關(guān)于測度的重分形分析

華南理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第40卷第10期Journal of South China University of TechnologyVoL, 40 No 102012年10月Natural Science Edition)October 2012文章編號:1000-565X(2012)10-0142-04關(guān)于測度的重分形分析吳敏(華南理工大學(xué)數學(xué)系,廣東廣州510640)摘要:測度的重分形分析是分形幾何的一個(gè)重要研究方向,它廣泛應用于動(dòng)力系統、湍流、降雨量模型、地震和金融時(shí)間序列模型.發(fā)展重分形測度的數學(xué)理論和方法至關(guān)重要文中簡(jiǎn)要闡述測度的重分形分析的基本思想和方法,并介紹筆者及其課題組在該領(lǐng)域取得的主要研究成果關(guān)鍵詞:重分形;自相似測度; Moran測度;加倍測度;點(diǎn)態(tài)維數中圖分類(lèi)號:029doi:10.3969/ J. Issn.1000565X.2012.10.020測度的重分形分析是分形幾何的一個(gè)重要研究其中B是長(cháng)度為δ的邊平行于坐標軸的正方形,它方向分形測度的概念由 Mandelbrot l在20世紀70們構成平面的一個(gè)分劃,上式右端對分劃中所有的年代提出,其問(wèn)題的起源可追溯到20世紀40年代正方形求和由配分函數定義的熱力學(xué)極限為Kolmogorov2關(guān)于均勻湍流的研究.“重分形測度”這log Sa(q)名詞由理論物理學(xué)家 Halsey等在1985年引人,t(9)=limg--o log 8該方向發(fā)展非常迅速,并且涉及的領(lǐng)域甚為廣闊它若上述極限存在則配分函數滿(mǎn)足標度律從而知道已被用來(lái)描述動(dòng)力系統的吸引子上的駐留測度、流體它的增長(cháng)性態(tài)函數x(q)可以反映測度的整體性質(zhì),中的湍流、雨量分布、宇宙中的質(zhì)量分布神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )和通過(guò)它進(jìn)而了解H的分布此外熱力學(xué)極限對q是否許多共它現象.然而,要將這些實(shí)際問(wèn)題與數學(xué)及計可微涉及到系統是否出現相變.但如何確定上述熱力算理論相聯(lián)系是非常困難的因此,發(fā)展重分形測度學(xué)極限(甚至判別它是否存在)一般說(shuō)來(lái)非常困難的數學(xué)理論和方法至關(guān)重要,自1990年以來(lái)眾多數的下述變形有時(shí)在討論中更為方便:設是學(xué)家做了大量卓有成效的工作,但仍然有許多具重要R上的一個(gè)給定的具有緊支撐的 Borel概率測度,意義的問(wèn)題有待研究.文中主要介紹筆者及其所在課沒(méi)q∈R,記題組在測度的重分形分析方面獲得的結果.log(sup∑H(B2(x))r()=r(u, q)=lim infs4ologδ1基本概念其中上確界取遍所有互不相交的半徑為8且中心位為闡述測度的重分形分析的基本思想和方法,于的支撐上的閉球族B(x)}.r(q)稱(chēng)為μ的先介紹一些基本概念設是平面上一個(gè)正測度,有L”譜,它是一個(gè)單調上升的凹函數.當q>1時(shí),限正測度也稱(chēng)為一個(gè)質(zhì)量分布,大家首先關(guān)心的是(q)/(q-1)又稱(chēng)為H的 Renyi維數的分布,可以從下面兩個(gè)方面觀(guān)測測度的分布2維譜1.1L9-譜,熱力學(xué)極限測度的另一個(gè)重要信息是測度的局部結構,即與μ的質(zhì)量分布密切相關(guān)的是的配分函數測度的密度在點(diǎn)x的a-維密度定義為B(x, r))S8(q)=∑H(B),q∈R(2r)4收稿日期:2012-08-01中國煤化工基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(10571063,11071082)CNMHG作者簡(jiǎn)介:吳敏(1956-),女,教授,博士生導師,主要從事分形幾何研究.E-mail:wumin@seut.edu.cn第10期吳敏:關(guān)于測度的重分形分析143其中B(x,r)表示以點(diǎn)x為中心、r為半徑的球.