Desargues命題的應用

第18卷第3期四川理工學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)Vol. 18 No. 3JOURNAL OF SICHUAN UNIVERSITY OF2005年9月SCIENCE ENGINEERING( NATURAL SCIENCE EDITION文章編號:1673-1549(2005)03-0091-03Desargues命題的應用宋占奎(湖北十堰職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎部,湖北十堰442000)摘要:由 Desargues命題和 Desargues逆命題證明了三點(diǎn)共線(xiàn)或三線(xiàn)共點(diǎn)的問(wèn)題。還應用這兩個(gè)命題解決了軌跡問(wèn)題與求定點(diǎn)問(wèn)題及作圖問(wèn)題。關(guān)鍵詞:透視軸;透視中心;三點(diǎn)形;三線(xiàn)形; Desargues命題; Desargues逆命題中圖分類(lèi)號:O13文獻標識碼:A要用 Desargues命題和 Desargues逆命題去解決問(wèn)題其關(guān)鍵是如何找出兩個(gè)三點(diǎn)形或兩個(gè)三線(xiàn)形,若經(jīng)分析找到三點(diǎn)形或三線(xiàn)形,則問(wèn)題就解決了。下面通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明 Desargues命題與 Desargues逆命題在解題中的應用1預備知識定義1平面內不共線(xiàn)的三點(diǎn)與其每?jì)牲c(diǎn)的連線(xiàn)所組成的圖形叫做三點(diǎn)形,平面內不共點(diǎn)的三直線(xiàn)與其每?jì)芍本€(xiàn)的交點(diǎn)所組成的圖形叫做三線(xiàn)形。定義2如果兩個(gè)三點(diǎn)形對應邊的交點(diǎn)共線(xiàn),則所在直線(xiàn)叫做它們的透視軸;如果兩個(gè)三點(diǎn)形對應頂點(diǎn)的連線(xiàn)共點(diǎn),則公共交點(diǎn)叫做它們的透視中心。這時(shí)兩個(gè)三點(diǎn)形稱(chēng)為透視的。定義3平面上4點(diǎn),其中無(wú)3點(diǎn)共線(xiàn),構成一個(gè)四點(diǎn)形。每個(gè)點(diǎn)叫做頂點(diǎn),每?jì)牲c(diǎn)的連線(xiàn)叫做邊通過(guò)不同頂點(diǎn)的兩條邊叫做對邊,對邊的交點(diǎn)叫做對角點(diǎn),2對角點(diǎn)的連線(xiàn)叫做對角線(xiàn),3對角點(diǎn)構成對角三點(diǎn)形。Desargue命題兩個(gè)三點(diǎn)形對應頂點(diǎn)的連線(xiàn)交于一點(diǎn),那么,對應邊的交點(diǎn)在一直線(xiàn)上。Desargues逆命題兩個(gè)三線(xiàn)形對應邊的交點(diǎn)在一直線(xiàn)上,那么,對應頂點(diǎn)的連線(xiàn)交于一點(diǎn)。2應用舉例2.1應用 Desargues命題證明點(diǎn)共線(xiàn)例1已知ABCD為完全四點(diǎn)形,△XYZ為它的對角三點(diǎn)形,設XY與AB和CD分別交于P、L;YZ與AD和BC分別交于S、Q;XZ與AC和BD分別交于M和N。求證:P、Q、M共線(xiàn);S、L、M共線(xiàn);P、S、N共線(xiàn);Q、L、N共線(xiàn)。證明如圖1,在△ABC與△XYZ中,AX×BY×CZ=D,由 Desargues命題可圖1完全四點(diǎn)形ABCD與其對角三點(diǎn)形XYz中的點(diǎn)共線(xiàn)結構圖知: ABxXY=P、 BCxYZ= Q ACx XZ=M三點(diǎn)共線(xiàn);中國煤化工在△ADC與△ZYX中,∵ AZX DYCNMHG收稿日期:20050505作者簡(jiǎn)介:宋占奎(1947-),男,陜西大荔人,副教授,主要從事應用數學(xué)研究四川理工學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)2005年9月CX=B,由 