彈性動(dòng)力學(xué)的相似邊界元法

第22卷第6期重慶建筑大學(xué)學(xué)報Vol 22 No 62000年12月Journal of Chongqing Jianzhu University文章編號∶1006-732X20006-0001-04彈性動(dòng)力學(xué)的相似邊界元法程玉民1,彭妙娟2(1.上海大學(xué)上海市應用數學(xué)和力學(xué)研究所,上海200072;2.上海大學(xué)土木工程系,上海200072)摘要時(shí)論了彈性動(dòng)力學(xué)邊界元法中邊界單元相似時(shí)單元之間的一些矩陣關(guān)系建立了相似邊界元法的公式。在一組相似單元中只要求得一個(gè)單元的相應矩陣通過(guò)比例關(guān)系即可求得其它單元的相應矩陣然后通過(guò)迭加建立代數方程組系數矩陣。與通常的每個(gè)單元都各自進(jìn)行積分計算相比本文方法可大幅度減少計算量。關(guān)鍵詞彈性動(dòng)力學(xué);邊界積分方程;相似單元;相似邊界元法中圖分類(lèi)號:O343文獻標識碼:A在邊界元法中要建立最終可求解的代數方程組需要在所有單元上進(jìn)行大量的積分運算。當單元數目較多時(shí)單元上積分的計算量將大大增加計算時(shí)間。在有限元法的研究中文1時(shí)論了單元相似時(shí)相似單元之間單元剛度矩陣的關(guān)系。在無(wú)限元法的研究中虹2地討論了單元相似時(shí)的情況。在邊界元法中若能建立相似單元之間相應矩陣的關(guān)系則可以減少大量的積分運算為此本文對彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的邊界元法討論了邊界單元相似時(shí)單元之間的一些矩陣關(guān)系建立了彈性動(dòng)力學(xué)的相似邊界元法。在一組相似單元中只要求得一個(gè)單元的相應矩陣通過(guò)比例關(guān)系即可求得其它單元的相應矩陣然后通過(guò)迭加建立線(xiàn)性代數方程組的系數矩陣。與通常的每個(gè)單元都各自進(jìn)行積分計算相比本文方法可大幅度減少計算量。彈性動(dòng)力學(xué)邊界元法對于均勻、各向同性的線(xiàn)彈性材料在小變形條件下運動(dòng)微分方程為Ccf-c2 ) u; i ( x,t)+c2u; (x,)+f(x,)=u(x,t)xEn其中c1和c2分別為彈性體內膨脹波和畸變波的傳播速度;為體力分量為彈性體所在的域,其邊界為rx=(x1x2,x3對三維問(wèn)題咸x=(x1,x2〔對二維問(wèn)題應力和位移滿(mǎn)足如下邊界條件x,t)=rin;=p(x,)x∈r(2)u x t)= g(x t)∈和初始條件u(x0+)=;(xx∈g(x0+)=t(x)本構關(guān)系為Ii (x ,t)=ol(ci-2c2 )um m( x , t )um m( x,THa中國煤化工(x,t))x∈CNMHG(4)其中r和r分別為已知面力和位移的邊界r∪T=Fδ為 Kroneker delta收稿日期2000-05-01基金項目國家自然科學(xué)基金作者簡(jiǎn)介程玉民1965-)男山西人教授博士導師博士主要從事計算力學(xué)、大跨空間結構研究。重慶建筑大學(xué)學(xué)報第22卷對式1)-(4)作用 Laplace或 Fourier變換即得相應的變換域中的方程再應用加權殘數法,得到彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題在變換域中的邊界積分方程Ck Q )u(o)=ukit dr-t hil dr+ufida(5)其中Q為邊界點(diǎn);k和t為基本解:C(Q是自由項與Q點(diǎn)處邊界的幾何特征有關(guān);;和;分別表示變換域中的位移和面力分量在無(wú)體力的情況下邊界積分方程5河離散為C(Q)(Q)=221,Nm從5d7t后N,),)d其中N為邊界單元數每個(gè)單元均為有M個(gè)節點(diǎn)的等參單元邊界節點(diǎn)總數為K;"n,"分別表示第n個(gè)單元第m個(gè)節點(diǎn)的i方向的位移和面力洲N()=12灬,M是形函數沃Jacobi行列式K安,)對嵌6進(jìn)行數值求解即得變換域中邊界節點(diǎn)的位移和面力分量然后由數值反變換求得時(shí)間域中的解。將邊界積分方程6瀉成矩陣形式〔CIU=Σ[ GIT)]-∑ HIUn=1其中U〕={u1},i=12…,,K為節點(diǎn)位移向量fUn]={n"},i=12灬…,M為單元n的節點(diǎn)位移向量fTn〕=〔t"〕,i=12灬…,,M為單元n的節點(diǎn)面力向量C〕為與〔U對應的自由項矩陣;〔Gn〔H玢分別為與TnUn]對應的系數矩陣進(jìn)一步方程(8)寫(xiě)為〔C〕+〔H〕U)=〔GT〕其中T]={t1}i=12灬…,,K為節點(diǎn)面力向量fH〔G是分別由Hnl〔Gn組裝而成的對應于〔U〔T)的系數矩陣。2相似邊界元法由方程9冋知只要求得矩阼〔H〕和〔G〕,求解方程組即可求解。而〔H〕和〔G〕是分別由〔HnGn咀組裝而成的。