在此情形,對于很小的r,(B(x,))≈r,因此若知道2測度的重分形分析研究成果在每一點(diǎn)的密度,的分布就清楚了但是,確定測2.1自相似測度研究成果度在一點(diǎn)的密度是一個(gè)非常困難的問(wèn)題,除非它像自相似測度的研究成果主要包括以下幾個(gè)方面正 Lebesgue測度那樣均勻分布.下面介紹一種目前(1)對滿(mǎn)足開(kāi)集條件的自相似測度, Arbeiter在重分形分析中經(jīng)常遇到同時(shí)也更容易處理的情等證明了其L譜存在并等于其重分形譜.當開(kāi)集形設n為一個(gè)正整數,是R上的一個(gè)具有緊支條件不滿(mǎn)足時(shí),其L譜的存在性及上、下L譜的估撐的 Borel概率測度.設x∈R",記計都是困難的Oen在q≥1時(shí)給出了不滿(mǎn)足任logu(B,(x))d(u, x)=lim,-0-何分離條件的自相似測度的上、下L-譜的估計.我們希望知道當q<1時(shí)的相應結果事實(shí)上,當q<如果上述極限存在,則稱(chēng)d(,x)為測度在點(diǎn)x處時(shí),L譜對測度μ的微小變化非?！懊舾小?此時(shí)對的點(diǎn)態(tài)維數(或局部維數).如果不存在,則分別用譜的研究更加困難, Olsen的方法已不再適用d(μ,x)、d(μ,x)表示相應的上、下極限,并稱(chēng)它們?yōu)樵谖墨I[9]中,通過(guò)引進(jìn)上覆蓋和上填充 Renyi維數,μ在點(diǎn)x處的上、下點(diǎn)態(tài)維數點(diǎn)態(tài)維數的大小反映并建立它們與上、下L譜的關(guān)系,將問(wèn)題轉化為較了測度的局部分布性態(tài).為進(jìn)一步分析測度的點(diǎn)態(tài)易處理的上覆蓋和上填充 Renyi維數,從而得到q<1維數的分布規律,對于a≥0,定義時(shí)上、下L→譜的非平凡的上、下界估計.作為一個(gè)應E(a)=|x∈R";d(u,x)=a用,筆者及其課題組得到任意自相似測度重分形譜M (a)=dimu(e(a)),的一個(gè)非平凡上界,還討論了一些有趣的例子.稱(chēng)f(a)為的 Hausdorff維譜.這樣,整個(gè)空間R(2)當q>0時(shí),若開(kāi)集條件滿(mǎn)足, Olsen10得到被分解為R"=Ua0E2(a)由于在E(a)上的任了自相似測度的L.譜的收斂速率,并證明了其重分點(diǎn)的局部分布性態(tài)相近我們希望知道E(a)的形矩測度弱收斂到規范重分形測度.當q<0時(shí),O大小”、變化規律以及它與μ整體性質(zhì)的聯(lián)系.這sen給出了兩個(gè)猜想確實(shí),當q<0時(shí)L譜對測度正是測度的重分形分析的主要研究?jì)热葜痰奈⑿∽兓喈斆舾?因此對其的分析一般被認1.3 Legendre變換與重分形機理為相當困難,此時(shí) Olsen的處理方法已失效.在文獻有些測度滿(mǎn)足兩個(gè)冪率,即A(B(x,r)≈r和11中,筆者及其課題組首先證明了自相似測度是S6(q)=6.這兩個(gè)冪率之間是否存在聯(lián)系?進(jìn)Ahlfors正則的,并以此為基礎,得到了當q<0且開(kāi)步,在維譜與熱力學(xué)極限之間是否存在聯(lián)系?物理學(xué)集條件成立時(shí)一大類(lèi)自相似測度的L-譜的收斂速率,在文獻[12]中,筆者及其課題組利用文獻[11家 Halsey等在1986年發(fā)現對于某些測度,維譜的結果,證明了q<0時(shí)自相似測度的重分形矩測度正好是熱力學(xué)極限的 Legendre變換:弱收斂到規范重分形測度,從而對猜想給出了肯定f (a)=inf-a sakai(q)+aqi而且上述變換的逆變換也成立,亦即建立了熱力學(xué)的回答(3)設μ是支撐在自相似集K上滿(mǎn)足開(kāi)集條件極限與維譜的聯(lián)系,同時(shí)建立了統計物理與分形幾的自相似測度,對滿(mǎn)足強分離條件的自相似測度,何間的聯(lián)系,作為一柄銳利的雙刃劍,重分形分析的 Barreira等證明:發(fā)散點(diǎn)集(即點(diǎn)態(tài)維數不存在的強大威力也于此得以體現若測度μ的維譜滿(mǎn)足上點(diǎn)所成之集)與其支撐集的 Hausdorff維數相等述 Legendre變換,則稱(chēng)μ滿(mǎn)足重分形機理.