環(huán)形彈子球動(dòng)力學(xué)性質(zhì)研究

第22卷第6期山東科學(xué)Vol 22 No 62000年12月SHANDONG SCIENCEDee.2009文章編號:10024026(2009)06000904環(huán)形彈子球動(dòng)力學(xué)性質(zhì)研究裴云昌,卞洪濤,張延惠,林圣路(山東師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院山東濟南250014)摘要彈子球作為一個(gè)理想模型可以用來(lái)描述受限邊界腔中微觀(guān)粒子運動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征。本文研究了介觀(guān)二維偏心環(huán)形彈子球體系的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),利用相空間中的龐加萊截面分析了彈子球運動(dòng)的特性,其結果可以為研究量子混沌和微腔輸運提供理論指導關(guān)鍵詞:環(huán)形彈子球;經(jīng)典軌道;龐加萊截面中圖分類(lèi)號:0415.5;0561.5文獻標識碼:AThe Research of Dynamic Property On the Annular BilliardPEI Yun-chang, BIAN Hong-tao, ZHANG Yan-hui, LIN Sheng-luCollege of Physics and Electronics, Shandong Normal University, Jinan 250014, China)Abstract: Two-dimensional billiard systems have been a popular subject for exploring dynamics ofmesoscopic systems. In this work, we choose an annular billiard as example, study its dynamicalbehavior by Poincare surface of section in the phase space, which provide theoretical help forstudying quantum chaos and micro cavity transportKey words: annular billiard: classical trajectory; Poincare surface of section近年來(lái)量子點(diǎn)(量子臺球)作為很好的理論模型,用來(lái)研究量子與經(jīng)典的對應關(guān)系。在量子力學(xué)的半經(jīng)典極限中,如果不研究系統的經(jīng)典運動(dòng)性質(zhì),許多量子性質(zhì)難以深入研究。一般的二維量子臺球問(wèn)題是研究臺球區域內部存在恒定勢場(chǎng)的情況下其粒子的運動(dòng)情況。粒子在邊界上是彈性散射,在兩次碰撞之間做直線(xiàn)運動(dòng),臺球場(chǎng)區域的尺度小于粒子的彈性碰撞平均自由程,大于粒子的費米波長(cháng),所以可以看做自由粒子,因此臺球區域的形狀決定了粒子的運動(dòng)是規則的還是混沌的。在理論上應用周期軌道理論和閉合軌道理論已經(jīng)討論過(guò)矩形、三角形21、橢圓等體系,這些量子臺球都有一個(gè)共同的性質(zhì)—有解析的本征值和本征函數,是可積體系。本文研究的環(huán)形彈子球,從量子力學(xué)上很難給出具體的解析本征值和本征函數,是一個(gè)混合體系,既有規則運動(dòng)又有混沌運動(dòng)。1理論方法環(huán)形彈子球由兩個(gè)圓組成,如圖1所示:外圓半徑R=1(原子單位),內圓半徑為r,內圓和外圓的圓心距為δ滿(mǎn)足(r+δ≤R)。環(huán)形彈子球系統有兩個(gè)自由度,因此需要四個(gè)相空間坐標。由于能量守恒,彈子球的運動(dòng)發(fā)生在三維超曲面上3,我們可以用二維相空間龐加萊截面來(lái)描述彈子球的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。對于一中國煤化工期:200909CNMHG國家自然科學(xué)基金資助項目(10374061,1074093)裴云}(1982-),男,碩上:,主要研究橄子器件微觀(guān)輸運可題通訊作者: E-mail: yizhang@admu,edu,cmn10東科學(xué)2000年種特殊情況,如果6=0,這時(shí)兩圓同心,不管r怎么取值粒子的能量和角動(dòng)量都是守恒的體系是完全可積的。隨著(zhù)8的變化,體系由可積到不可積產(chǎn)生混沌效應。因此用一個(gè)參數δ的變化就可以研究體系從規則到混沌的運動(dòng)變化特征。