Desargues命題可知: ADX ZY=S、 DCx YX、 CA x ZX-M三點(diǎn)共線(xiàn);在△ZYX與△BCD中, BZX CY x DX=A,由 Desargues命題可知: BCxZY→Q、 CDxYX=L、BDX ZX=N三點(diǎn)共線(xiàn)在△ABD與△YXZ中,∵ BXXDZXAY=C,由 Desargues命題可知:AB×XY=P、 ADXYZ=SBD×ZX=N三點(diǎn)共線(xiàn)22應用 Desargues逆命題證明線(xiàn)共點(diǎn)例2直線(xiàn)AB與CD交于U,AC與BD交于V,UV分別交AD、BC于F、G,BF交AC于L。求證:LG、CF、AU交于一點(diǎn)證明如圖2,在△AFL與△UCG中,對應邊FL與CG,LA與UG,AF與UC分別交于共線(xiàn)的三點(diǎn)B、V、D。根據 Desargues逆命題知: AUxFC x LG=0。例3設兩三點(diǎn)形ABC與DEF為透視的,BF與EC,CD與BA,圖2三線(xiàn)形AH與UC對應頂AE與DB分別交于K,J,I。求證:D)BC,EF,J共點(diǎn)。2)三點(diǎn)點(diǎn)的連線(xiàn)LG與CF及AU共點(diǎn)O形K與ABC,DEF都透視。證明如圖3,設三點(diǎn)形ABC與DEF的對應頂點(diǎn)連線(xiàn)交于P現考慮三點(diǎn)形BCD與EFA,令 CDx FA=J; BDXEA=; BCXEF=X則∵BEⅹ CF X DA=P,∴根據 Desargues命題知:J,I,X共線(xiàn)。即JxBC×EF=X在三點(diǎn)形BDF與EAC中,令 FB x CE=K, BDX EA=,DFXAC=Y,則∵ BE XDA X FC=P,∴根據Des命題知:K,I,Y共線(xiàn),即 KI X DF X CA=Y。在三點(diǎn)形FAB與CDE中,BF×EC=K,FAⅹCD, AB X DE=Z,圖3線(xiàn)BC、EF、』共點(diǎn)X及三點(diǎn)則: FC X AD x BE=P,根據 Desargues命題知:K,J,Z共線(xiàn),即形K與ABC、DEF都透視結構圖KJXAB X DE=Z。但X,Y,Z共線(xiàn),(因三點(diǎn)形ABC與DEF透視)所以三點(diǎn)形KJ與ABC,DEF都透視。23應用 Desargues逆命題求軌跡例4設有一變動(dòng)三角形,其三邊通過(guò)共線(xiàn)的三定點(diǎn),其二頂點(diǎn)分別在二定直線(xiàn)上移動(dòng),求第三頂點(diǎn)的軌跡。解如圖4,設三定點(diǎn)P,Q,R在直線(xiàn)t上,△ABC的頂點(diǎn)A,B分別在定直線(xiàn)m,n上移動(dòng),而m,n交于O,連接OC,當A,B分別在m,n上移動(dòng)到D,E時(shí),C移動(dòng)到F,即△ABC移動(dòng)到△DEF,:ABDE=Q, BC XEF=P, AC X DF=R。三點(diǎn)在定直線(xiàn)t上,由 Desargues逆命題知:O,C,F共線(xiàn)。點(diǎn)F在OC上,即C點(diǎn)的軌跡為過(guò)O點(diǎn)的直線(xiàn)圖4變動(dòng)性△ABC第二頂24應用 Desargues逆命題求定點(diǎn)點(diǎn)C點(diǎn)的軌跡CO結構圖例5已知OX,OY,OZ為三定直線(xiàn),A與B為二定點(diǎn),其連線(xiàn)通過(guò)O點(diǎn),R為OZ上的動(dòng)點(diǎn)且RA,RB交OX,OY于P,Q。試證:PQ通過(guò)AB上一定點(diǎn)證明如圖5,設R在OZ上變動(dòng)到F時(shí),連接 FA X OX=D;連接FBxOY=E。在△ADP與△BEQ中, DPX EQ-O, APX BQ=R, ADX BE=F?！逴,R,F三點(diǎn)共線(xiàn)。