個(gè)自然的問(wèn)題是:在開(kāi)集條件下,上述結果是否正什么樣的測度滿(mǎn)足重分形機理是重分形分析的確?在文獻[14]中,筆者及其課題組應用精細型的個(gè)最基本的問(wèn)題.目前僅知道自相似測度、擬Ber盒計數原理以及構造精細 Moran子集的技巧,證明noii測度、Gibs測度等熟知的測度滿(mǎn)足重分形機了上述結果在開(kāi)集條件下成立進(jìn)一步,對x∈K,令理,如何有效判斷一個(gè)測度是否滿(mǎn)足重分形原理還是一個(gè)沒(méi)有完全解決的深刻的數學(xué)問(wèn)題下面主要A(D(x))表示當r+0時(shí)函數D(x)=B(x,)的介紹筆者及其所在課題組在測度的重分形分析方面聚點(diǎn)集筆老及1(151開(kāi)住條件下研究了發(fā)獲得的結果.限于篇幅,有關(guān)自相似測度、 Moran測散點(diǎn)集的結中國煤化工(x)要么是度、加倍測度、 Hausdorff和填充維數等概念及結果單點(diǎn)集,要CNMH集為閉區間時(shí)詳見(jiàn)文獻[4-6對任意閉區間ICR,筆者及其課題組得到了集合14華南理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第40卷x;A(D(x)=l的 Hausdorff和填充維數,從而解決類(lèi)非正則的 Moran集,研究了其重分形形式(詳見(jiàn)了 Olsen等提出的一個(gè)猜想,該結果也推進(jìn)了文獻[24]).為理論和實(shí)際計算的需要, Brown、FalArbeiter等的一個(gè)經(jīng)典結果coner、 Hentschel、 Procaccia等引人了勒讓德譜、重分2.2 Moran測度研究成果形q盒維數、重分形q-Reni維數等概念,一般來(lái)講Moran測度是一類(lèi)比自相似測度廣泛得多的分這些譜是彼此不等的,在文獻[25]中筆者及其課題形測度.這方面的研究成果主要包括以下幾個(gè)方面組給出一個(gè)使上述各種譜相等的充分條件,結合已(1) Moran測度的點(diǎn)態(tài)維數在強分離條件下,知的結果給出了 Moran測度各種譜相等且重分形Geronimo等證明了自相似測度的點(diǎn)態(tài)維數幾乎公式成立的一個(gè)充分條件處處等于一個(gè)常數 Strichartz i進(jìn)一步將這個(gè)結果2.3純原子加倍測度研究成果推廣到滿(mǎn)足開(kāi)集條件的自相似集 Cawley等研究已知加倍測度的拓撲支撐集是稠密的,但其測了一類(lèi)特殊的 Moran集上支撐的Man測度,在這度支撐可以有很小的正維數(該結論由Ⅲnois大學(xué)類(lèi)Mran集的構造中,逐次迭代采用相同的壓縮映Wu教授證實(shí)).據此,自然提出以下問(wèn)題:在射(映射個(gè)數和壓縮比相同).在強分離條件下,他個(gè)維數很大的底空間上,加倍測度是否總可以支撐們得到這類(lèi) Moran測度的點(diǎn)態(tài)維數公式(在幾乎處在一個(gè)稠密的可數集上,即是否有這樣的空間,其上處的意義下).在文獻[20]中,筆者及其課題組研究所有加倍測度都是純原子?跟這個(gè)問(wèn)題對偶的一個(gè)了一類(lèi)更廣泛的 Moran集,在其構造中逐次采用不更困難的問(wèn)題是:是否有一個(gè)維數為0的空間,其上同的壓縮映射個(gè)數和壓縮比,因此,無(wú)法再將問(wèn)題轉所有加倍測度都不是純原子的?