Kre = Ken = Jks6'- Lk2o',Kzz = L'Lkn'+2JLk1z' + Jkzz,Kzs= K32= Lks'+ Jkz3',K2s = Ka= JLkn'+J*kzi'- L'kis'- JLkts'，(24)Kzs= Kse = L'ks' +JLkz'+ JLkis'+ J*ks',K26 = Ke2= Iks6'+ Jkz',Ks4 = Kas= Jks'-Iks',Kss= Ks= Lksn'+Jks'，Ks6 = Ke3 =ks6',Kus = J*ku'-2LJkes'+L'kss',Ks= Ks = JLk'+(J°-L')ks'-LJks',Kee = Kos = Jk6'一Lkss',Kss = L'kev'+2LJks'+J'kss',Kss = Kss = Lks'+ Jks',Kse = keo'.得到整體坐標系下的單元剛度矩陣后,便不難利用直接中國煤化工作,不再贅述.2拱結構的荷載向量YHCNMHG直接作用在節點(diǎn)上的荷載,應按照荷載作用在節點(diǎn)上的方向(節點(diǎn)位移的方向,圖1) 來(lái)疊加荷載向量第2期干洪.等:拱的結構分析{P}.如有分布荷載,還應在{P}中疊加單元等效荷載{Fg} .對于曲桿結構,由于各點(diǎn)的切向、徑向都是變化著(zhù)的，情況較為復.r↑q雜.為簡(jiǎn)單起見(jiàn),本文僅就滿(mǎn)跨均布荷載進(jìn)行討論.,XX如圖6所示為一均布荷載下的拱結構,對于相應基本靜定系統,設多余未知力為切開(kāi)的截面之間的軸力、剪力和彎矩,分別用X1,X2,X;表示.與3個(gè)多余未知力X;,Xz,X;相對應的廣義位移依次為兩切開(kāi)分量、相對錯動(dòng)量和相對轉角,分別用D,D:,Ds表示,變形相容條件為圍6均布荷 載下的拱結構D:=0,D2=0,D3=0，(25)由卡氏第二定理D.-張,D2=張,Ds=K ，(26)上式中v.=[° M(O)Rd0 ,(27)。2EI為結構應變能,且M,(0) = XR(1-cos0)- X;Rsinθ- X; +一QR*Ccosφ- cos(qp+0)] .(28)為k截面彎矩,代入變形相容條件,得補充方程為我=0，我一0，x-0，(29)聯(lián)立上列3式,即可求得3個(gè)多余未知力X; ,Xz,Xs.即便在變化的分布荷載q(x)情形下,對于(29)式中的積分,亦可運用Matlab軟件,方便得到結果.由于固端反力與等效節點(diǎn)力是作用力與反作用力的關(guān)系，故采用固端反力求得的等效節點(diǎn)力{Fg}還應取負號.最后求解結構剛度方程:[K]{O} ={P}，(30)即可得到拱結構的位移.3拱結構的內力與反力曲桿結構與其他桿系結構一樣,單元的桿端力和支座反力通常由兩部分組成.得到結構位移{O}及單元位移{δ}后,單元兩端位移所引起的桿端力{F}:{F} = {k}{&} ,(31)當某節點(diǎn)為支座節點(diǎn)時(shí),桿端力就是支座反力，單元荷載所引起的桿端力就是固端反力.由于等效節點(diǎn)力是在整體坐標系下,所以要通過(guò)坐標變換得到局部坐標系下的桿端力{F'} = [T]{F} ，(32)式中[T]坐標變換矩陣(21).最后的內力與反力效應應將上述兩部分相疊加，4算例算例1如圖7所示,等截面半圓無(wú)鉸拱,均布滿(mǎn)跨荷載Q,試求拱結構的內力.R中國煤化工MHCNMHG圖7 均布滿(mǎn)跨荷載Q圉8拱頂作用集中荷載F,安徽工塑科技學(xué)院學(xué)報2008年令Q= 1,R= 1.計算結果如表1所示.表1拱結構的內力計算結果計算結果誤差分析/%拱腳內力水平力豎直力彎矩精確解0. 5601. 000--0.1072個(gè)單元1.000一0.1070曲桿單元求解4個(gè)單元0. 560.- 0. 1078個(gè)單元0. 4940.17011.82590. 573- 0. 0122.30. 595- 0. 0826.323.4直桿單元求解16個(gè)單元0. 582.- 0, 0983.98.432個(gè)單元0. 570一0. 1021.84.764個(gè)單元0. 563- 0. 1030.53.7算例2如圖8所示,等截面半圓無(wú)鉸拱,拱頂集中荷載作用F,試求拱結構的內力.令:F,= 1,R= 1. 結果如表2如示.裘2拱結構的內力計算結果彎矩.豎直力，0. 4590. 5000.1110. 500.0. 459.16個(gè)單元;0, 500.0. 494.0. 0037.697.30. 4540.5000.0761.131. 50. 4550. 1060.94.5參考文獻:[1]干洪.計算結構力學(xué)[M]合肥:合肥工業(yè)大學(xué)出版社.2004.[2]趙超燮. 結構矩陣分析原理[M].北京:高等教育出版社,1983. .The Analysis of Arch StructuresGAN Hong' ,W ANG Y an-hong2(1. Anhui University of Technology and Science. Wuhu 241000, China;2. Sch. of Crv. Engn. ,Anhui University of Architecture. Hefei 230022 ,China)Abstract: By computing the point flexible matrix of the curved beam element and inverting it, the curvedbeam element stiffness matrix can be derived by the stiffness translating matrix . The equivalent pointforce is worked out by the way of Castigliano's second theorem for the element load. All the loads areadded to form the load vector of the structure. The computine accuracv is improved evidently.Key words:arch structures; point fle xible malrix; element stif中國煤化工YHCNMHG