: AB X DE X PQ=S,由Deus迎命題nPQX AB=S,當F在OZ上變動(dòng)時(shí),E在OY上變動(dòng),D在定通過(guò) AB x PQ-S,故PQ通過(guò)AB上一定點(diǎn)SH例6設A,B,C為不共線(xiàn)的三點(diǎn),P是過(guò)C的定直線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn),AP與BC交于X,AC與BP交于Y,求證:XY通過(guò)AB上的一定點(diǎn)圖5PQ通過(guò)AB上證明如圖6,當P在過(guò)C點(diǎn)的定直線(xiàn)r上移動(dòng)到F時(shí), APX BC=X,AC定點(diǎn)S的結構圖第18卷第3期宋占奎: Desargues命題的應用BP=Y, AFx BC=D, AC xBF=H。XY→DH,這時(shí)可以看作把△PXY移動(dòng)到△FDH,∵FP×HYXD=C,∴它們三對對邊的交點(diǎn) FDX PX=A, HFx YP=B, DHX XY=E,則由 Desargues命題知:A,B,E三點(diǎn)共線(xiàn),∴ XY X AB=E25應用 Desargues命題作圖例7在平面上已知二直線(xiàn)a和b,此外還曉得不在a,b上的一定點(diǎn)P,試問(wèn)不用先定出a,b的交點(diǎn),如何用直尺作直線(xiàn)通過(guò)P及該交點(diǎn)。解如圖7,在a和b二直線(xiàn)之外任取一點(diǎn)O,過(guò)O引出三條直線(xiàn)um,n,圖6XY通過(guò)AB上圖7通過(guò)點(diǎn)P及點(diǎn)axb的直線(xiàn)PA結構圖ituxa=Q, uxb=B; nx a=R; nx b=c;定點(diǎn)E的結構圖PQxm=S,PBxm=D, SR X DC=A,那么PA就是所求的直線(xiàn)。這是因為△PQB與△ARC合乎 Desargues逆命題的條件。例8設a,b,c,d為平面內四條直線(xiàn),不用先定出交點(diǎn)cxd與axd,試作一直線(xiàn)過(guò)這兩交點(diǎn)解如圖8,連接axcb×d得r,在r上另取一點(diǎn)O,過(guò)O引m,n, axc=B, xd=G, cxm=A, dxm=F, anc, bxnHCA X HF:=P,同樣可得Q,PQ即為所求。事實(shí)上,△ABC和△FGH滿(mǎn)足 Desargues命題的條件。從而推得P∈(axb)(cxd)直線(xiàn)。同樣Q∈(axb)(cxd)直線(xiàn)。即PQ為通過(guò)交點(diǎn)axb與cxd的直圖8通過(guò)交點(diǎn)axb與cxd線(xiàn)的直線(xiàn)PO結構圖參考文獻:梅向明,劉增賢,林向巖.高等幾何[M.北京:高等教育出版社,1983.[2]朱德祥.高等幾何M北京:高等教育出版社,1983[3]鐘集.高等幾何[M北京:高等教育出版社,1983[4]方德植,陳奕培.射影幾何[M,北京:高等教育出版社,1983.I5]陳啟旭,王大淦,林達堅,等.高等幾何四M,福州:福建人民出版社,1983.[6][美]·艾利斯編射影幾何的理論和習題M胡宗慎,周?chē)?項正清等譯.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1987Application of Desargues PropositionSONG Zhan-kui(Dept. of Basic Courses, Shiyan Technical Institute, Shiyan 442000, China)Abstract: By Desargues proposition and Desargues converse proposition, we can prove the problem ofthree point sharing one line and three line sharing one point; by the application of this two propsition, we cansolve the problem of trajectory and fixing point and plottingKey words: axis of homology; centre of the perspectivity; three-point shape; trilinear form; Desarguesproposition; Desargues converse proposition中國煤化工CNMHG