在文獻[27]中,筆化到符號空間筆者及其課題組利用概率論中的大者及其課題組完全回答了上述兩個(gè)問(wèn)題數定律和01率研究這類(lèi) Moran測度的點(diǎn)態(tài)維數設X是歐氏空間的緊子集,為支撐在X上的得到了下面的結果:①對于滿(mǎn)足強分離條件的Mo加倍測度,記E為X的聚點(diǎn)集,F為X的孤立點(diǎn)集,ran測度,在壓縮比一致有界的假設條件下,得到該稱(chēng)在E上的限制為μ的連續部分,u在F上的限Moan測度的上、下點(diǎn)態(tài)維數公式(在幾乎處處的意制為的原子部分 Kaufman等21提出:是否存在義下);②在強分離條件下,得到齊次Moan集上的R上的緊集X和X上的加倍測度μ,使得X的孤立Moran測度的上、下點(diǎn)態(tài)維數公式(在幾乎處處的意點(diǎn)集在X中稠密,并且μ的連續部分仍然是加倍測義下);③在開(kāi)集條件下,證明了廣義自相似測度的度?文獻[29]對這個(gè)問(wèn)題給出了一個(gè)完整的回答,上、下點(diǎn)態(tài)維數幾乎處處等于常數同時(shí),給出了這即證明:對于R中每個(gè)無(wú)孤立點(diǎn)并且無(wú)處稠密的緊類(lèi) Moran測度的維數公式,并給出了強分離條件下子集E,及E上的任意加倍測度μ,存在一個(gè)可數集Moran集的點(diǎn)態(tài)維數公式進(jìn)一步,在文獻[21]中,F(F∩E=如),以及支撐在E∪F上的加倍測度用完全不同的方法在開(kāi)集條件下推廣了文獻[20]v,使得v恰為μ的連續部分另外,根據上述結果,的部分結果自然提出下列問(wèn)題:是否存在[0,1]上具有止Ieb(2) Moran測度的重分形機理筆者及其課題組sgue測度的緊集,其上的所有加倍測度都是純原子首先討論了一個(gè)與 Fibonacci序列有關(guān)的Mmn集的?在文獻[29中,筆者及其課題組證明了R中任及支撐在其上的 Moran i測度,要特別指出的是,這里意具有正 Lebesgue測度的緊集上,存在非純原子的的 Moran分形與已有參考文獻中的 Moran分形是相加倍測度,對上面的問(wèn)題給出了一個(gè)否定的回答當不同的,已有參考文獻的 Moran集的生成過(guò)程中參考文獻每一階壓縮比的個(gè)數是相同的,在筆者及其課題組的研究中,每一階的壓縮比及壓縮比的個(gè)數可以是[1] Mandelbrot bB. The fractal geometry of nature [M]不同的,并且以這種結構為其支撐的測度既不是New York: W.H. Freeman and Co.. 1982Gibs的也不是自相似的.因此,不能按常規將問(wèn)題2 Kolmogorov A N. The local structure of turbulence inin轉化到符號空間進(jìn)行處理.筆者及其課題組用與已impressible viscous fluid for very large Reynolds numbers [J]. Comptes Rendus( Doklady) de I'Aacdemie des知結果完全不同的方法證明其重分形機理滿(mǎn)足(詳Sciences de P'URSS30. 1941: 301-305見(jiàn)文獻[22]),隨后將該結果推廣到一大類(lèi)更一般[3 halse的非齊次的 Moran集(詳見(jiàn)文獻[23]).到目前為止,已知重分形公式成立的情形均為 Taylor意義下CHS中國煤化工P, et al. fractalcharacterization ofCNMHG1141-1151正則(即dim=Dim),進(jìn)一步,筆者及其課題組對[4] Falconer K J. Techniques in fractal geometry [ M].Eng第10期吳敏:關(guān)于測度的重分形分析145land: John Wiley and Sons, Ltd Chichester, 1997.sures [J]. J Lordon Math Soc, 2003, 67: 103-122.[5] Falconer K J. Fractal geometry-mathematical foundations [17] Geronino J S, Hardin D P. An exact formula for theand applications [S 1.]: John Wiley, 1990measure dimensions associated with a class of piecewise[6 Stein E M. 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