導數的應用研究

第29卷第2期西昌學(xué)院學(xué)報·自然科學(xué)版Vol 29. NO. 22015年6月Journal of Xichang College Natural Science editiorJun.,2015導數的應用研究徐建中(亳州師范高等專(zhuān)科學(xué)校,安徽亳州236800【摘要】導數是微積分中的一個(gè)重要概念,它建立在極限的基礎上,本文運用了實(shí)際例題來(lái)說(shuō)明導數在求極值問(wèn)題、幾何、實(shí)際問(wèn)題和求極限中的運用?！娟P(guān)鍵詞】導數;極值;幾何;函數【中圖分類(lèi)號】O172.1【文獻標志碼】A【文章編號】1673-189(2015)02-0028-02導數在數學(xué)學(xué)習和生活中有著(zhù)十分廣泛的運跟曲線(xiàn)C在M點(diǎn)相切(圓心落于凹向的一側)用,能夠優(yōu)化解決生活中的幾何問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題,在M點(diǎn)該圓與曲線(xiàn)C有相等的一、二階導數。試求下面分類(lèi)解析導數在各個(gè)方面的具體運用。a,b,R的表達式。1極值問(wèn)題解:將y看成是(1)式所確定的x的函數,在(1)定義:所謂極值,指最大、最小值,它要求極值式兩端同時(shí)對y求導,得定義里的不等式在整個(gè)定義域里統統成立,也可以a-x說(shuō)最值是整體極值,相對而言,前面講的極值是局部極值,顯然內部最值必為極值,反之未必,求最值(2)式再對x求導,得1+y2+(y-b)y”=0時(shí),有時(shí)為了省事,在求出可疑點(diǎn)之后,不判斷極y-b)2+(x-a)2大、極小,可將所有可疑點(diǎn)的值都拿來(lái)比較,其中最即p=-1+y(3)大、最小者就是整體最大、最小值簡(jiǎn)記z=x-aY=y-b,注意到上面yy"是曲率圓例1:求函數()-x-的極值及22上的最大、的導數,它們應跟曲線(xiàn)c的導數廠(chǎng)"相等最小值由(2)式得Z=-Y(x)z2+2聯(lián)立解出Z,Y由(3)式得sn(x(x2-1)](3x2-1(x令∫(x)=0,得x=√3最后得a=xf(+P√3故/(x)在號處取極大值。因f()偶數,在33導數的實(shí)際運用處亦為極大值在現實(shí)生活中,常常會(huì )用到導數的一些性質(zhì)或當x=0,±1時(shí),對于所有的x都有fO)=f(1)=f-1)=定理來(lái)取得一些對筆者有幫助的數據,來(lái)更好的解0≤fx),故為最小值。f(2)=f(-2)=62f(x)wre[-22),故決實(shí)際生活中的問(wèn)題f(x)在[-2,2]上最大值為6,最小值為0。定理(第二判別法):若函數∫(x)存在二階導2導數在幾何中的運用數,xo是函數f(x)的穩定點(diǎn),即導數是微分學(xué)中的基礎概念之一,利用導數知當f(x)=0時(shí),而f"x)≠0,則識可以更好的研究和討論函數圖像以及曲線(xiàn)的當∫"x)>0時(shí),xo是函數f(x)的極小點(diǎn)些性質(zhì)當fx)<0時(shí),x是函數f(x)的極大點(diǎn)例2:設fx)有連續二階導數,已知曲線(xiàn)C:y=f(x)例3:測量某個(gè)量A,由于儀器的精度和測量的在點(diǎn)M(x,f(x)處的曲率圓技術(shù)凵中國煤化工做了n次測量,測量的(x-a)+(y-b)2(1)數值CNMHG收稿日期:2015-03-17*基金項目:安徽省教育廳自然科學(xué)基金項目(項目編號:KJ2013B153,KJ2013Z258);數學(xué)教育安徽省特色專(zhuān)業(yè)(項目編號20101184);亳州師專(zhuān)科研項目(項目編號: BZSZKYXM201302,2012yvc02,2012yc13,2012yc24)專(zhuān)項資金資助作者簡(jiǎn)介:徐建中(1979-),男,安徽廬江人,講師,碩士,主要從事數學(xué)教育和微分方程方面的研究。第2期徐建中:導數的應用研究現取x作為量A的近似值。問(wèn)x取何值才能使處的導數,記為f(x)。顯然,f(x)在x處的導數還與a(=12…,n)之差的平方和文x-a)為最小?有如下的等價(jià)定義形式解:依題意,求函數f(r)-f(ro)f(x)=(x-a)+(x-a2)+…+(x-a),x∈R的最小值f(r)=lim∫'(x)=2(x-a1)+2(x-a2)+…+2(x-an)例4:設()=k證明m-a=k。=2nx-(a,+a,+……+a令∫'(x)=0解得穩定點(diǎn)馬+a。證明:則有∫"(x)=2n>0f(b)-f(af(b)-f(0根據定理,穩定點(diǎn)““+是函數f(x)的極bb小點(diǎn),因為函數f(x)是二次三項式∫(x)=mx2-2(a+a2+…+a,)x+(+a;+…+且二次項的系數n>0所以函數∫(x)在極小點(diǎn)兩式相減444的函數值就是函數/()在R的最小值,05-(-k.bf(-00k+-0k即n個(gè)數4,a,…,an的算數平均值作為量A的近似值才能使函數f(x)取最小值。這就是經(jīng)常用算數平因a→0,b→0,所以有b>0>a均值作為量A的值的理論依據。4導數在求極限中的運用又因∫(0)=k故當a→0,b→0時(shí)右端極限為零,定義若函數y=f(x)在其定義域中的一點(diǎn)x處所以等式成立。極限5結束語(yǔ)_f(x+△x)}-f(x導數在平常的數學(xué)教學(xué)和平時(shí)的實(shí)際問(wèn)題中有著(zhù)廣泛的運用,為解決一些數學(xué)實(shí)際問(wèn)題中提供存在,則稱(chēng)在x處可導,稱(chēng)此極限值為f(x)在x?？旖莺?jiǎn)便的方法。注釋及參考文獻:[]劉玉璉數學(xué)分析[M](上冊)北京:高等教育出版社,19942劉玉璉數學(xué)分析[M](下冊)北京:高等教育出版社,19943]裝禮文數學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法R北京:高等教育出版社,2006[4]劉崇麗應用數學(xué)教程M]北京:化學(xué)工業(yè)出版社,19985]史寧中中學(xué)概率與微積分研究M]北京:高等教育出版社,2010.application of derivatiXU Jian-zhongBozhou Teachers College, Bozhou, Anhui 236800)Abstract: The derivative is an important concept in calculus, which is built on the basis of the limit. The paperexplains the derivative in the application of the extreme problem, geometry, the actual problem and limit by usingactual examplesKey words: derivative; extreme value; geometry; function中國煤化工CNMHG