在本文中采用 Birkhoff坐標,在相空間中研究了彈子球與外圓的碰撞的性質(zhì)根據幾何關(guān)系用兩個(gè)角度就可以確定碰撞點(diǎn):6是和X軸正方向的夾角,a是軌道和外圓發(fā)生碰撞散射的夾角,如圖1所示根據彈子球的運動(dòng)特點(diǎn),在相空間中利用兩個(gè)坐標(L,S)描述其動(dòng)力學(xué)特性,其中S=sin(a)表示臺球的角動(dòng)量;橫坐標L=6/2m表示與外圓碰撞的歸一化弧長(cháng),變化范圍-1≤S≤1,-1/2≤L≤1/2。由圖1可以看出彈子球存在兩種類(lèi)型的運動(dòng),分別用A和B來(lái)標記,如果彈子球與外圓碰撞點(diǎn)的坐標滿(mǎn)足如下條件67(a)A運動(dòng)b)B運動(dòng)Isin(a)+sin(a-0I>r (1)意味著(zhù)彈子球在下一次與外圓碰撞前R外圓半徑,:內圓節徑6:偏心距,0和a為兩個(gè)角度坐標沒(méi)有同內圓碰撞,定義為A運動(dòng),其映射方圖1偏心圓環(huán)的幾何圖形a2=a1(2)1=6+(丌-2a0)A運動(dòng)映射方程可以肴出其運動(dòng)是規則的,這時(shí)相當于不存在內圓,系統就變成了圓形彈子球。如果條件(1)不滿(mǎn)足,就意味著(zhù)在下一次與外圓碰撞前先與內圓發(fā)生了碰撞,定義為B運動(dòng)其映射方程:sin(B)=(sin(ao)+&sin(ao-8))/(4)B-(∞-B(a,)=rsin(B)-Ssin(a-01)6其中B是軌道與內圓碰撞反射的角度。對于B運動(dòng)系統的角動(dòng)量不再守恒系統呈現混池現象2計算結果與討論圖2的四個(gè)圖展示了環(huán)形彈子球豐宮的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。在相空間的龐加萊截面中,S≥0.75或S≤-0.75的一些水平虛線(xiàn)表明粒子角動(dòng)量守恒,系統是可積的,對稱(chēng)的分布在S=0的兩側,這時(shí)只有A映射,類(lèi)似于一種冋音壁的結構,也稱(chēng)低語(yǔ)冋廊( whispering gallery)。對于S<0.75或S>-0.75這個(gè)區域,可以看到彈子球包含A和B兩種運動(dòng)原點(diǎn)(L,S)=(0,0)對應一個(gè)橢圓不動(dòng)點(diǎn)在計算中選取r+8=0.75分別計算了r=0.7,8=0.05;r=0.6,8=0.15;r=0.55,8=0.2;r=0.40,8=0.35四組數據。從四組圖中可以看出在8很小時(shí)(如圖2(a),混沌區域不明顯,準周期軌道比較明顯隨著(zhù)δ的稍微增大(如圖2(b),(c)),準周期軌道減少,隨著(zhù)δ的進(jìn)一步增加,相空間中最外層KAM面破裂,混沌的島嶼也逐漸變多(如圖(d),混沌特征越來(lái)越明顯。圖3給出彈子球在8=0和8≠0的部分運動(dòng)軌跡。同心圓中,圖3(a),(b),(c)表示在同心圓中運動(dòng)是完全規則的,或者與內圓不相撞或者與內外圓有規律的碰撞。圖3(d),(e),(f)表示只要內外圓圓心稍微偏離一點(diǎn),其粒子的運動(dòng)就不再規則除非像(c)中粒子沒(méi)有與內圓碰撞滿(mǎn)足A映射方程,在相空間中對應S≥0.75的區域。對于(d)中的運動(dòng)軌跡中國煤化工司中對應于(L,S)=(0,0)周?chē)臋E圓區域CNMHG第6期裴云昌,等:環(huán)形彈子球動(dòng)力學(xué)性質(zhì)研究r0.6/80.l01·:-=-10.5040.20.00.204-0.50-.250000.250.50(a)r=0.7,S=0.05(b)r=0.6,=0.151004603v00o0.50-0.250.0250.500.50.250000250.50(c)P=0.55,=02(d)P=0.40,6=035圖2彈子球運動(dòng)的相空間圖b圖3彈子球在同心和偏心環(huán)中的部分運動(dòng)軌跡3結論由以上分析,當δ=0時(shí),兩個(gè)圓為同心圓,彈子球的能量和角動(dòng)量都保持不變,所以當我們保持內圓半徑r不變,彈子球的運動(dòng)隨著(zhù)δ的變化而變化,對于偏心環(huán)形彈子球,系統是不可積的,其運動(dòng)在相空間中分為三個(gè)不同的區域,一是嚴格的可積部分說(shuō)明彈子球和內圓沒(méi)有相撞,二是彈子球有選擇的和內圓或外圓相碰,三是彈子球隨機的與內外圓相碰,即完全不規則的運動(dòng),呈現出混沌的特征,這對于我們進(jìn)一步研究經(jīng)典和量子的對應以及微觀(guān)體系混沌的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)打下一定的中國煤化工諭運實(shí)驗正在進(jìn)行,我們期待進(jìn)一步進(jìn)行比對研究,以促進(jìn)理論與實(shí)驗的HCNMHG山東科學(xué)2009年參考文獻:[1]陸軍,杜孟利從量子譜到經(jīng)典軌道:矩形腔中的彈子球[J].