要求得HnGn〕需要做大量的如下形式的積分thiN(s n) s n sdn=0(10)uNm(,)安dn(11)在非奇異單元上采用Gaus積分在奇異單元上需對奇異積分做消除奇異性或降低奇異性階數處理或利用剛體位移特解來(lái)求奇異積分相似邊界元法的基本思想是將彈性體所在的TH為減少形如01的積分的計算量本文V中國煤化工之了相似邊界元法。CNMH(條件或幾何形狀劃分為若干局部區域然后將每個(gè)局部區域剖分為若干相似單元建立相似單元上矩陣〔Hn〕及〔Gn〕的關(guān)系。在一組相似單元中只要求得某個(gè)單元上的Hn)和〔Gn)其它單元上的〔H和Gn即可由比例關(guān)系得到而不需再做積分運算。下面來(lái)推導相似邊界元法的公式。第6期程玉民等彈性動(dòng)力學(xué)的相似邊界元法將一局部區域剖分為一組相似單元即有i= ax(12)z=az"-(如果需要的話(huà))其中:x"〃和z"為此局部區域中第n個(gè)單元的第i個(gè)節點(diǎn)的坐標a為比例常數。那么J(13)可得〔Hn]=a2Hn-1(14)〔Gn)=a2Gn-1(15)這樣就建立了相似單元之間矩陣〔Hn〕及〔Gn的關(guān)系。則在一局部區域中不論有多少單元只要通過(guò)積分求得〔H1)〔G1〕由式(14廂和式15)求得此局部區域中所有單元上的〔Hn]和〔Gⅷ而不必再做大量的奇異或非奇異積分運算從而大幅度減少計算量。對二維問(wèn)題有Jn aJ(16)〔Hn〕=a[Hn-1(17)3算例以下對突加載荷σ作用下的二維矩形中心裂紋板的應力強度因子作了計算。矩形中心裂紋板的模型如圖1所示板長(cháng)4cm寬2cm裂紋長(cháng)度為2aa=0.24cm。材料的彈性模量E=2.0×105MN/m2泊松比ν=0.3質(zhì)量密度p=0.005MNs2/m4對I型對稱(chēng)裂紋其動(dòng)態(tài)應力強度因子的計算公式為k(1)=212x(4k1)-)(19)其中對平面應變問(wèn)題k=34y對平面應力問(wèn)題k=(3v)(1+v);Kt廂和v(t)分別為裂紋尖端單元上B點(diǎn)和C點(diǎn)在t時(shí)刻y方向的位移。計算所得的正則應力強度因子(即K1(t)K1,K1為靜態(tài)應力強度因子)其與前人所- BEM-PLT做工作的比較見(jiàn)圖2?？梢钥闯霰疚姆椒ǖ挠嬎憬Y果與其它方法基本吻合。參考文獻HE中國煤化工力強度因子CNMHG[1] Leung AYT and Su RKL. Mode I Crack Problems by Fractal Two Level Finite Element Methods J). EngineeringFracture Mechanics 1994 A86)847-856[2]應隆安.無(wú)限元方法(M〕北京北京大學(xué)出版社1992[3]嵇醒臧躍龍程玉民.邊界元法進(jìn)展及通用程序〔M〕.上海同濟大學(xué)出版社997重慶建筑大學(xué)學(xué)報第22卷Similar Boundary Element Method in ElastodynamicsCHENG Yu-min, PENG Miao-juan2(1. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University Shanghai 200072, Chian 2. Department of Civil Engineering Shanghai University Shanghai 200072 China)Abstract: For the boundary element method of elastodynamics some properties of matrices are discussed in case of similar boundary elements and the similar boundary element method is presented. In aseries of similar boundary elements when the corresponding matrices of a boundary element are obtained the ones of other boundary elements in the series can be obtained by proportion. Then the coefficient matrix of the last system of linear algebraic equations can be obtained by the method of superposition. Compared with the general boundary element method the computing speed can be raised bythe similar boundary element method given in this paperKeywords elastody namics i boundary integral equation similar boundary elements i similar boundaryelement methodH中國煤化工CNMHG