導數應用的補充

第21卷第2期景德鎮高專(zhuān)學(xué)報Vol. 21 No. 22006年6月Journal of Jingdezhen CollegeJun.2006導數應用的補充劉琍內江醫科學(xué)校數學(xué)教研室四川內江641003)摘要:本文將導數和初等數學(xué)的某些問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行探討,擴大了導數的應用范圍,以期對拓寬學(xué)生的知識提高他們學(xué)習數學(xué)的積極性和創(chuàng )造能力等方面有所幫助關(guān)鍵詞:導數;導數應用;初等數學(xué)中圖分類(lèi)號:O172.1文獻標識碼:B文章編號:1008-8458(2006)02-0026-02現行高職教材中一般只介紹導數的四種應用:有關(guān)曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題;函數的增、諴性;極大(小)值;近似計算。如果1.2通過(guò)證明欲求的恒等式兩邊的導數相等能將導數與初等數學(xué)中有關(guān)的內容有機地聯(lián)系起來(lái),這將能由拉格朗日中值定理知:如果f(x)在區間(a,b)內可幫助學(xué)生拓寬知識面,使某些復雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,提高學(xué)生導,旦恒有f(x)=0,那么,f(x)在(a,b)內是常數進(jìn)一步學(xué)習數學(xué)的積極性,提高綜合運用和靈活運用數學(xué)知識的能可推出:如果函數f(x)和g(x)在區間(a,b)內可導,并且恒力.從而提高學(xué)生的創(chuàng )造能力。鑒此想法,本人在導數的應有f(x)=g'(x),那么在(a,b)內恒有f(x)=g(x)+C(其用中補充下面內容中C是常數)。因此,利用這些結論可證明許多恒等式1證明恒等式例2:求證 arcsIn.?+ arc cos. r(|x|≤1)如果函數f(x)和g(x)在區間(a,b內可導,并且在(a,1-=01時(shí),(0 sInT+ arccos.T)=1.1利用已知恒等式兩邊求導數證明:因為當|xb)內恒有f(x)=g(n),那么在()內恒有f(m)=k()即:若兩個(gè)函數恒等,則它們的導數一定恒等。利用此性質(zhì)所以當|x|<1 arc sinT+ arc cos.=C.取x=0,有C證明恒等式時(shí),先找出與所要證明的恒等式有關(guān)的已知的函arc2數恒等式,然后通過(guò)兩邊求導數,從而證明這個(gè)恒等式成立例1:求證(1)C1+2C2+…+nC=n·21且當x=1時(shí): arcsin1+ arccos1=時(shí)1)nCn=0(n≥2arcsin(-1)+arc cos(-1)(3)2·1·Cn+3·2·Cn+…+n(n-1)Cm=n(n-1)2m2證明門(mén)1):根據二項式定理得:(1+x)=1+Cx+C2x2此證法的基本步驟是:a}分別求出所要證明的恒等式兩邊的導數;(b證明這兩個(gè)導數相等,由此得出所要證明的恒兩邊求導得:n(1+x)1=C+2Cnx+…+nCmx等式兩邊相差一個(gè)常數;c求出這個(gè)常數,證得恒等式成立。令x=1,即得:C"+2(2+…+Cm=n·212證明不等式2):在(a)式中令x=-1,即得:Cn-22.1直接應用拉格朗日中值定理1);Cn=0拉格朗日中值定理:如果f(x)在閉區間[a,b]上連續3):對a)式兩邊求導數得:n(n-1)(1+x)“2=2.1在開(kāi)區間(a,b)內可導,那么在(a,b)內至少有一點(diǎn):,使得Cn+3·2·Cnx+…+n(n-1)Cwxm令x=1,得:2·1·C+3·2.C…+n(n-1)C=n(nf()TYH中國煤化工b由此定理可以?huà)斐鲇蠧NMHG①收稿日期:2006-03-20作者簡(jiǎn)介:劉琍(1962-),女,四川內江,講師。研究方向:基礎數學(xué)。006第2期劉琍:導數應用的補充關(guān)f()的不等式,從而得到有關(guān)(b)=(4a)的不等式故:sinA+sinB+sinC≤例3:已知1,求證應用此性質(zhì)還可以證明很多重要的不等式,在此不舉例證明:設f(x)=x"(n>1),則f(x)在[a,b]上連續,在a,b)內可導,根據拉格朗日中值定理可知在(a,b內至少3方程根的討論有一點(diǎn)使得f()元方程f(x)=a(a為常數)的討論,?？捎脤瘮祔=f(x)求導來(lái)鑒別它的增、減性,從而便于考察曲線(xiàn)y()=n,從而得ne"1=b二f(x)與直線(xiàn)y=a圖象交點(diǎn)的狀況,以確定根的虛、實(shí)范圍又因a<1,所以am1<1<和個(gè)數故:m"1(b-a)0,所間[a,b]上連續,在開(kāi)區間(a,b)內可導,如果在(a,b)內f(wàn)(x)>0,那么f(x)在[a,b上是增函數;如果在(a,b)內以f(x)為增函數,且又是連續函數,又因為f(0)=-2<0,f(1)=1>0f(x)<0,那么f(x)在[a,b上是減函數?？梢?jiàn)曲線(xiàn)y=f(x)的圖象與y=0(x軸)必有且僅有例4:如果x>1,求證x>x+1個(gè)交點(diǎn),即方程x3-x2+3x-2=0僅有一個(gè)實(shí)根證明:設(x)=x2-x-1+1(x>1),則f(x)4形如∑n”的數列求和3x2-1+由(x")=n·x"得∑"1=(∑x")’,這樣可求形由已知x>1,得:3x2-1>3-1=2從而f(x)>2如∑nx"1的數列求和1>0,即在x>1時(shí),f(x)為增函數,這時(shí)恒有f(x)>例7:求和S=1+2x+3x2+…+nx1f(1)=0,從而證得:x>x+1-1(x>1)+x=x(1-x°)2.3應用凸函數的性質(zhì)凸函數的性質(zhì):如果函數f(x)在區間(a,b)內是下凸所以S=S1的,那么對于區間(a,b)內任意一組點(diǎn)x1,x2,…,xn,有下列不等式f(x1)+f(x2)+…+f(xn)般地形如∑(m+q)x"(p,q為常數,∈N)的數如果函數f(x)在區間(a,b)內是上凸的,那么對于區間列都可解決(a,b)內任意一組點(diǎn)x1,x2,…,xn,有下列不等式∑(m+q)x=[∑p(n+1)x2+(p-q)x]+)≥1(n)+(x)+“+f(x2xm)2+(q-p)∑xxn時(shí),等號成立參考文獻1]華東師范大學(xué)數學(xué)系.數學(xué)分析(上冊)M].北京高等教育出例5:在△ABC中,求證sm4+sinB+snC≤2版社,2001證明:設f(x)=sinx,x∈(0,),則f(x)=-sinx[2]鄧俊謙.教育部高職高專(zhuān)規劃教材——應用數學(xué)基礎(中冊)從而在區間(0,π)內,f(x)≤0,則在區間(0,)內,[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,200f(x)是上凸的3]孫建明.導數應用新解讀[J].上海:數學(xué)通訊,2005.17:因在△ABC中,0