物理學(xué)報,2004,53(8):2450-2453.[2]高峰洪正平,趙文麗,林圣路.正:角形彈子球體系的半經(jīng)典分析[J].山東師范大學(xué)學(xué)報,2005,20(1):32-35[3]徐學(xué)友,張延惠,黃發(fā)忠林圣路杜孟利二維橢圓量子臺球中的譜分析[J].物理學(xué)報,200,54(10):4538-4542[4]ESPINOZA ORITIZ J S and EGYDIO DE CARVALHO R. Energy Spectrum and Eigenfunctions through the Quantum SectionMethod [J]. Brazilian Joumal of Physics, 2001, 31(4):1-8.[5]GOUESBET G, MEUNIER-GUTTIN-CLUZEL S, GREHAN G Periodic Orbits in Hamiltonian Chaos of the Annular Billiard[J]Phys. Re,E,2002,65:1-18[6]BERRY M V. Regularity and Chaos in Classical Mechanics Illustrated by Three Deformations of a Circular Billiard [J]. Eur J.Phy.,1981,(2):91-102[7]DORON E, FRISCHAt S D. Semiclassical Description of Tunneling in Mixed Systems: Case of the Annular Billiard[ J]. PhysRev.Let.,1995,75(20):3661-3664[8]HENTSCHEI M, RICHER K. Quantum Chaos in Optical Systems The Annular Billiard [J]. Phys. Rev. E, 2002, 66: 1-12.[9]BOHIGAS 0, BOOSE D, EGYDIO DE CARVALHO R Quantum Tunneling and Chaotic Dynamics [J] Nuclear Physics A, 1993560:197-210[10]ROBINETT R W. Energy Eigenvalues and Periodic Orbits for the Circular Disk or Annular Infinite Well[J]. Surface Review andLetter,1998,5(2):510-526[11]SAITO N, HROOKA H, FORD J, VIVALDI F, WALKER G H. Numerical Study of Billiard Motion in an Annulus Bounded by Nonconcentric Circles[ J]. Physica D, 1982, 5(2-3): 273-286[12]DEMBOWSKI C, GRAF H D, HEINE A, HOFFERBERT R and RICHTER A. First Experimental Evidence for Chaos-assistedTunneling in a Microwave Annular Billiard[J]. Phys. Rev. Lett., 2000, 84: 867-870[13 ]HOFFERBERT R, ALT H, DEMBOWSKI C, et al. Experimental Investigations of Chaos-assisted Tunneling in a MicrowaveAnnular Billiard [J]. Phys. Rev.E, 2005,71: 1-21征訂啟事《山東科學(xué)》(雙月刊)是山東省科學(xué)院主辦的自然科學(xué)綜合性學(xué)術(shù)期刊,面向省內外科研單位、高校和各大企業(yè)的科技工作者,旨在及時(shí)報道自然科學(xué)各學(xué)科在基礎和應用研究方面具有創(chuàng )新性高水平、有重要意義和學(xué)術(shù)價(jià)值的最新科研成果,已被國內多家大型數據庫收錄。本刊為雙月刊,逢雙月末出版,2010年定價(jià)為6元本,全年36元,歡迎訂閱本刊聯(lián)系地址:山東省濟南市經(jīng)十路東首科院路19號山東省科學(xué)院《山東科學(xué)》編輯部郵編:250014電話(huà)及傳真:(0531)82605310中國煤化工CNMHG